Grundlagen der Zerlegungsgleichheit von Figuren: Unterschied zwischen den Versionen
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| + | - alle '''kongruenten''' Figuren haben die '''gleiche Farbe''' | ||
| + | + alle '''kongruenten''' Figuren haben den '''gleichen Flächeninhalt''' | ||
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*'''In dieser Darstellung siehst Du drei Möglichkeiten, wie man kongruente Figuren erzeugen kann.''' | *'''In dieser Darstellung siehst Du drei Möglichkeiten, wie man kongruente Figuren erzeugen kann.''' | ||
| − | *''' | + | *'''Dreieck A, B, C und D sind kongruent zueinander.''' '''Wie kann man die Dreiecke B, C und D ausgehend vom Dreieck A erzeugen?''' |
| − | |<ggb_applet height=" | + | |<ggb_applet height="600" width="750" showResetIcon="true" filename="Ebert_Kongruenzabbildungen3.ggb"/>|| |
| − | * Im '''1. Schritt''' wird das Dreieck an einer Achse '''gespiegelt'''. Diese Spiegelachse kannst Du | + | * Im '''1. Schritt''' wird das Dreieck an einer Achse '''gespiegelt'''. Diese Spiegelachse kannst Du an den roten Punkten ändern. Beobachte wie sich das gespiegelte Dreieck verändert. |
* Im '''2. Schritt''' kannst Du das Dreieck '''verschieben''' | * Im '''2. Schritt''' kannst Du das Dreieck '''verschieben''' | ||
| − | * Im '''3. Schritt''' kannst Du das Dreieck | + | * Im '''3. Schritt''' kannst Du das Dreieck '''drehen.''' Der Winkel zeigt Dir dabei an, um wieviel Grad Du das Dreieck drehst. |
| − | * '''Spiegelungen, Drehungen und Verschiebungen''' nennt man '''Kongruenzabbildungen''', da die Bildfiguren in allen Maßen mit der Ausgangsfigur übereinstimmen. '''Bildfigur und Ausgangsfigur sind kongruent zueinander''' | + | * '''Spiegelungen, Drehungen und Verschiebungen''' nennt man '''Kongruenzabbildungen''', da die Bildfiguren in allen Maßen mit der Ausgangsfigur übereinstimmen. '''Bildfigur und Ausgangsfigur sind kongruent zueinander''' |
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| − | |[[Bild:Ebert_MotivatorHinweis.jpg|center]]|| <div class="schuettel-quiz"> <br> Zwei Figuren sind zueinander kongruent, wenn sie durch '''Verschiebung''','''Drehung''' oder '''Spiegelung'''<br> ineinander überführt werden können. <br> Diese drei Abbildungen nennt man daher auch '''Kongruenz'''-abbildungen.<br> | + | |[[Bild:Ebert_MotivatorHinweis.jpg|center]]|| <div class="schuettel-quiz"> <br> Zwei Figuren sind zueinander kongruent, wenn sie durch '''Verschiebung''','''Drehung''' oder '''Spiegelung'''<br> ineinander überführt werden können. <br> Diese drei Abbildungen nennt man daher auch '''Kongruenz'''-abbildungen. Kongruente Figuren habe den gleichen Flächeninhalt.<br> |
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::::'''Im dem nächsten Abschnitt lernst Du ein weiteres Anwendungsbeispiel für die Kongruenz kennen''' | ::::'''Im dem nächsten Abschnitt lernst Du ein weiteres Anwendungsbeispiel für die Kongruenz kennen''' | ||
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[[Bild:Ebert_MotivatorenEinstiegFI.jpg|center]] | [[Bild:Ebert_MotivatorenEinstiegFI.jpg|center]] | ||
| − | === | + | ===Einführung=== |
====Kapitän Check Aufgabe: Welche ist die größte Insel?==== | ====Kapitän Check Aufgabe: Welche ist die größte Insel?==== | ||
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[[Bild:Ebert_KapitänCheckInsel.jpg|center]]<br> | [[Bild:Ebert_KapitänCheckInsel.jpg|center]]<br> | ||
:'''Aufgabenstellung:''' | :'''Aufgabenstellung:''' | ||
