Die Scheitelpunkts- und Normalform und der Parameter a: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Lernpfad-M|<big>'''Die Scheitelpunkts- und Normalform und der Parameter a'''</big> | {{Lernpfad-M|<big>'''Die Scheitelpunkts- und Normalform und der Parameter a'''</big> | ||
− | + | __NOCACHE__ | |
− | + | ||
'''In diesem Lernpfad werden alle erlernten Parameter zusammengeführt! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!''' | '''In diesem Lernpfad werden alle erlernten Parameter zusammengeführt! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!''' | ||
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<div align="center"><big><u>'''STATION 1: Die Scheitelpunktsform und der Parameter a'''</u></big></div> | <div align="center"><big><u>'''STATION 1: Die Scheitelpunktsform und der Parameter a'''</u></big></div> | ||
− | + | <br> | |
{| {{Prettytable}} | {| {{Prettytable}} | ||
|- style="background-color:#8DB6CD" | |- style="background-color:#8DB6CD" | ||
− | ! Quadratische Funktion f(x)<math>=</math>a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub> !! Hinweise, Aufgabe und Lückentext: | + | ! Quadratische Funktion "f(x)<math>=</math>a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"!! Hinweise, Aufgabe und Lückentext: |
|- | |- | ||
| <ggb_applet height="450" width="450" showResetIcon="true" filename="Verschiebendergqf.ggb" /> || | | <ggb_applet height="450" width="450" showResetIcon="true" filename="Verschiebendergqf.ggb" /> || | ||
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'''Aufgabe:''' | '''Aufgabe:''' | ||
− | * Versuche mit Hilfe | + | * Versuche mit Hilfe des "GeoGebra-Applets" den Lückentext zu lösen |
− | * Bediene dafür die Schieberegler a, y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub>, um dir die Eigenschaften der einzelnen Parameter | + | * Bediene dafür die Schieberegler a, y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub>, um dir die Eigenschaften der einzelnen Parameter ins Gedächtnis zu holen |
+ | |||
+ | * Ziehe mit gehaltener linker Maustaste den passenden Textbaustein in die freien Felder | ||
− | |||
'''Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:''' <br> | '''Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:''' <br> | ||
− | + | ||
<div class="lueckentext-quiz"> | <div class="lueckentext-quiz"> | ||
− | Die Scheitelpunktsform mit dem Paramter a besitzt die Gleichung '''y = a[x - x<sub>s</sub>]<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>'''. Die allgemeine Scheitelpunktsform wird dabei um den Parameter '''a''' erweitert. Dadurch kommt neben der '''Verschiebung''' der Parabel noch die '''Streckung, Stauchung und Spiegelung''' dazu. Ferner gilt festzuhalten, dass die Verschiebung in der '''Ebene''' | + | Die Scheitelpunktsform mit dem Paramter a besitzt die Gleichung '''y = a[x - x<sub>s</sub>]<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>'''. Die allgemeine Scheitelpunktsform wird dabei um den Parameter '''a''' erweitert. Dadurch kommt neben der '''Verschiebung''' der Parabel noch die '''Streckung, Stauchung und Spiegelung''' dazu. Ferner gilt festzuhalten, dass sowohl die Verschiebung der Parabel in der '''Ebene''', sowie die Veränderung durch den Vorfaktor a, '''unabhängig''' voneinander betrachtet werden. |
