Vierstreckensatz

__NOTOC__
{{Lernpfad-M|
===Vierstreckensatz===
}}
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[[Bild:Porzelt_Vierstreckensatz.jpg|right]]
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:'''In diesem Lernpfad durchläufst du 5 Stationen. Sie sind wie folgt gegliedert:'''<br>

:1. Station: Erster Vierstreckensatz - Schenkellösung<br>
:[[Benutzer:Leonie Porzelt/Vierstreckensatz/2.Station|2. Station: Erster Vierstreckensatz - Abschnittlösung]]<br> 
:[[Benutzer:Leonie Porzelt/Vierstreckensatz/3.Station|3. Station: Zweiter Vierstreckensatz]]<br>
:[[Benutzer:Leonie Porzelt/Vierstreckensatz/4.Station|4. Station: Zusammenfassung]]<br>
:[[Benutzer:Leonie Porzelt/Vierstreckensatz/5.Station|5. Station: Übung]]<br>



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==1. Station: Erster Vierstreckensatz - Schenkellösung==
[[Bild:Porzelt_Laptop.jpg]]
:'''Zoll''' ist eine '''Längeneinheit''', die im Alltag häufig zu finden ist, z.B. bei Laptops, Computern und Fernsehern. 
:Um sich die Größe besser vorstellen zu können, soll die Einheit Zoll in Zentimeter umgerechnet werden. 
:Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten:
:*die algebraische Berechnung
:*oder die geometrische.
:Als Bepsiel nehmen wir die Umrechnung von einem 15-Zoll-Laptop.
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*Finde heraus wie du die Aufgabe '''algebraisch''' lösen kannst: 
::'''Gegeben''': Der Laptop hat einen 15 Zoll Bildschirm. 1 Zoll entspricht 2,54 cm.
::'''Gesucht''': Umrechnung von 15 Zoll in cm.
::'''Lösung''': Berechne in deinem Heft und trage hier deine Lösung mit Angabe der Einheit (cm) ein! 
::::(Bitte mach ein Leerzeichen zwischen Zahl und Einheit.)
<div class="lueckentext-quiz">
15 Zoll entsprechen '''38,1 cm (Tipp:  Berechne mit Hilfe des Dreisatzes)'''.
</div>
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*Im Folgenden wird dir gezeigt, wie du die Aufgabe '''geometrisch''' lösen kannst. 
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<div style="border: 2px solid #9c9c9c; background-color:#ffffff; padding:7px;">
'''Klicke die Schritte nacheinander an:'''<br>
1. Schritt: Zeichne zwei Halbgeraden mit gemeinsamen Anfangspunkt Z und trage auf diesen Halbgeraden <br>
:die Längen 1 cm und 15 cm ab! Benenne die Endpunkte der Strecken mit A und B! <br>
2. Schritt: Verbinde Punkt A mit Punkt B!<br>
3. Schritt: Trage in Z die Strecke [ZA'] mit <span style="text-decoration: overline;">ZA'</span> = 2,54 cm ab! <br>
4. Schritt: Zeichne eine Parallele durch A' zu [AB]!<br>
5. Schritt: Benenne Schnittpunkt mit B'! <br>
6. Schritt: Miss <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span> ab!  
<ggb_applet height="300" width="950" showResetIcon="true" filename="Porzelt_geometrisch.ggb" />
</div>  
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:'''Die Rechnung, die dahinter steckt:'''
:Vorausgesetzt wird, dass die Gerade '''A'B' zu AB parallel''' ist. Das '''Dreieck A'ZB'''' kann somit als das '''Bild''' des '''Dreiecks AZB (Urbild)'''
:mit dem Streckungszentrum Z aufgefasst werden. Der Punkt '''A''' wurde also '''auf''' den Punkt '''A'''' und Punkt '''B''' wurde '''auf''' Punkt '''B' abgebildet'''. 
:Aus dem vorherigen Lernpfad wissen wir, dass das '''Längenverhältnis von Strecken''' bei einer zentrischen Streckung, wegen der <br>Eigenschaft der '''Längenverhältnistreue''', '''gleich''' ist. 
:'''Was bedeutet dies?''' Eine kleine Wiederholung kann nicht schaden. Setze dafür die richtige Aussage in die passende Lücke ein:
<div class="lueckentext-quiz">
<math>\overline{ZA'}</math> = '''<math>\mid k\mid  \cdot \overline{ZA}</math>''' <math>\mathit{und}\ </math> <math>\overline{ZB'} =</math> '''<math>\mid k \mid \cdot \overline{ZB}</math>'''<br>
Aufgelöst nach |k|:<br>
<math>\mid k \mid =</math> '''<math>{\overline{ZA'}\over\overline{ZA}}</math>''' <math>\mathit{und}\ </math> '''<math>\mid k \mid</math>''' <math>= {\overline{ZB'}\over\overline{ZB}}</math><br>
Gleichsetzen:
<math>{\overline{ZA'}\over\overline{ZA}} =</math> <math>{\overline{ZB'}\over\overline{ZB}}</math><br>
Einsetzen der Werte ergibt: <br>
<math>{{2,54 cm}\over{1 Zoll}} =</math> '''<math>{x}\over{15 Zoll}</math>''' <math>\Rightarrow x = 38,1 cm</math>
</div>
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:'''Prima! Du hast dein Wissen noch einmal aufgefrischt!'''
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
[[Bild:Porzelt_Panto-2.jpg|left]]
:Die Formel sagt aus, dass sich die Abschnitte auf der einen Halbgeraden genauso verhalten wie die Abschnitte auf der anderen 
:Halbgeraden. Diesen Satz nennt man den '''ersten Vierstreckensatz'''. In unserem Beispiel wurden die Schenkel betrachtet, 
:deshalb wird es auch die '''Schenkellösung''' genannt.
</div>
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<div align="left">[[Benutzer:Leonie Porzelt/Vierstreckensatz/2.Station|<math>\Rightarrow</math> Weiter zur 2. Station: Erster Vierstreckensatz - Abschnittlösung]]</div>