Grundlagen der Zerlegungsgleichheit von Figuren

__NOTOC__
Auf dieser Seite lernst Du die Eigenschaften der Zerlegungsgleichheit von Figuren kennen.

'''Bearbeite die Aufgaben sorgfältig! 
<br>Nicht mogeln...schaue erst die Lösungen an, wenn du die Aufgaben selbstsändig bearbeitet hast!
Denn nur so lernst du am Besten!'''

==1. Grundlagen der Zerlegungsgleichheit von Figuren==
===1.1 Wiederholung des Kongruenzbegriffes===
[[Bild:Ebert_MotivatorKongruenz.jpg|center]]
----
<br>
:Weißt Du noch was man unter <span style="color:#008B00 ">'''Kongruenz von Figuren'''</span> versteht??

:Eine Wiederholung kann nicht schaden.

===1.2 Los geht´s: Teste Dein Wissen!===
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<br>
<div class="schuettel-quiz">
:Ein anderes Wort für Kongruenz ist '''Deckungsgleichheit'''
</div>
<br>
:'''Hinweis''': <span style="color:#008B00 ">'''Kongruente'''</span> Figuren kann man zur <span style="color:#008B00 ">'''Deckung'''</span> bringen

----
====Aufgabe: Wie erzeugt man kongruente Figuren?====
<br>
<br>
----

====Aufgabe: Kongruente Dreiecke====
<br>
:'''Findest Du alle Dreiecke, die zum Dreieck A kongruent sind?'''<br>'''''Gib die Buchstaben an und begründe anschließend warum.'''''
<br>
[[Bild:Ebert_imageKongruenteDreiecke.jpg|center]]
<br>
<quiz display="simple">
{Kongruente Dreiecke zu A sind?} 
-B und D
+C und E
+G und H
-J und K
-I und F

{Welche Dreiecke sind ähnlich zu A??} 
-B und F
+C
+D 
+E und G
+H
-I
-J
+K
</quiz>
<br>
<br>
:War Deine Lösung richtig? 

----

====Kleines Quiz====
'''''Achtung!! Mehrere Antworten sind möglich!'''''
<quiz display="simple">
{ Markiere die richtigen Antworten}
- alle zueinander '''ähnlichen''' Figuren sind zueinander '''kongurent''' 
+ alle zueinander '''kongruenten''' Figuren sind zueinander '''ähnlich''' 
- alle '''kongruenten''' Figuren haben die '''gleiche Farbe'''
+ alle '''kongruenten''' Figuren haben den '''gleichen Flächeninhalt'''
</quiz>

----

===1.3 Das sollest du also wissen===
<div style="border: 2px  solid green; background-color:#ffffff; padding:7px;">
{|
|[[Bild:Ebert_MotivatorHinweis.jpg|center]]|| <div class="schuettel-quiz"> <br> Zwei Figuren sind zueinander kongruent, wenn sie durch '''Verschiebung''','''Drehung''' oder '''Spiegelung'''<br> ineinander überführt werden können. <br> Diese drei Abbildungen nennt man daher auch '''Kongruenz'''-abbildungen.<br>
|</div>
|}
</div>
<br>
<br>
<br>
===1.4 Wofür können wir die Kongruenz von Figuren gebrauchen?===
----
<br> 
:Du kennst sicher ein paar Anwendungsbeispiele wofür man die Eigenschaften der man die Kongruenz von Figuren nutzen kann. 
Dazu gehört zum Beispiel die Konstruktion von Dreiecken, wofür man die Kongruenzsätze benötigt. Kennst Du noch alle davon? 
Ordne die richtige Abkürzung der Beschreibung zu!

<br>
<br>
:'''Im nächsten Abschnitt lernst Du ein weiteres Anwendungsbeispiel kennen'''

