Vierstreckensatz: Unterschied zwischen den Versionen
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::1. Schritt: Zeichne zwei Halbgeraden mit gemeinsamen Anfangspunkt Z und trage auf diesen Halbgeraden | ::1. Schritt: Zeichne zwei Halbgeraden mit gemeinsamen Anfangspunkt Z und trage auf diesen Halbgeraden | ||
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::Wenn AB || A'B' ist, gilt: <math>{\overline{ZA}\over\overline{ZA'}}</math> = <math>{\overline{ZB}\over\overline{ZB'}}</math>. | ::Wenn AB || A'B' ist, gilt: <math>{\overline{ZA}\over\overline{ZA'}}</math> = <math>{\overline{ZB}\over\overline{ZB'}}</math>. | ||
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Version vom 5. Juli 2009, 17:31 Uhr
 Lernpfad
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1. Station: Erster und zweiter Vierstreckensatz
- Zoll ist eine Längeneinheit die im Alltag häufig zu finden ist, z.B. bei Laptops, Computern und Fernsehern.
- Um sich die Größe besser vorstellen zu können, soll die Einheit Zoll in Zentimeter umgerechnet werden.
- Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten:
- die algebraische Berechnung
- oder die geometrische.
- Als Bepsiel nehmen wir die Umrechnung von einem 15 Zoll Laptop.
- Finde heraus wie du die Aufgabe algebraisch lösen kannst:
- Gegeben: Der Laptop hat einen 15 Zoll Bildschirm. 1 Zoll entspricht 2,54 cm.
- Gesucht: Umrechnung von 15 Zoll in cm.
- Lösung: Berechne in deinem Heft und trage hier deine berechnete Lösung mit Angabe der Einheit (cm) ein!
15 Zoll entsprechen 38,1 cm (Tipp: Berechne mit Hilfe des Dreisatzes).
- Im Folgenden wird dir gezeigt, wie du die Aufgabe geometrisch lösen kannst.
- Klicke die Schritte nacheinander an:
- 1. Schritt: Zeichne zwei Halbgeraden mit gemeinsamen Anfangspunkt Z und trage auf diesen Halbgeraden
- die Längen 1 cm und 15 cm ab. Benenne die Endpunkte der Strecken mit A und B.
- 2. Schritt: Verbinde Punkt A mit Punkt B.
- 3. Schritt: Trage in Z die Strecke [ZA'] mit ZA' = 2,54 cm ab.
- 4. Schritt: Zeichne eine Parallele durch A' zu [AB].
- 5. Schritt: Benenne Schnittpunkt mit B'.
- 6. Schritt: Miss ZB' ab.
- Wenn AB || A'B' ist, gilt:
= 
.
- Wenn AB || A'B' ist, gilt:
- Begründung:
- Vorrausgesetzt wird dass die Gerade A'B' zu AB parallel ist. Das Dreieck A'ZB' kann somit als das Bild des Dreiecks AZB
- mit dem Streckungszentrum Z aufgefasst werden. Der Punkt A wurde also auf den Punkt A' und Punkt B wurde auf Punkt B' abgebildet.
- Das Verhältnis von Strecken ist wegen der Eigenschaft der Verhältnistreue
- gleich, so auch
= 
, oder = .
- Dies bedeutet, dass sich die Abschnitte auf der einen Halbgeraden genauso verhalten, wie die Abschnitte auf der anderen
- Halbgeraden (erster Vierstreckensatz).
- Weiterhin gilt aufgrund der Eigenschaft der Verhältnistreue:
- =
- Dass heißt, dass sich die Längen der Abschnitte auf den Parallelen wie die vom Schnittpunkt aus gemessenen Längen der ::Abschnitte auf einer Geraden verhalten (zweiter Vierstreckensatz).
2. Station: Zusammenfassung
- Hier siehst du alles noch einmal zusammengefasst. Trage den Kasten bitte in dein Heft ein!
