Die Streckung, Stauchung und Spiegelung der Scheitelpunkts- und Normalform

{{Lernpfad-M|<big>'''Die Streckung, Stauchung und Spiegelung der Scheitelpunkts- und Normalform'''</big>


'''In diesem Lernpfad werden alle erlernten Parameter zusammengeführt! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!'''

*'''Die Scheitelpunktsform und der Parameter a'''
*'''Übungen zu f(x) <math>=</math> a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>''' 
*'''Die Normalform und der Parameter a'''
*'''Vermischte Aufgaben zur quadratischen Funktion'''
}}


Aus den vorherigen Lerneinheiten kennst du die Eigenschaften der einzelnen Parameter. 

Du weißt zum einen, dass der Vorfaktor a für eine Streckung, Stauchung und Spiegelung der Parabel verantwortlich ist und zum anderen, dass die Parameter y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub> eine Verschiebung der Parabel in der Ebene bewirken. 
Wir wollen im Folgenden diese Eigenschaften zusammen mit der Scheitelpunkts- und Normalform betrachten.

Als erstes beginnen wir mit der Scheitelpunktsform und dem Parameter a.




<div align="center"><big><u>'''STATION 1: Die Scheitelpunktsform und der Parameter a'''</u></big></div>

{| {{Prettytable}}
|- style="background-color:#8DB6CD"
! Quadratische Funktion f(x)<math>=</math>a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub> !! Hinweise, Aufgabe und Lückentext:
|-
| <ggb_applet height="450" width="450" showResetIcon="true" filename="Verschiebendergqf.ggb" /> || 

'''Aufgabe:''' 

* Versuche mit Hilfe der Geogebraanwendung links den Lückentext zu lösen. 

* Bediene dafür die Schieberegler a, y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub>, um dir die Eigenschaften der einzelnen Parameter wieder ins Gedächtnis zu holen.

* Ziehe mit gehaltener, linker Maustaste, das passende Puzzleteil, in die freien Felder. 

'''Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:''' <br> 
<br>
<div class="lueckentext-quiz">
Die Scheitelpunktsform mit dem Paramter a besitzt die Gleichung '''y = a[x - x<sub>s</sub>]<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>'''. Die allgemeine Scheitelpunktsform wird dabei um den Parameter '''a''' erweitert. Dadurch kommt neben der '''Verschiebung''' der Parabel noch die '''Streckung, Stauchung und Spiegelung''' dazu. Ferner gilt festzuhalten, dass die Verschiebung in der '''Ebene''' als auch die Veränderung durch den Vorfaktor a '''unabhängig''' voneinander betrachtet werden.
 
</div>
|}

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Um die wichtigsten Eigenschaften aller Parameter nochmal zu wiederholen, betrachte das folgende Merke und überprüfe ob du die Eigenschaften noch beherrscht.


{{Merke|
Für die quadratische Funktion '''f(x)<math>=</math>a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>''' gilt:  
* Für den Parameter a gilt:
** Der Parameter a sorgt für eine '''Streckung''', '''Stauchung''' und/oder '''Spiegelung''' der Parabel
** Für '''a > 1''' ist der Graph '''gestreckt''' und nach '''oben''' geöffnet
** Für '''0 < a < 1''' ist der Graph '''gestaucht''' und nach '''oben''' geöffnet
** Für '''a < -1''' ist der Graph '''gestreckt''' und nach '''unten''' geöffnet
** Für '''0 > a > -1''' ist der Graph '''gestaucht''' und nach '''unten''' geöffnet

* Für den Parameter x<sub>s</sub> gilt: 
** Der Parameter x<sub>s</sub> sorgt für eine '''Verschiebung''' entlang der x-Achse
** Für '''x<sub>s</sub> > 0''' gilt: Verschiebung nach '''rechts'''  
** Für '''x<sub>s</sub> < 0''' gilt: Verschiebung nach '''links'''  

* Für den Parameter y<sub>s</sub> gilt: 
** Der Parameter y<sub>s</sub> sorgt für eine '''Verschiebung''' auf der y-Achse
** Für '''y<sub>s</sub> > 0''' gilt: Verschiebung nach '''oben'''
** Für '''y<sub>s</sub> < 0''' gilt: Verschiebung nach '''unten'''
}}

Nachdem du nun dein Wissen aufgefrischt hast, kann auch gleich geübt werden!