</div> | </div> | ||
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<br><br><br> | <br><br><br> | ||
− | Um die wichtigsten Eigenschaften aller Parameter | + | Um die wichtigsten Eigenschaften aller Parameter zu wiederholen, lies das folgende Merke und überprüfe, ob dir alle Eigenschaften klar sind. |
{{Merke| | {{Merke| | ||
− | Für die quadratische Funktion '''f(x)<math>=</math>a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>''' gilt: | + | Für die quadratische Funktion '''"f(x)<math>=</math>a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"''' gilt: |
* Für den Parameter a gilt: | * Für den Parameter a gilt: | ||
** Der Parameter a sorgt für eine '''Streckung''', '''Stauchung''' und/oder '''Spiegelung''' der Parabel | ** Der Parameter a sorgt für eine '''Streckung''', '''Stauchung''' und/oder '''Spiegelung''' der Parabel | ||
Zeile 57: | Zeile 57: | ||
** Für '''0 < a < 1''' ist der Graph '''gestaucht''' und nach '''oben''' geöffnet | ** Für '''0 < a < 1''' ist der Graph '''gestaucht''' und nach '''oben''' geöffnet | ||
** Für '''a < -1''' ist der Graph '''gestreckt''' und nach '''unten''' geöffnet | ** Für '''a < -1''' ist der Graph '''gestreckt''' und nach '''unten''' geöffnet | ||
− | ** Für ''' | + | ** Für '''-1 < a < 0''' ist der Graph '''gestaucht''' und nach '''unten''' geöffnet |
* Für den Parameter x<sub>s</sub> gilt: | * Für den Parameter x<sub>s</sub> gilt: | ||
Zeile 82: | Zeile 82: | ||
<big>'''1. Aufgabe:'''</big> | <big>'''1. Aufgabe:'''</big> | ||
− | Du siehst hier ein paar Graphen | + | Du siehst hier sowohl ein paar Graphen, als auch ein paar Funktionsvorschriften der Form |
− | f(x) <math>=</math> a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>. Versuche | + | "f(x) <math>=</math> a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>". Versuche die jeweils richtigen Pärchen zu finden. |
Zeile 114: | Zeile 114: | ||
<br> | <br> | ||
<br> | <br> | ||
− | Ich nehme an, dass | + | <br> |
+ | Ich nehme an, dass das kein Problem für dich war. Bei dieser Aufgabe war es nämlich noch nicht nötig den Vorfaktor a zu bestimmen. | ||
Jetzt wollen wir das Ganze ein wenig erschweren! | Jetzt wollen wir das Ganze ein wenig erschweren! | ||
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<big>'''2. Aufgabe:'''</big> | <big>'''2. Aufgabe:'''</big> | ||
− | Finde zu den vorgegebenen Graphen die Funktionsvorschrift! | + | Finde zu den vorgegebenen Graphen die passende Funktionsvorschrift! |
− | Falls du nicht genau weißt wie du vorgehen sollst, öffne die anschließende Hilfe! | + | Falls du nicht genau weißt, wie du vorgehen sollst, öffne die anschließende Hilfe! |
− | Tipp! Die Vorgehensweise ist | + | Tipp! Die Vorgehensweise ist dieselbe wie bei "f(x) = ax<sup>2</sup>". |
Nach dem Bild wird dein Ergebnis abgefragt. | Nach dem Bild wird dein Ergebnis abgefragt. | ||
Zeile 164: | Zeile 165: | ||
{{versteckt| | {{versteckt| | ||
{{Merke| | {{Merke| | ||
− | '''Anleitung zur Bestimmung des | + | '''Anleitung zur Bestimmung des Vorfaktors a:''' <br> |
− | * Der Startpunkt zum Bestimmen des | + | * Der Startpunkt zum Bestimmen des Vorfaktors ist der Scheitelpunkt<br> |