| − | : '''''Du siehst hier die 3 schwarzen Inseln. Darunter befinden sich alle Teilfiguren, mit denen man die Inseln vollständig zusammensetzen kann. Du kannst diese Teilfiguren auf die Inseln | + | : '''''Du siehst hier die 3 schwarzen Inseln. Darunter befinden sich alle Teilfiguren, mit denen man die Inseln vollständig zusammensetzen kann. Du kannst diese Teilfiguren auf die Inseln ziehen. ''''' |
| − | * Überlege Dir zunächst selbst, wo die nächste Teilfigur platziert werden könnte | + | * Überlege Dir zunächst selbst, wo die nächste Teilfigur platziert werden könnte. |
* Wenn Du eine Hilfestellung brauchst, dann Klicke die Kontrollkästchen an. | * Wenn Du eine Hilfestellung brauchst, dann Klicke die Kontrollkästchen an. | ||
* Was fällt Dir auf? Welche ist die größte Insel? | * Was fällt Dir auf? Welche ist die größte Insel? | ||
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| − | Die Figuren A und C sind gleich groß, da sie mit sechs Teilfiguren ausgelegt werden können, die jeweils kongruent zueinander sind | + | Die Figuren A und C sind gleich groß, da sie mit sechs Teilfiguren ausgelegt werden können, die jeweils kongruent zueinander sind. |
| − | <br>Figur B kann mit einer Teilfigur mehr ausgelegt werden, deshalb ist sie die größte der drei Inseln.}} | + | <br>Figur B kann mit einer Teilfigur, dem grauen Dreieck mehr ausgelegt werden, deshalb ist sie die größte der drei Inseln.}} |
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| − | |[[Bild:Ebert_MotivatorHinweis.jpg]]|| * Figuren, die mit der '''gleichen Anzahl kongruenter Teilfiguren ausgelegt''' werden können kann man in diese Teilfiguren '''zerlegen'''. | + | |[[Bild:Ebert_MotivatorHinweis.jpg]]|| |
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| + | * Figuren, die mit der '''gleichen Anzahl kongruenter Teilfiguren ausgelegt''' werden können, kann man natürlich auch in diese Teilfiguren '''zerlegen'''. | ||
| + | *Da die Inseln A und B in die gleiche Zahl kongruenter Teilfiguren zerlegt werden können, nennt man Figur A und C daher auch <span style="color:#00CD00">'''zerlegungsgleich,'''</span> | ||
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Zwei Figuren sind <span style="color:#ff0000">'''zerlegungsgleich,'''</span> wenn sie in paarweise <span style="color:#ff0000">'''kongruente Teilfiguren'''</span> zerlegt werden können.<br> ''Beispiel:'' | Zwei Figuren sind <span style="color:#ff0000">'''zerlegungsgleich,'''</span> wenn sie in paarweise <span style="color:#ff0000">'''kongruente Teilfiguren'''</span> zerlegt werden können.<br> ''Beispiel:'' | ||
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| + | | [[Bild:Ebert_MotivatorHinweis.jpg]]|| | ||
| + | * Du weißt bereits, wie man den Flächeninhalt des linken Quadrates berechnet. Formel | ||
| + | [[Bild:Ebert_Merkbilder_Zerlegungsgleichheit.jpg]] | ||
| + | * Da das nebenstehende Sechseck zerlegungsgleich zum Quadrat ist und damit den gleichen Flächeninhalt wie das Quadrat besitzt. kennen wir auch den Flächeninhalt des Sechsecks. | ||
| + | * <span style="color: #008B00">'''Man kann die Berechnung des Flächeninhaltes von Figuren, für die man keine Berechnungsformel kennt, auf Figuren zurückführen, für die man eine Flächeninhaltsformel kennt.'''</span> | ||
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===Ergänzungsgleichheit von Figuren=== | ===Ergänzungsgleichheit von Figuren=== | ||
Version vom 11. Juli 2009, 10:10 Uhr
1. Grundlagen der Zerlegungsgleichheit von Figuren
Auf dieser Seite lernst Du die Eigenschaften der Zerlegungsgleichheit von Figuren kennen.
Bearbeite die Aufgaben sorgfältig!
Nicht mogeln...schaue erst die Lösungen an, wenn du die Aufgaben selbstsändig bearbeitet hast!
Denn nur so lernst du am Besten!
1.1 Wiederholung des Kongruenzbegriffes
- Weißt Du noch was man unter Kongruenz von Figuren versteht??