==2. Zerlegungsgleichheit von Figuren==
[[Bild:Ebert_MotivatorenEinstiegFI.jpg|center]]
===2.1 Eine Einführung===
====Kapitän Check Aufgabe: Welche ist die größte Insel?====
----
[[Bild:Ebert_KapitänCheckInsel.jpg|center]]<br>
:'''Aufgabenstellung:'''
<br>: Du siehst hier die 3 schwarzen Inseln. Darunter befinden sich alle Teilfiguren, mit denen man die Inseln vollständig zusammensetzen kann. Klicke :die jeweiligen Kästchen an, um die Teilfiguren auf die Inseln zu legen.
* Lege die Teilfiguren per Mausklick von '''Links nach Rechts''' auf die Insel
* Überlege Dir zunächst selbst, wo die nächste Teilfigur platziert werden könnte.
* Was fällt Dir auf? Welche ist die größte Insel?
<br>
<ggb_applet height= "550" width="900" filename="Ebert_AufgabeKapitänInselneu.ggb"/>
<br>
<br>
<br>
:'''''Was fällt Dir auf? Welche ist die größte Insel??''' Begründe Deine Antwort!''
<div class="lueckentext-quiz">
Die größte Insel ist '''Isola Bella (entweder Isola Grande, Isola Bella oder Isola Piccola eintragen)'''
</div>
<br>
<br>
{{Lösung versteckt| 
Die Figuren A und C sind gleich groß, da sie mit sechs Teilfiguren ausgelegt werden können, die jeweils kongruent zueinander sind. denn das  kleine blaue und das graue Dreieck sind auch zueinander kongruent.
<br>Figur B kann mit einer Teilfigur mehr ausgelegt werden, deshalb ist sie die größte der drei Inseln.}}
<br>
<br>
<div style="border: 2px  solid green; background-color:#ffffff; padding:7px;">
{| 
|[[Bild:Ebert_MotivatorHinweis.jpg]]||Figur A und C nennt man daher auch <span style="color:#00CD00">'''zerlegungsgleich,'''</span>
|}
</div>
----

===2.3 Das Prinzip der Zerlegungsgleichheit===
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[[Bild:Ebert_Zerlegungsgleiche Figuren.jpg|center]]
:Das Sechseck und das Quadrat wurden in jeweils '''fünf Teilfiguren''' zerlegt.
:Diese Teilfiguren sind '''paarweise zueinander kongruent''', d.h. es gibt immer ein Paar zueinander kongruenter Figuren. <br>
:Aus den '''Eigenschaften der Kongruenz''' ergibt sich daher, dass diese Teilfiguren den '''gleichen Flächeninhalt''' besitzen.
<br>
:Der Flächeninhalt des Quadrates setzt sich in diesem Beispiel aus den Flächeninhalten der Teilfiguren F<sub>1</sub> bis F<sub>5</sub> zusammen.
<br>
'''Ergänze die fehlenden Felder''' 
<div class="lueckentext-quiz">
F<sub>Quadrat</sub> = '''F<sub>1</sub>''' + '''F<sub>2</sub>''' + '''F<sub>3</sub>''' + '''F<sub>4</sub>''' + '''F<sub>5</sub>''' 
ebenso gilt aber auch:<br> 
F<sub>1</sub> + F<sub>2</sub> + F<sub>3</sub> + F<sub>4</sub> + F<sub>5</sub> = '''F<sub>Sechseck</sub>'''

:Somit  haben Sechseck und Quadrat in dem Beispiel den '''gleichen Flächeninhalt'''!
</div>
<br>
<br
<div style="border: 2px  solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">
{| 
|[[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg]] Der Flächeninhalt der Gesamtfigur ergibt sich aus der Addition der Flächeninhalte der Teilfiguren.
|}
</div>
<br>
<br>
<div style="border: 2px  solid green; background-color:#ffffff; padding:7px;">
{| 
|[[Bild:Ebert_MotivatorHinweis.jpg]] || '''Das ist ja klasse'''! <br> Wir können feststellen, dass '''zwei Figuren den gleichen Flächeninhalt besitzen,''' <br> obwohl wir den Flächeninhalt der einzelnen Teilflächen selbst noch gar nicht berechnen können!
|}
</div>
<br>
'''Hierzu ein kleines Beispiel:'''

:Kannst Du zeigen, dass die beiden folgenden Figuren den gleichen Flächeninhalt haben?
<br>
[[Bild:Ebert_Halbkreisbilder.jpg|center]]
<br>
[[Hier]] findest du den Hinweis
<br>

<div style="border: 2px  solid green; background-color:#ffffff; padding:7px;">
{| 
| [[Bild:Ebert_MotivatorHinweis.jpg]]|| <span style="color: #008B00">'''Man kann die Berechnung des Flächeninhaltes von Figuren, für die man keine Berechnungsformel kennt, auf Figuren zurückführen, für die man eine Flächeninhaltsformel kennt.'''</span>
|}
</div>
<br>
<br>
===Zusammenfassung===
:'''Übertrage folgende Definition in Dein Heft:'''
<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">
{| 
[[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg]]<br>
<span style="color:#ff0000">'''Zerlegungsgleichheit von Figuren'''</span>
Zwei Figuren sind <span style="color:#ff0000">'''zerlegungsgleich,'''</span> wenn sie in paarweise <span style="color:#ff0000">'''kongruente Teilfiguren'''</span> zerlegt werden können.<br> ''Beispiel:'' 
<br> [[Bild:Ebert_Merkbilder_Zerlegungsgleichheit.jpg]]
<br> Figur A und Figur B sind zerlegungsgleich. Zerlegungsgleiche Figuren besitzen den gleichen <span style="color:#ff0000">'''Flächeninhalt'''</span>
|}
</div>
<br>

