Algebra: Gleichungen

<span style="background:#CD96CD ">'''Deine neue Lieblings-Merkregel zum Umformen von Termen und Gleichungen:'''</span><br>
<div class="schuettel-quiz">
Rechne immer '''Klammer''' vor '''Punkt''' vor '''Strich'''!
</div>
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| width="550" |
<div style="border: 4px solid #551A8B ; background-color:#CD96CD ; padding:7px;">
'''Wie bei einer Waage müssen beide Seiten der Gleichung immer im Gleichgewicht sein. Dies erreichst du durch <span style="color:#551A8B ">Äquivalenzumformungen</span>, mit denen du beide Seiten der Gleichung einheitlich umstellst, ohne dass sich der Wert der Gleichung ändert.'''
</div>
||
::[[Bild:Haas_Balkenwaage.jpg|250px]]
|}



<span style="background:#CD96CD ">'''Wende diese Regel nun auf die folgenden Aufgaben an. Beachte immer die Grundmenge, die rechts steht.'''</span>

''Wenn du dir sicher bist, welche Äquivalenzumformung als nächstes kommt, darfst du durch Markieren des grauen Feldes den jeweils nächsten Schritt sichtbar machen!''

''Erst ganz am Ende kannst du dann dein Ergebnis durch Klick auf "Lösung anzeigen" überprüfen.''

* <span style="color: #551A8B">'''Beispiel :'''</span>
:<math> \ 9x - 12 = 60</math>
<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div> 

:<math> \ 9x - 12 = 60 \;\;\;\;\;\;\;\;| + 12 </math> 

:<math>\Leftrightarrow 9x = 72 \;\;\;\;\;\;\;\;| : 9 </math> 

:<math>\Leftrightarrow x = 8 </math> 

:<math>\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}8\mathcal{g}</math> 


* 3x + 10 = 19 
<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{N}</math></div> 

:3x + 10 = 19 &nbsp;&nbsp;&nbsp;| &nbsp;<u style="color:lightgrey;background:lightgrey">- 10 </u> 

:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">3x = 9</u> &nbsp;&nbsp;&nbsp;| &nbsp;<u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 3</u>

:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 3</u>


{{Lösung versteckt|1=

::<math> \ 3x + 10 = 19 \;\;\;\;\;\;\;\;| - 10 </math> 

::<math>\Leftrightarrow 3x = 9 \;\;\;\;\;\;\;\;| : 3 </math> 

::<math>\Leftrightarrow x = 3 </math> 

::<math>\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}3\mathcal{g}</math>    
}}

* 9x - 18 = 27 &nbsp;&nbsp;&nbsp;| &nbsp; <u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> + 18 </u>
<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div> 

:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">9x = 45</u> &nbsp;&nbsp;&nbsp;| &nbsp; <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 9</u>

:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 5</u>


{{Lösung versteckt|1=

::<math> \ 9x - 18 = 27 \;\;\;\;\;\;\;\;| + 18 </math> 

::<math>\Leftrightarrow 9x = \;\;\;\;\;\;\;\;| : 9 </math> 

::<math>\Leftrightarrow x = 5 </math> 

::<math>\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}5\mathcal{g}</math>    
}}


* 12 - 12 : 12 = 2x + 2 : 2
<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div> 

:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> 12 - 1 = 2x + 1</u> &nbsp;&nbsp;&nbsp;| &nbsp;<u style="color:lightgrey;background:lightgrey">- 1</u> 

:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">10 = 2x</u> &nbsp;&nbsp;&nbsp;| &nbsp;<u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 2</u>

:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 5</u>


{{Lösung versteckt|1=

::<math> \ 12 - 12 : 12 = 2x + 2 : 2 </math>

:: <math>\Leftrightarrow 12 - 1 = 2x + 1 \;\;\;\;\;\;\;\;| - 1 </math>  

::<math>\Leftrightarrow 10 = 2x \;\;\;\;\;\;\;\;| : 2 </math> 

::<math>\Leftrightarrow x = 5 </math> 

::<math>\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}5\mathcal{g}</math>    
}}


* <math>2^3 + 3^2 = 5x + 17</math>
<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{N}</math></div> 

:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> 8 + 9 = 5x + 17 </u> 

:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">17 = 5x + 17</u> &nbsp;&nbsp;&nbsp;|&nbsp;<u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> - 17 </u>

:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">0 = 5x</u> &nbsp;&nbsp;&nbsp;| &nbsp;<u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 5 </u>

:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 0 ... wirklich? </u>


{{Lösung versteckt|1=

::<math> \ 2^3 + 3^2 = 5x + 17 </math>

:: <math>\Leftrightarrow 8 + 9 = 5x + 17 </math>  

::<math>\Leftrightarrow 17 = 5x + 17 \;\;\;\;\;\;\;\;| - 17 </math> 

::<math>\Leftrightarrow 0 = 5x \;\;\;\;\;\;\;\;| : 5 </math> 

:: <math> Da  \mathcal{f}0\mathcal{g} \notin \mathbb{N}\Rightarrow\mathbb{L}=\varnothing</math>

::<math>\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f} \mathcal{g}</math>    
}}


* 3x + 8 + 6x - 3 = -13
<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div>  

:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> 9x + 5 = -13</u> &nbsp;&nbsp;&nbsp;|&nbsp; <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">- 5</u> 

:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">9x = -18</u> &nbsp;&nbsp;&nbsp;| &nbsp;<u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 9</u>

:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = -2</u>


{{Lösung versteckt|1=

::<math> \ 3x + 8 + 6x - 3 = -13 </math>

:: <math>\Leftrightarrow 9x + 5 = -13 \;\;\;\;\;\;\;\;| - 5 </math>  

::<math>\Leftrightarrow 9x = -18\;\;\;\;\;\;\;\;| : 9 </math> 

::<math>\Leftrightarrow x = -2 </math> 

::<math>\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}-2\mathcal{g}</math>    
}}

* <math>-3 \cdot (3 - 2x) + 2x = -21</math>
<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div> 

:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> -9 + 6x + 2x = -21</u>
 
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> -9 + 8x = -21</u> &nbsp;&nbsp;&nbsp;| &nbsp;<u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> + 9</u>

:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">8x = -12</u> &nbsp;&nbsp;&nbsp;| &nbsp;<u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 8</u>

:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = -1,5</u>


{{Lösung versteckt|1=

::<math>-3 \cdot (3 - 2x) + 2x = -21</math>

:: <math>\Leftrightarrow -9 + 6x + 2x = -21</math>  

::<math>\Leftrightarrow -9 + 8x = -21 \;\;\;\;\;\;\;\;| + 9 </math> 

::<math>\Leftrightarrow 8x = -12 \;\;\;\;\;\;\;\;| : 8 </math> 

::<math>\Leftrightarrow x = -1,5 </math> 

::<math>\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}-1,5\mathcal{g}</math>    
}}