- Eine Wiederholung kann sicher nicht schaden.
1.2 Los geht´s: Teste Dein Wissen!
- Ein anderes Wort für Kongruenz ist Deckungs-gleichheit
- Hinweis: Kongruente Figuren kann man zur Deckung bringen
Aufgabe: Kongruente Dreiecke
- Findest Du alle Dreiecke, die zum Dreieck A kongruent sind?
Gib die Buchstaben an.
- War Deine Lösung richtig?
Wie erzeugt man kongruente Figuren?
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Das sollest du also wissen
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Zwei Figuren sind zueinander kongruent, wenn sie durch Verschiebung,Drehung oder Spiegelung ineinander überführt werden können. Diese drei Abbildungen nennt man daher auch Kongruenz-abbildungen. Kongruente Figuren habe den gleichen Flächeninhalt. |
Wofür können wir die Kongruenz von Figuren gebrauchen?
- Du kennst sicher ein paar Anwendungsbeispiele wofür man die Eigenschaften der man die Kongruenz von Figuren nutzen kann.
Dazu gehört zum Beispiel die Konstruktion von Dreiecken, wofür man die Kongruenzsätze benötigt. Kennst Du noch alle davon?
- Ordne die richtige Abkürzung der Beschreibung zu!
Zwei Dreiecke, die in ihren drei Seitenlängen übereinstimmen, sind kongruent: SSS-Satz
Zwei Dreiecke, die in einer Seitenlänge und in den dieser Seite anliegenden Winkeln übereinstimmen, sind kongruent: WSW-Satz
Zwei Dreiecke, die in zwei Seitenlängen und in dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, sind kongruent: SWS-Satz
Zwei Dreiecke, die in zwei Seitenlängen und in jenem Winkel übereinstimmen, der der längeren Seite gegenüberliegt, sind kongruent: SsW-Satz
- Im dem nächsten Abschnitt lernst Du ein weiteres Anwendungsbeispiel für die Kongruenz kennen
Zerlegungsgleichheit von Figuren
Einführung
Kapitän Check Aufgabe: Welche ist die größte Insel?
- Aufgabenstellung:
- Du siehst hier die 3 schwarzen Inseln. Darunter befinden sich alle Teilfiguren, mit denen man die Inseln vollständig zusammensetzen kann. Du kannst diese Teilfiguren auf die Inseln ziehen.
- Überlege Dir zunächst selbst, wo die nächste Teilfigur platziert werden könnte.
- Wenn Du eine Hilfestellung brauchst, dann Klicke die Kontrollkästchen an.
- Was fällt Dir auf? Welche ist die größte Insel?
- Trage hier den Namen der Insel ein, die am größten ist:
Die größte Insel ist Isola Bella (entweder Isola Grande, Isola Bella oder Isola Piccola eintragen)
- Begründe Deine Antwort, warum ist diese Insel die größte?
Die Figuren A und C sind gleich groß, da sie mit sechs Teilfiguren ausgelegt werden können, die jeweils kongruent zueinander sind.
Figur B kann mit einer Teilfigur, dem grauen Dreieck mehr ausgelegt werden, deshalb ist sie die größte der drei Inseln.
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2.3 Das Prinzip der Zerlegungsgleichheit
- Das Sechseck und das Quadrat wurden in jeweils fünf Teilfiguren zerlegt.
- Diese Teilfiguren sind paarweise zueinander kongruent, d.h. es gibt immer ein Paar zueinander kongruenter Figuren.
- Aus den Eigenschaften der Kongruenz ergibt sich daher, dass diese Teilfiguren den gleichen Flächeninhalt besitzen.
- Der Flächeninhalt des Quadrates setzt sich in diesem Beispiel aus den Flächeninhalten der Teilfiguren F1 bis F5 zusammen.
Ergänze die fehlenden Felder
FQuadrat = F1 + F2 + F3 + F4 + F5 =FSechseck
- Somit haben Sechseck und Quadrat in dem Beispiel den gleichen Flächeninhalt!
