Vierstreckensatz: Unterschied zwischen den Versionen
Aus DMUW-Wiki
(1.Station bearbeitet) |
(1. Station) |
||
| Zeile 9: | Zeile 9: | ||
==1. Station: Erster und zweiter Vierstreckensatz== | ==1. Station: Erster und zweiter Vierstreckensatz== | ||
[[Bild:Porzelt_Laptop.jpg]] | [[Bild:Porzelt_Laptop.jpg]] | ||
| − | :'''Zoll''' ist eine '''Längeneinheit''' die im Alltag häufig zu finden ist, z.B. bei Laptops, Computern | + | :'''Zoll''' ist eine '''Längeneinheit''' die im Alltag häufig zu finden ist, z.B. bei Laptops, Computern und Fernsehern. |
| − | + | :Um sich die Größe besser vorstellen zu können, soll die Einheit Zoll in Zentimeter umgerechnet werden. | |
:Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten: | :Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten: | ||
:*die algebraische Berechnung | :*die algebraische Berechnung | ||
| Zeile 16: | Zeile 16: | ||
:Als Bepsiel nehmen wir die Umrechnung von einem 15 Zoll Laptop. | :Als Bepsiel nehmen wir die Umrechnung von einem 15 Zoll Laptop. | ||
<br> | <br> | ||
| − | + | *Finde heraus wie du die Aufgabe '''algebraisch''' lösen kannst: | |
::'''Gegeben''': Der Laptop hat einen 15 Zoll Bildschirm. 1 Zoll entspricht 2,54 cm. | ::'''Gegeben''': Der Laptop hat einen 15 Zoll Bildschirm. 1 Zoll entspricht 2,54 cm. | ||
::'''Gesucht''': Umrechnung von 15 Zoll in cm. | ::'''Gesucht''': Umrechnung von 15 Zoll in cm. | ||
| Zeile 24: | Zeile 24: | ||
</div> | </div> | ||
<br> | <br> | ||
| − | + | <br> | |
| − | :: | + | *Im Folgenden wird dir gezeigt, wie du die Aufgabe '''geometrisch''' lösen kannst: |
| + | [[Bild:Porzelt_geometrisch.jpg|center]] | ||
| + | ::Wie du auf der Zeichnung sehen kannst werden '''zwei Halbgeraden''' mit dem gemeinsamen '''Anfangspunkt Z''' gezeichnet. | ||
| + | ::Auf diesen werden die Längen '''1 cm''' und '''15 cm''' abgetragen. Die '''Endpunkte''' der Strecken sind '''A''' und '''B'''. Diese werden | ||
| + | ::verbunden und man trägt in Z die Strecke [ZA'] mit <span style="text-decoration: overline;">ZA'</span> = 2,54 cm ab. Die '''Parallele''' durch A' zu [AB] schneidet die Halbgerade in B'. | ||
| + | ::Man kann '''<span style="text-decoration: overline;">ZB'</span> = 38,1 cm''' abmessen. | ||
| + | ::Wenn AB || A'B' ist, gilt: <math>{\overline{ZA}\over\overline{ZA'}}</math> = <math>{\overline{ZB}\over\overline{ZB'}}</math>. | ||
| + | <br> | ||
| + | ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ||
| + | ::'''Begründung:''' | ||
| + | ::Vorrausgesetzt wird dass die Gerade '''A'B' zu AB parallel''' ist. Das Dreieck A'ZB' kann somit als das Bild des Dreiecks AZB | ||
| + | ::mit dem Streckungszentrum Z aufgefasst werden. Der Punkt A wurde also auf den Punkt A' und Punkt B wurde auf Punkt B' abgebildet. | ||
| + | ::Das Verhältnis von Strecken ist wegen der Eigenschaft der '''Verhältnistreue''' | ||
| + | ::gleich, so auch <math>{\overline{ZA}\over\overline{AA'}}</math> = <math>{\overline{ZB}\over\overline{BB'}}</math> <math>{\overline{ZA}\over\overline{ZA'}}</math> = <math>{\overline{ZB}\over\overline{ZB'}}</math>. | ||