* Gehe auf der x-Achse eine Einheit nach rechts <br> | * Gehe auf der x-Achse eine Einheit nach rechts <br> | ||
* Bestimme in y-Richtung die Anzahl der Einheiten bis zur Parabelkurve <br> | * Bestimme in y-Richtung die Anzahl der Einheiten bis zur Parabelkurve <br> | ||
− | * Die Anzahl der Einheiten ergibt den Wert vom | + | * Die Anzahl der Einheiten ergibt den Wert vom Vorfaktor a <br> |
− | * Hat man die Einheiten nach oben abgezählt, | + | * Hat man die Einheiten nach oben abgezählt, dann ist der Wert von a positiv <br> |
− | * Hat man die Einheiten nach unten abgezählt, | + | * Hat man die Einheiten nach unten abgezählt, dann ist der Wert von a negativ <br> |
}} | }} | ||
}} | }} | ||
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<div class="multiplechoice-quiz"> | <div class="multiplechoice-quiz"> | ||
− | ''' | + | '''1. Wie lautet die richtige Funktionsgleichung für den Graph a?''' (!y <math>=</math> 1[x - 4]<sup>2</sup> - 3 ) (!y <math>=</math> 3[x – 4]<sup>2</sup> + 3 ) (y <math>=</math> 2[x – 4]<sup>2</sup> - 3 ) |
</div> | </div> | ||
<br> | <br> | ||
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<div class="multiplechoice-quiz"> | <div class="multiplechoice-quiz"> | ||
− | ''' | + | '''2. Wie lautet die richtige Funktionsgleichung für den Graph b?''' (!y =<math>=</math> -2[x + 2]<sup>2</sup> + 1) (y = <math>=</math> -4[x + 2]<sup>2</sup> + 1) (!y <math>=</math> -0,5[x + 2]<sup>2</sup> + 1) |
</div> | </div> | ||
<br> | <br> | ||
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<div class="multiplechoice-quiz"> | <div class="multiplechoice-quiz"> | ||
− | '''f(x) <math>=</math> -2x<sup>2</sup> + 5''' (!Die Parabel ist nach oben geöffnet)(Die Parabel ist nach unten geöffnet)(Die Parabel hat den höchsten Punkt bei [0 | + | '''"f(x) <math>=</math> -2x<sup>2</sup> + 5"''' (!Die Parabel ist nach oben geöffnet)(Die Parabel ist nach unten geöffnet)(Die Parabel hat den höchsten Punkt bei <math>[0|5]</math>) (Die Parabel ist gestreckt) (!Die Parabel ist gestaucht) (!Die Parabel ist um 2 Einheiten nach links verschoben) |
− | '''f(x) <math>=</math> (x - 3)<sup>2</sup> - 2''' (!Die Parabel ist gestaucht)( | + | '''"f(x) <math>=</math> (x - 3)<sup>2</sup> - 2"''' (!Die Parabel ist gestaucht)(Die Parabel hat den tiefsten Punkt bei <math>[0|-2]</math>)(Die Parabel verläuft durch den Punkt <math>[0|7]</math>) (!Die Parabel ist um 3 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel) (Die Parabel ist um 3 Einheiten nach rechts verschoben) |
− | '''f(x) <math>=</math> 6 + 2 (x + 2)<sup>2</sup>''' (!Die Parabel ist nach unten geöffnet)(!Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach rechts verschoben)(Die Parabel ist nach oben geöffnet ) (Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach links verschoben) (!Die Parabel ist gestaucht) (Die Parabel ist gestreckt) | + | '''"f(x) <math>=</math> 6 + 2 (x + 2)<sup>2</sup>"''' (!Die Parabel ist nach unten geöffnet)(!Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach rechts verschoben)(Die Parabel ist nach oben geöffnet ) (Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach links verschoben) (!Die Parabel ist gestaucht) (Die Parabel ist gestreckt) |