<div align="center"><big><u>'''STATION 2: Übungen zu f(x) <math>=</math> a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>'''</u></big></div>



<big>'''1. Aufgabe:'''</big>

Du siehst hier ein paar Graphen und ein paar Funktionsvorschriften der Form 
f(x) <math>=</math> a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>. Versuche jeweils die richtigen Päärchen zu finden. 


<div class="lueckentext-quiz">

{| 
|- 
| [[Bild:Parabelkeins.png|180px]]   ||||   [[Bild:Parabelkzwei.png|180px]]   ||||   [[Bild:Parabelkdrei.png|180px]]   ||||   [[Bild:Parabelkvier.png|180px]]   ||||   [[Bild:Parabelkfünf.png|180px]] 
|- 
| <strong> y = [x - 2,5]<sup>2</sup> - 1,5 </strong>  |||| <strong> y = -4[x + 2]<sup>2</sup> + 1 </strong> |||| <strong> y = [x + 3,5]<sup>2</sup>  </strong> |||| <strong> y = 5[x + 2,5]<sup>2</sup> + 2 </strong> |||| <strong> y = 2[x - 4]<sup>2</sup> - 3 </strong> 
|}
</div>

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Ich nehme an, dass war kein Problem für dich, da man nicht unbedingt den Vorfaktor a bestimmen musste, um die Aufgabe zu lösen. 

Jetzt wollen wir das Ganze ein wenig erschweren! 

Kannst du dich noch erinnern, wie man den Vorfaktor a bestimmt?




<big>'''2. Aufgabe:'''</big>

Finde zu den vorgegebenen Graphen die Funktionsvorschrift! 

Falls du nicht genau weißt wie du vorgehen sollst, öffne die anschließende Hilfe! 

Tipp! Die Vorgehensweise ist die selbe wie bei "f(x) = ax<sup>2</sup>".

Nach dem Bild wird dein Ergebnis abgefragt. 


[[Bild:ParabelAufgabe2Station2-2.jpg|left]]
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'''Hilfe:''' <br>
{{versteckt|
{{Merke|
'''Anleitung zur Bestimmung des Parameters a:''' <br>
* Der Startpunkt zum Bestimmen des Parameters ist der Scheitelpunkt<br>
* Gehe auf der x-Achse eine Einheit nach rechts <br>
* Bestimme in y-Richtung die Anzahl der Einheiten bis zur Parabelkurve <br>
* Die Anzahl der Einheiten ergibt den Wert vom Parameter a <br>
* Hat man die Einheiten nach oben abgezählt, so ist der Wert von a positiv <br>
* Hat man die Einheiten nach unten abgezählt, so ist der Wert von a negativ  <br>
}}
}}
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'''Wie ist dein Ergebnis:'''

<div class="multiplechoice-quiz">

'''a] Wie lautet die richtige Funktionsgleichung für den Graph?''' (!y <math>=</math> 1[x - 4]<sup>2</sup> - 3 ) (!y <math>=</math> 3[x – 4]<sup>2</sup> + 3 ) (y <math>=</math> 2[x – 4]<sup>2</sup> - 3 )
</div>
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<div class="multiplechoice-quiz">

'''b] Wie lautet die richtige Funktionsgleichung für den Graph?''' (!y =<math>=</math> -2[x + 2]<sup>2</sup> + 1) (y = <math>=</math> -4[x + 2]<sup>2</sup> + 1) (!y <math>=</math> -0,5[x + 2]<sup>2</sup> + 1)
</div>
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<big>'''3. Aufgabe - Multiple Choice:'''</big>

Betrachte die Funktionsvorschriften genau und kreuze die richtigen Aussagen an. 
Achtung! Es können auch mehrere Antworten richtig sein! 