| + | ::Dies bedeutet, dass sich '''die Abschnitte auf der einen Halbgeraden genauso verhalten, wie die Abschnitte auf der anderen | ||
| + | ::Halbgeraden (erster Vierstreckensatz)'''. | ||
| + | ::Weiterhin gilt aufgrund der Eigenschaft der Verhältnistreue: | ||
| + | ::<math>{\overline{ZA}\over\overline{ZA'}}</math> = <math>{\overline{AB}\over\overline{A'B'}}</math> | ||
| + | ::Dass heißt, dass sich '''die Längen der Abschnitte auf den Parallelen wie die vom Schnittpunkt aus gemessenen Längen der ::Abschnitte auf einer Geraden verhalten (zweiter Vierstreckensatz)'''. | ||
| + | <br> | ||
| + | |||
| + | ==2. Station: Zusammenfassung== | ||
| + | :Hier siehst du alles noch einmal zusammengefasst. Trage den Kasten bitte in dein Heft ein! | ||
Version vom 5. Juli 2009, 16:25 Uhr
 Lernpfad
|
1. Station: Erster und zweiter Vierstreckensatz
- Zoll ist eine Längeneinheit die im Alltag häufig zu finden ist, z.B. bei Laptops, Computern und Fernsehern.
- Um sich die Größe besser vorstellen zu können, soll die Einheit Zoll in Zentimeter umgerechnet werden.
- Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten:
- die algebraische Berechnung
- oder die geometrische.
- Als Bepsiel nehmen wir die Umrechnung von einem 15 Zoll Laptop.
- Finde heraus wie du die Aufgabe algebraisch lösen kannst:
- Gegeben: Der Laptop hat einen 15 Zoll Bildschirm. 1 Zoll entspricht 2,54 cm.
- Gesucht: Umrechnung von 15 Zoll in cm.
- Lösung: Berechne in deinem Heft und trage hier deine berechnete Lösung mit Angabe der Einheit (cm) ein!
15 Zoll entsprechen 38,1 cm (Tipp: Berechne mit Hilfe des Dreisatzes).
- Im Folgenden wird dir gezeigt, wie du die Aufgabe geometrisch lösen kannst:
- Wie du auf der Zeichnung sehen kannst werden zwei Halbgeraden mit dem gemeinsamen Anfangspunkt Z gezeichnet.
- Auf diesen werden die Längen 1 cm und 15 cm abgetragen. Die Endpunkte der Strecken sind A und B. Diese werden
- verbunden und man trägt in Z die Strecke [ZA'] mit ZA' = 2,54 cm ab. Die Parallele durch A' zu [AB] schneidet die Halbgerade in B'.
- Man kann ZB' = 38,1 cm abmessen.
- Wenn AB || A'B' ist, gilt:
= 
.
- Begründung:
- Vorrausgesetzt wird dass die Gerade A'B' zu AB parallel ist. Das Dreieck A'ZB' kann somit als das Bild des Dreiecks AZB
- mit dem Streckungszentrum Z aufgefasst werden. Der Punkt A wurde also auf den Punkt A' und Punkt B wurde auf Punkt B' abgebildet.
- Das Verhältnis von Strecken ist wegen der Eigenschaft der Verhältnistreue
- gleich, so auch
= 
= .
- Dies bedeutet, dass sich die Abschnitte auf der einen Halbgeraden genauso verhalten, wie die Abschnitte auf der anderen
- Halbgeraden (erster Vierstreckensatz).
- Weiterhin gilt aufgrund der Eigenschaft der Verhältnistreue:
- =
- Dass heißt, dass sich die Längen der Abschnitte auf den Parallelen wie die vom Schnittpunkt aus gemessenen Längen der ::Abschnitte auf einer Geraden verhalten (zweiter Vierstreckensatz).
2. Station: Zusammenfassung
- Hier siehst du alles noch einmal zusammengefasst. Trage den Kasten bitte in dein Heft ein!