===Ergänzungsgleichheit von Figuren===

:'''Das Trapez und das Rechteck sind zerlegungsgleich, denn sie können z.B. in jeweils vier zueinander kongruente Dreiecke zerlegt werden'''.<br>
[[Bild:Ebert_Ergänzungsgleichheit1.jpg|center]]<br>
 
:Man nennt dieses Rechteck und das Trapez aber auch '''ergänzungsgleich.''' Betrachte Dir dazu das nachfolgende Bild:<br>
[[Bild:Ebert_Ergänzungsgleichheit2.jpg|center]]<br>

:'''Was bedeutet Ergänzungsgleichheit? Fülle dazu die Lücken aus:
'''
<div class="lueckentext-quiz">
Das Trapez und das Rechteck sind '''ergänzungsgleich''', das sie durch Ergänzung mit '''kongruenten Teilfiguren''', in diesem Fall mit je zwei blauen Dreiecken in zueinander kongruente Figuren A und B  überführt werden können. 
</div>
<br>
<br>
: Merke Dir folgende Definition zur Ergänzungsgleichheit:
<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">
{| 
[[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg]]||Zwei Figuren sind <span style="color: red">ergänzungsgleich</span>, wenn man sie durch <span style="color: red">Ergänzung mit kongruenten Teilfiguren</span> in <span style="color: red">zerlegungsgleiche Figuren</span> umwandeln kann. <span style="color: red">Ergänzungsgleiche</span> Figuren sind daher auch <span style="color: red">zerlegungsgleich</span>.Ergänzungsgleiche Figuren besitzen den gleichen Flächeninhalt.
|}
</div>


===Vertiefen und Übung ===
====Klassenzimmer streichen====
<br>
<br>
:Eine Schulklasse hat sich entschieden die Rückwand des Klassenzimmers neu zu streichen. Da die Mädchen gelb und die Jungen grün streichen wollen, haben sie sich geeinigt die Rückwand jeweils in der Hälfte der Farben zu streichen. <br>
:'''Hilf der Klasse bei den Designvorschlägen.''' <br>
<br>
:Hier siehst Du die Rückwand des Klassenzimmers. Sie ist '''4 Meter hoch''' und '''6 Meter breit'''.
[[Bild:Ebert_AufgabeSchulwandstreichen.jpg|center]]
<br>
'''Wieviele Vorschläge hast Du?''' ''Übertage das Rechteck in Dein Heft und sei kreativ! Aber achte auch auf die Aufgabenstellung!''
<br>
:Du findest hier ein paar Lösungsvorschläge:
{{Lösung versteckt|
[[Bild:Ebert_LösungsvorschlägeWand.jpg|center]]}}
<br>
'''Hast Du mehr Ideen gefunden?? Prima!'''
<br>
'''Aufgabenstellung:'''
Zeige, warum im Lösungsvorschlag '''1, 3, 7 und 8''' jeweils genau die Hälfte grün bzw. gelb gestrichen wird. '''Begründe mit dem, was Du bisher über Flächeninhalte gelernt hast.'''
{{Lösung versteckt|
*'''Rechteck 1''' wurde in '''2 kongruente Teilrechtecke''' zerlegt, die jeweils grün bzw. gelb gefärbt sind. Da zueinander kongruente Figuren den gleichen Flächeninhalt besitzen ist genau die Hälfte des Rechtechs grün bzw. gelb.<br>
*'''Rechteck 3''' wurde entlang der Diagonalen '''halbiert'''. Es entstehen dabei '''2 kongruente Teildreiecke.''' Argumentation weiter wie für Rechteck 1. <br>
*'''Das Rechteck 7''' wurde in '''4 kongruente Dreiecke''' zerlegt. '''Je 2''' davon wurden grün bzw. gelb gefärbt. Da <math>{2\over 4}= {1\over2}</math> wurde je die Hälfte grün bzw. gelb gefärbt.<br>
*'''Dieses 8. Rechteck'''  wurde in '''8 kongruente Teildreiecke''' zerlegt. '''Je 4''' davon wurden grün bzw. gelb gefärbt. Agrumentation analog wie für Rechteck 7
}}
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