<div class="multiplechoice-quiz">

'''f(x) <math>=</math> -2x<sup>2</sup> + 5''' (!Die Parabel ist nach oben geöffnet)(Die Parabel ist nach unten geöffnet)(Die Parabel hat den höchsten Punkt bei [0, 5]) (Die Parabel ist gestreckt) (!Die Parabel ist gestaucht) (!Die Parabel ist um 2 Einheiten nach links verschoben)

'''f(x) <math>=</math> (x - 3)<sup>2</sup> - 2''' (!Die Parabel ist gestaucht)(!Die Parabel hat den tiefsten Punkt bei [0, -2])(Die Parabel verläuft durch den Punkt [0, 7]) (!Die Parabel ist um 3 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel) (Die Parabel ist um drei Einheiten nach rechts verschoben)

'''f(x) <math>=</math> 6 + 2 (x + 2)<sup>2</sup>''' (!Die Parabel ist nach unten geöffnet)(!Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach rechts verschoben)(Die Parabel ist nach oben geöffnet ) (Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach links verschoben) (!Die Parabel ist gestaucht) (Die Parabel ist gestreckt)

'''Die Parabel ist um 2 Einheiten nach links und um 4 Einheiten nach oben verschoben. Außerdem ist sie gestreckt ''' (!y <math>=</math> 4 [x - 2]<sup>2</sup> - 4)(!y <math>=</math> 0,2 [x - 2]<sup>2</sup> + 4)(!y <math>=</math> 2 [x - 2]<sup>2</sup> + 4)(y <math>=</math> 3 [x + 2]<sup>2</sup> + 4)(!y <math>=</math> 0,5 [x + 2]<sup>2</sup> - 4)(!y <math>=</math> 5 [x + 2]<sup>2</sup> - 4)(!y <math>=</math> 0,8 [x - 2]<sup>2</sup> + 4)(y <math>=</math> 1,77 [x + 2]<sup>2</sup> + 4)

</div>
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<big>'''4. Aufgabe - KNIFFELAUFGABE:'''</big>



<div class="multiplechoice-quiz">

'''Welche der folgenden Funktionsvorschriften hat eine Nullstelle? Achtung! Die Aufgabe ist nur durch logisches Denken zu lösen, es ist keine Rechnung erforderlich!''' (y <math>=</math> 2 [x – 3]<sup>2</sup> - 2) (!y <math>=</math> 2 [x + 5]<sup>2</sup> + 1 ) (y <math>=</math> - [x + 1]<sup>2</sup> + 2) (!y <math>=</math> -3 [x – 1]<sup>2</sup> -1)
</div>


'''Hilfe:''' <br>
Falls du Hilfe brauchst, kannst du dir hier einen Tipp holen!<br>
{{versteckt|
Eine Nullstelle ist der Punkt an dem der Graph die x-Achse schneidet!}}


'''Lösung:'''<br>
{{Lösung versteckt|

[[Bild:ParabelStation2Aufgabe3.jpg|left]]
Die Teilaufgaben a) und c) sind richtige Lösungen. <br>
Wie du in der Grafik erkennen kannst, kommt es nur auf den Parameter y<sub>s</sub> und den Vorfaktor a an. <br>
Ist der Vorfaktor a positiv und der Parameter y<sub>s</sub> zugleich negativ, so liegt der Scheitelpunkt der Parabel unterhalb der x-Achse. <br>
Da die Parabel durch den positiven Vorfaktor a nach oben geöffnet ist, muss es Nullstellen geben. 
<br>
Genau umgekehrt verhält es sich für den Fall, dass der Vorfaktor a negativ und der Parameter y<sub>s</sub> positiv ist.  
}}



<div align="center"><big><u>'''STATION 3: Die Normalform und der Parameter a'''</u></big></div>


Auch bei der Normalform ändert sich nicht viel, wenn der Parameter a dazukommt. 

Wieder kommt es darauf an, die Normal- in die Scheitelpunktsform und die Scheitelpunkts- in die Normalform umzuformen. 

<br>
<u>Von der Scheitelpunktsform zur Normalform:</u>

Da es sich genauso verhält wie im Lernpfad '''"Die Normalform f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"''' gezeigt, wirst du die Umformung wieder selbst vornehmen.