− | '''Die Parabel ist um 2 Einheiten nach links und um 4 Einheiten nach oben verschoben | + | '''Die gestreckte Parabel ist um 2 Einheiten nach links und um 4 Einheiten nach oben verschoben''' (!y <math>=</math> 4 [x - 2]<sup>2</sup> - 4)(!y <math>=</math> 0,2 [x - 2]<sup>2</sup> + 4)(!y <math>=</math> 2 [x - 2]<sup>2</sup> + 4)(y <math>=</math> 3 [x + 2]<sup>2</sup> + 4)(!y <math>=</math> 0,5 [x + 2]<sup>2</sup> - 4)(!y <math>=</math> 5 [x + 2]<sup>2</sup> - 4)(!y <math>=</math> 0,8 [x - 2]<sup>2</sup> + 4)(y <math>=</math> 1,77 [x + 2]<sup>2</sup> + 4) |
</div> | </div> | ||
− | |||
<br> | <br> | ||
<br> | <br> | ||
Zeile 240: | Zeile 240: | ||
<big>'''4. Aufgabe - KNIFFELAUFGABE:'''</big> | <big>'''4. Aufgabe - KNIFFELAUFGABE:'''</big> | ||
− | |||
− | |||
<div class="multiplechoice-quiz"> | <div class="multiplechoice-quiz"> | ||
Zeile 252: | Zeile 250: | ||
Falls du Hilfe brauchst, kannst du dir hier einen Tipp holen!<br> | Falls du Hilfe brauchst, kannst du dir hier einen Tipp holen!<br> | ||
{{versteckt| | {{versteckt| | ||
− | Eine Nullstelle ist der Punkt an dem der Graph die x-Achse schneidet!}} | + | Eine Nullstelle ist der Punkt, an dem der Graph die x-Achse schneidet!}} |
Zeile 258: | Zeile 256: | ||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
− | [[Bild: | + | [[Bild:ParabelStation2Aufgabe4.jpg|left]] |
− | Die | + | Die richtigen Lösungen sind y <math>=</math> 2 [x – 3]<sup>2</sup> - 2 und y <math>=</math> - [x + 1]<sup>2</sup> + 2, deren Graphen farbig hervorgehoben sind. <br> |
Wie du in der Grafik erkennen kannst, kommt es nur auf den Parameter y<sub>s</sub> und den Vorfaktor a an. <br> | Wie du in der Grafik erkennen kannst, kommt es nur auf den Parameter y<sub>s</sub> und den Vorfaktor a an. <br> | ||
− | Ist der Vorfaktor a positiv und der Parameter y<sub>s</sub> zugleich negativ, so liegt der Scheitelpunkt der Parabel unterhalb der x-Achse. <br> | + | Ist der Vorfaktor a positiv und der Parameter y<sub>s</sub> zugleich negativ, so liegt der Scheitelpunkt der nach oben geöffneten Parabel unterhalb der x-Achse. <br> |
− | + | Durch diese Gegebenheit schneidet die Parabel die x-Achse ab einem bestimmten Wert für x. | |
<br> | <br> | ||
Genau umgekehrt verhält es sich für den Fall, dass der Vorfaktor a negativ und der Parameter y<sub>s</sub> positiv ist. | Genau umgekehrt verhält es sich für den Fall, dass der Vorfaktor a negativ und der Parameter y<sub>s</sub> positiv ist. | ||
}} | }} | ||
+ | <br><br> | ||
+ | <div align="center"><big><u>'''STATION 3: Die Normalform und der Parameter a'''</u></big></div> | ||
− | + | Auch bei der Normalform ändert sich bei Hinzunahme des Vorfaktors a nicht viel. | |
− | + | ||
− | + | Wieder kommt es darauf an, die Normal- in die Scheitelpunktsform und umgekehrt, die Scheitelpunkts- in die Normalform umzuformen. | |
− | + | Wir betrachten zunächst die Umformung von der Scheitelpunkts- zur Normalform. | |
<br> | <br> | ||
− | <u>Von der | + | <u>Von der Scheitelpunkts- zur Normalform:</u> |
− | Da es sich genauso verhält wie im Lernpfad '''"Die Normalform f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"''' gezeigt, wirst du die Umformung wieder selbst | + | Da es sich genauso verhält wie im Lernpfad '''"Die Normalform f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"''' gezeigt, wirst du die Umformung wieder selbst durchführen. |