<br
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* Der Flächeninhalt der Gesamtfigur ergibt sich aus der Addition der Flächeninhalte der Teilfiguren. *Zwei Flächen besitzen den gleichen Flächeninhalt, wenn sie in kongruente Teilfiguren zerlegt werden können. |
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Das ist ja klasse! * Man kann eine Figur also in Teilfiguren zerschneiden und diese Teilfiguren wieder zu einer neuen Figur zusammensetzen. (besser mit Bild!!!) *Der Flächeninhalt dieser beiden Figuren ändert sich dabei aber nicht. * Somit können wir feststellen, dass zwei Figuren den gleichen Flächeninhalt besitzen, obwohl wir den Flächeninhalt der einzelnen Teilflächen selbst noch gar nicht berechnen können! |
Hierzu ein kleines Beispiel:
- Kannst Du zeigen, dass die beiden folgenden Figuren den gleichen Flächeninhalt haben?
Hier findest du den Hinweis
Zusammenfassung
- Übertrage folgende Definition in Dein Heft:
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Zerlegungsgleichheit von Figuren
Zwei Figuren sind zerlegungsgleich, wenn sie in paarweise kongruente Teilfiguren zerlegt werden können. |
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Ergänzungsgleichheit von Figuren
- Das Trapez und das Rechteck sind zerlegungsgleich, denn sie können z.B. in jeweils vier zueinander kongruente Dreiecke zerlegt werden.
- Man nennt dieses Rechteck und das Trapez aber auch ergänzungsgleich. Betrachte Dir dazu das nachfolgende Bild:
- Was bedeutet Ergänzungsgleichheit? Fülle dazu die Lücken aus:
Das Trapez und das Rechteck sind ergänzungsgleich, das sie durch Ergänzung mit kongruenten Teilfiguren, in diesem Fall mit je zwei blauen Dreiecken in zueinander kongruente Figuren A und B überführt werden können.
- Merke Dir folgende Definition zur Ergänzungsgleichheit:
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Zwei Figuren sind ergänzungsgleich, wenn man sie durch Ergänzung mit kongruenten Teilfiguren in zerlegungsgleiche Figuren umwandeln kann. Ergänzungsgleiche Figuren sind daher auch zerlegungsgleich.Ergänzungsgleiche Figuren besitzen den gleichen Flächeninhalt. |
Vertiefen und Übung
Klassenzimmer streichen
Eine Schulklasse hat sich entschieden die Rückwand des Klassenzimmers neu zu streichen. Da die Mädchen gelb und die Jungen grün streichen wollen, haben sie sich geeinigt die Rückwand jeweils in der Hälfte der Farben zu streichen.
- Hilf der Klasse bei den Designvorschlägen.
- Hier siehst Du die Rückwand des Klassenzimmers. Sie ist 4 Meter hoch und 6 Meter breit.
Das Rechteck stellt die Rückwand des Klassenzimmers dar. Dieses Bild zeigt eine Möglichkeit die Rückwand zur Hälfte grün und zur anderen Hälfte gelb zu streichen.
(Bild wird noch eingefügt)
Wieviele Vorschläge hast Du? Übertage das Rechteck in Dein Heft und sei kreativ! Aber achte auch auf die Aufgabenstellung!
- Du findest hier ein paar Lösungsvorschläge:
Hast Du mehr Ideen gefunden?? Prima!
Aufgabenstellung:
Zeige, warum im Lösungsvorschlag 1, 3, 7 und 8 jeweils genau die Hälfte grün bzw. gelb gestrichen wird. Begründe mit dem, was Du bisher über Flächeninhalte gelernt hast. (Änderung in Multiple Choice! und Bilder einfügen.)
- Rechteck 1 wurde in 2 kongruente Teilrechtecke zerlegt, die jeweils grün bzw. gelb gefärbt sind. Da zueinander kongruente Figuren den gleichen Flächeninhalt besitzen ist genau die Hälfte des Rechtechs grün bzw. gelb.
- Rechteck 3 wurde entlang der Diagonalen halbiert. Es entstehen dabei 2 kongruente Teildreiecke. Argumentation weiter wie für Rechteck 1.
- Das Rechteck 7 wurde in 4 kongruente Dreiecke zerlegt. Je 2 davon wurden grün bzw. gelb gefärbt. Da
wurde je die Hälfte grün bzw. gelb gefärbt.
- Dieses 8. Rechteck wurde in 8 kongruente Teildreiecke zerlegt. Je 4 davon wurden grün bzw. gelb gefärbt. Agrumentation analog wie für Rechteck 7