<big>'''Aufgabe:'''</big>

Du hast die Scheitelpunktsform f(x) <math>=</math> 2(x - 3)<sup>2</sup> - 4 gegeben. 
Diese Form soll nun durch '''ausmultiplizieren''' und '''zusammenfassen''' der Terme <br>
auf die Form f(x) <math>=</math> ax<sup>2</sup> + bx + c gebracht werden.

Du hast die einzelnen Terme vorgegeben, bring sie in die richtige Reihenfolge!

<div class="lueckentext-quiz">
{| 
|- 
|  || <u>   </u> ||   
|- 
| 1. || y<math>=</math>  || a[x - x<sub>s</sub>]<sup>2</sup> + y<sub>s</sub> <br>   
|- 
| 2. || y<math>=</math>  || <strong> 2[x - 3]<sup>2</sup> -  4 </strong> <br>   
|- 
| 3. || y<math>=</math> || <strong> 2[x<sup>2</sup> - 6x + 9] - 4 </strong> <br> 
|- 
| 4. || y<math>=</math> || <strong> 2x<sup>2</sup> - 12x + 14 </strong> <br> 
|- 
| 5. || y<math>=</math> || <strong> ax<sup>2</sup> + bx + c  </strong> <br> 
|}
</div>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

{{Merke|
Die Normalform f(x) <math>=</math> ax<sup>2</sup> + bx + c entsteht aus der Scheitelpunktsform f(x) <math>=</math> a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub> durch '''ausmultiplizieren''' und '''zusammenfassen''' der Terme. <br>
}}


Betrachten wir nun die andere Richtung.


<u>Von der Normal- zur Scheitelpunktsform:</u>

Diese Umformung funktioniert genauso wie das im Lernpfad '''"Die Normalform f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"''' gezeigte Verfahren. Mittels quadratischer Ergänzung gelangt man zur Scheitelpunktsform. 

Zur Wiederholung klicke dich durch die folgende Anleitung:<br>
<br>

1. Schritt: Gegeben ist die Parabel p <br>
{{versteckt|
[[Bild:UmformungSchritt1.jpg]]  
}}


2. Schritt: Faktor ausklammern <br>
{{versteckt|
[[Bild:UmformungSchritt2.jpg]]  
}}


3. Schritt: Quadratische Ergänzung<br>
{{versteckt|
[[Bild:UmformungSchritt3.jpg]]  
}}


4. Schritt: Binom erzeugen<br>
{{versteckt|
[[Bild:UmformungSchritt4.jpg]]  
}}


5. Schritt: Äußere Klammer auflösen<br>
{{versteckt|
[[Bild:UmformungSchritt5.jpg]]  
}}  


6. Schritt: Scheitelkoordinaten<br>
{{versteckt|
[[Bild:UmformungSchritt6.jpg]]  
}}

Um das ein wenig einzuüben löse die folgende Aufgabe!



<big>'''Aufgabe: Zuordnung - Gruppe'''</big>

Nimm dir ausnahmsweise mal ein Blatt zur Hand und stell zu den vorgegebenen quadratischen Funktionen die Scheitelpunktsform auf und ordne anschließend die entsprechenden Scheitelpunktsformen, Scheitelkoordinaten und Graphen den Funktionsgleichungen zu. 

<div class="zuordnungs-quiz">
{| 
| f(x)<math>=</math> 2x<sup>2</sup> + 12x + 14 || f(x)<math>=</math> 2(x + 3)<sup>2</sup> - 4  || <math>S(-3\!\,|\!\,-4)</math> || [[Bild:Station3AufgabeZuordnung1.jpg]] ||
|-
| f(x)<math>=</math> -3x<sup>2</sup> + 24x -41 || f(x)<math>=</math> -3(x - 4)<sup>2</sup> + 7  || <math>S(4\!\,|\!\,7)</math> || [[Bild:Station3AufgabeZuordnung2.jpg]] || 
|-
| f(x)<math>=</math> x<sup>2</sup> - 2x - 2 || f(x)<math>=</math> (x - 1)<sup>2</sup> - 3  || <math>S(1\!\,|\!\,-3)</math> || [[Bild:Station3AufgabeZuordnung3.jpg]]
|}
</div>