<big>'''Aufgabe:'''</big> | <big>'''Aufgabe:'''</big> | ||
− | Du hast die Scheitelpunktsform f(x) <math>=</math> 2(x - 3)<sup>2</sup> - 4 gegeben. | + | Du hast die Scheitelpunktsform '''"f(x) <math>=</math> 2(x - 3)<sup>2</sup> - 4"''' gegeben. |
− | Diese Form soll nun durch ''' | + | Diese Form soll nun durch '''"Ausmultiplizieren"''' und '''"Zusammenfassen"''' der Terme <br> |
− | auf die Form f(x) <math>=</math> ax<sup>2</sup> + bx + c gebracht werden. | + | auf die Form '''"f(x) <math>=</math> ax<sup>2</sup> + bx + c"''' gebracht werden. |
Du hast die einzelnen Terme vorgegeben, bring sie in die richtige Reihenfolge! | Du hast die einzelnen Terme vorgegeben, bring sie in die richtige Reihenfolge! | ||
Zeile 309: | Zeile 308: | ||
{{Merke| | {{Merke| | ||
− | Die Normalform f(x) <math>=</math> ax<sup>2</sup> + bx + c entsteht aus der Scheitelpunktsform f(x) <math>=</math> a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub> durch ''' | + | Die Normalform '''"f(x) <math>=</math> ax<sup>2</sup> + bx + c"''' entsteht aus der Scheitelpunktsform '''"f(x) <math>=</math> a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"''' durch '''"Ausmultiplizieren"''' und '''"Zusammenfassen"''' der Terme. <br> |
}} | }} | ||
Zeile 318: | Zeile 317: | ||
<u>Von der Normal- zur Scheitelpunktsform:</u> | <u>Von der Normal- zur Scheitelpunktsform:</u> | ||
− | Diese Umformung funktioniert genauso wie das im Lernpfad '''"Die Normalform f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"''' gezeigte Verfahren. Mittels quadratischer Ergänzung gelangt man zur Scheitelpunktsform. | + | Diese Umformung funktioniert genauso, wie das im Lernpfad '''"Die Normalform f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"''' gezeigte Verfahren. Mittels quadratischer Ergänzung gelangt man zur Scheitelpunktsform. |
− | Zur Wiederholung klicke dich durch die folgende Anleitung:<br> | + | Zur Wiederholung, klicke dich durch die folgende Anleitung:<br> |
<br> | <br> | ||
Zeile 358: | Zeile 357: | ||
}} | }} | ||
− | Um das ein wenig einzuüben löse die folgende Aufgabe! | + | Um das ein wenig einzuüben, löse die folgende Aufgabe! |
Zeile 364: | Zeile 363: | ||
<big>'''Aufgabe: Zuordnung - Gruppe'''</big> | <big>'''Aufgabe: Zuordnung - Gruppe'''</big> | ||
− | Nimm dir ausnahmsweise mal ein Blatt zur Hand und | + | Nimm dir ausnahmsweise mal ein Blatt und einen Stift zur Hand und stelle zu den vorgegebenen quadratischen Funktionen die Scheitelpunktsform auf. Ordne anschließend die entsprechenden Scheitelpunktsformen, Scheitelkoordinaten und Graphen den entsprechenden Funktionsgleichungen zu. |
<div class="zuordnungs-quiz"> | <div class="zuordnungs-quiz"> | ||
{| | {| | ||
− | | f(x)<math>=</math> 2x<sup>2</sup> + 12x + 14 || f(x)<math>=</math> 2(x + 3)<sup>2</sup> - 4 || <math> | + | | f(x)<math>=</math> 2x<sup>2</sup> + 12x + 14 || f(x)<math>=</math> 2(x + 3)<sup>2</sup> - 4 || S <math>[-3|-4]</math> || [[Bild:Station3AufgabeZuordnung1.jpg]] || |
|- | |- | ||