'''Lösung:'''<br>
Falls du Probleme mit der quadratischen Ergänzung hattest, kannst du sie dir hier anschauen! <br>
{{Lösung versteckt|
      f(x) <math>=</math> 2x<sup>2</sup> + 12x + 14
           <math>=</math> 2 [x<sup>2</sup> + 6x] + 14 
           <math>=</math> 2 [x<sup>2</sup> + 6x + 3<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup>] + 14
           <math>=</math> 2 [(x + 3)<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup>] + 14 
           <math>=</math> 2 (x + 3)<sup>2</sup> - 2(3<sup>2</sup>) + 14
           <math>=</math> 2 (x + 3)<sup>2</sup> - 18 + 14 
           <math>=</math> 2 (x + 3)<sup>2</sup> - 4 

      f(x) <math>=</math> -3x<sup>2</sup> + 24x - 41
           <math>=</math> -3 [x<sup>2</sup> - 8x] - 41 
           <math>=</math> -3 [x<sup>2</sup> - 8x + 4<sup>2</sup> - 4<sup>2</sup>] - 41
           <math>=</math> -3 [(x - 4)<sup>2</sup> - 4<sup>2</sup>] - 41 
           <math>=</math> -3 (x - 4)<sup>2</sup> -[-3(-4<sup>2</sup>)] - 41
           <math>=</math> -3 (x - 4)<sup>2</sup> + 48 - 41 
           <math>=</math> -3 (x - 4)<sup>2</sup> + 7

      f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> - 2x - 2
           <math>=</math> (x - 1)<sup>2</sup> - 1<sup>2</sup> - 2 
           <math>=</math> (x - 1)<sup>2</sup> - 3 
 
}}


Jetzt kennst und kannst du wirklich alles zur quadratischen Funktion. 
Stelle dein Wissen in der vierten und letzten Station unter Beweis.
Hier wird noch mal alles zuvor Erlernte in vermischten Aufgaben abgefragt.
Viel Erfolg! 

 


<div align="center"><big><u>'''STATION 4: Vermischte Aufgaben zur quadratischen Funktion'''</u></big></div>



<big>'''1. Aufgabe: Schüttelrätsel'''</big>

Finde die unverdrehte Lösung zu den verdrehten Wörtern! 

Du kannst deine Ergebnisse erst überprüfen, wenn alle Felder ausgefüllt sind!

<div class="schuettel-quiz">

Eine Funktion der Form f(x) = ax<sup>2</sup> + bx + c nennt man '''quadratische''' Funktion. <br>

Durch Umformen mit Hilfe der quadratischen '''Ergänzung''' erhält man die '''Scheitelpunktsform''' f(x) = a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>. <br>

An der Scheitelpunktsform kann man die '''Koordinaten''' für den '''Scheitelpunkt''' ablesen. <br>

Der Scheitelpunkt gibt dabei den '''höchsten''' oder '''tiefsten''' Punkt der Parabel an. <br>

Hat die Parabel einen höchsten Punkt, so ist sie nach '''unten''' geöffnet und der Parameter a ist '''negativ'''. <br>

Ist der Vorfaktor hingegen positiv, dann besitzt die Parabel einen '''tiefsten''' Punkt und die Parabel ist nach '''oben''' geöffnet. <br>

Außerdem bewirkt der Parameter a eine '''Streckung''', '''Stauchung''', und oder eine "Spiegelung" der Parabel. <br>

Nimmt der Vorfaktor einen Wert zwischen -1 und +1 an, so wird die Parabel '''gestaucht'''. <br>

Ist hingegen der Vorfaktor a kleiner -1 oder größer +1, so wird die Parabel '''gestreckt'''. <br> 
 
Neben der Streckung und Stauchung der Parabel durch den Parameter a, existieren noch die Parameter x<sub>s</sub> und y<sub>s</sub>, die für eine '''Verschiebung''' der Parabel in der '''Ebene''' verantwortlich sind. <br> 

Für y<sub>s</sub> > 0 wird die Parabel nach '''oben''' verschoben und für y<sub>s</sub> < 0 nach '''unten'''. <br>

Ähnlich verhält es sich mit dem Parameter x<sub>s</sub>, der für eine Verschiebung der Parabel in x-Richtung sorgt. <br>

Hier wird für x<sub>s</sub> > 0 nach '''rechts''' und für x<sub>s</sub> < 0 nach '''links''' verschoben. 


</div>


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<big>'''2. Aufgabe: KNIFFELAUFGABE'''</big>


Gegeben ist die Funktion f(x) = 0,5x<sup>2</sup> - x - 2,5 <br>
<br>

<div class="multiplechoice-quiz">
'''In welchem Punkt schneidet die Parabel die y-Achse und wie bestimmt man diesen Punkt?''' 
(!Man kann die Koordinaten nur mittels quadratischer Ergänzung bestimmen)
(Schnittpunkt mit y-Achse: [0; -2,5])     
(Durch Einsetzen des bekannten x-Wertes bestimmt man den y-Wert)
(Schnittpunkt mit y-Achse: [1; 2,5])
</div>


'''Tipp!''' <br>
{{versteckt|
Überlege dir, was gelten muss, wenn die Parabel die y-Achse schneidet.
}}

'''Hilfe:''' <br>
{{versteckt|
Du kennst einen Koordinantenpunkt. An der Stelle, an der die Parabel die y-Achse schneidet ist der x-Wert 0. Setze diesen Wert in die Gleichung ein und bestimme den zugehörigen y-Wert.  
}}

'''Erklärung:''' <br>
{{versteckt|
Wenn die Parabel die y-Achse schneidet ist der y-Wert vorgegeben, er ist 0. Diesen Wert setzt man in die Funktionsgleichung ein und bestimmt den y-Wert. 
      y <math>=</math> 0,5x<sup>2</sup> - x - 2,5      
      y <math>=</math> 0,5(0)<sup>2</sup> - 0 - 2,5
      y <math>=</math> -2,5
}}




<big>'''3. Aufgabe: Multiple Choice'''</big>

<div class="multiplechoice-quiz">

'''Für die Funktion f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + 2 gilt:''' (Die Parabel schneidet die y-Achse)(!Die Parabel schneidet die x-Achse)(Die Parabel hat den Scheitelpunkt [0, 2]) (!Die Parabel hat den Scheitelpunkt [2, 0]) (!Der Scheitelpunkt, ist der Punkt, an dem die Parabel die x-Achse schneidet)


'''Diese Funktion ist keine quadratische Funktion:''' (!y <math>=</math> [x - 2]<sup>2</sup>)(!y <math>=</math> 2x<sup>2</sup> + 3 - 5x)(y <math>=</math> 2x<sup>3</sup> + 2x + 3) (y <math>=</math> 8 + 2x) (!y <math>=</math> [x + 3][x - 3])


'''Für die Funktion f(x) <math>=</math> 2x<sup>2</sup> + 2x gilt:''' (Die Parabel geht durch den Koordinatenursprung)(!Die Parabel ist nach unten geöffnet)(Die Parabel ist nach oben geöffnet) (Die Parabel ist gestreckt)


'''Für den Graph der Funktion f(x) <math>=</math> -2 [x + 3]<sup>2</sup> - 2 gilt:''' (Der Graph geht nicht durch den Koordinatenursprung)(Der Graph ist identisch mit y <math>=</math> -2x<sup>2</sup> -12x -20)(!Der Graph ist eine verschobene Normalparabel) (!Der Graph ist nach oben geöffnet) (!Der Graph ist nach oben geöffnet)


'''Welche der folgenden Parabeln hat den Scheitelpunkt S(3, -2)?''' (!y <math>=</math> 2x<sup>2</sup> + 3x + 3) (y <math>=</math> -3[x - 3]<sup>2</sup> - 2) (y <math>=</math> 5[x - 3]<sup>2</sup> - 2) (!y <math>=</math> 12 [x + 3] - 2) 


'''Wenn die Parabel die x-Achse nicht schneidet, dann gilt:''' (!Die Parabel ist nach oben geöffnet) (Die Parabel ist nach unten geöffnet und der Parameter y<sub>s</sub> ist negativ) (y <math>=</math> 2[x - 5]<sup>2</sup> + 2) (!y <math>=</math> [x + 6]<sup>2</sup> - 1)  

</div>
<br>