− | | f(x)<math>=</math> -3x<sup>2</sup> + 24x -41 || f(x)<math>=</math> -3(x - 4)<sup>2</sup> + 7 || <math> | + | | f(x)<math>=</math> -3x<sup>2</sup> + 24x -41 || f(x)<math>=</math> -3(x - 4)<sup>2</sup> + 7 || S <math>[4|7]</math> || [[Bild:Station3AufgabeZuordnung2.jpg]] || |
|- | |- | ||
− | | f(x)<math>=</math> x<sup>2</sup> - 2x - 2 || f(x)<math>=</math> (x - 1)<sup>2</sup> - 3 || <math> | + | | f(x)<math>=</math> x<sup>2</sup> - 2x - 2 || f(x)<math>=</math> (x - 1)<sup>2</sup> - 3 || S <math>[1|-3]</math> || [[Bild:Station3AufgabeZuordnung3.jpg]] |
|} | |} | ||
</div> | </div> | ||
Zeile 405: | Zeile 404: | ||
Jetzt kennst und kannst du wirklich alles zur quadratischen Funktion. | Jetzt kennst und kannst du wirklich alles zur quadratischen Funktion. | ||
Stelle dein Wissen in der vierten und letzten Station unter Beweis. | Stelle dein Wissen in der vierten und letzten Station unter Beweis. | ||
− | Hier wird | + | Hier wird alles zuvor Erlernte, in vermischten Aufgaben, abgefragt. |
Viel Erfolg! | Viel Erfolg! | ||
Zeile 423: | Zeile 422: | ||
<div class="schuettel-quiz"> | <div class="schuettel-quiz"> | ||
− | Eine Funktion der Form f(x) = ax<sup>2</sup> + bx + c nennt man '''quadratische''' Funktion. <br> | + | Eine Funktion der Form "f(x) = ax<sup>2</sup> + bx + c" nennt man '''quadratische''' Funktion. <br> |
− | Durch Umformen mit Hilfe der quadratischen '''Ergänzung''' erhält man die '''Scheitelpunktsform''' f(x) = a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>. <br> | + | Durch Umformen, mit Hilfe der quadratischen '''Ergänzung''', erhält man die '''Scheitelpunktsform''' "f(x) = a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>". <br> |
− | + | Anhand der Scheitelpunktsform kann man die '''Koordinaten''' für den '''Scheitelpunkt''' ablesen. <br> | |
Der Scheitelpunkt gibt dabei den '''höchsten''' oder '''tiefsten''' Punkt der Parabel an. <br> | Der Scheitelpunkt gibt dabei den '''höchsten''' oder '''tiefsten''' Punkt der Parabel an. <br> | ||
Zeile 433: | Zeile 432: | ||
Hat die Parabel einen höchsten Punkt, so ist sie nach '''unten''' geöffnet und der Parameter a ist '''negativ'''. <br> | Hat die Parabel einen höchsten Punkt, so ist sie nach '''unten''' geöffnet und der Parameter a ist '''negativ'''. <br> | ||
− | Ist der Vorfaktor hingegen positiv, | + | Ist der Vorfaktor hingegen positiv, so besitzt die Parabel einen '''tiefsten''' Punkt und die Parabel ist nach '''oben''' geöffnet. <br> |
− | Außerdem bewirkt der Parameter a eine '''Streckung | + | Außerdem bewirkt der Parameter a eine '''Streckung, Stauchung''', und/oder eine "Spiegelung" der Parabel. <br> |
Nimmt der Vorfaktor einen Wert zwischen -1 und +1 an, so wird die Parabel '''gestaucht'''. <br> | Nimmt der Vorfaktor einen Wert zwischen -1 und +1 an, so wird die Parabel '''gestaucht'''. <br> | ||
Zeile 443: | Zeile 442: | ||
Neben der Streckung und Stauchung der Parabel durch den Parameter a, existieren noch die Parameter x<sub>s</sub> und y<sub>s</sub>, die für eine '''Verschiebung''' der Parabel in der '''Ebene''' verantwortlich sind. <br> | Neben der Streckung und Stauchung der Parabel durch den Parameter a, existieren noch die Parameter x<sub>s</sub> und y<sub>s</sub>, die für eine '''Verschiebung''' der Parabel in der '''Ebene''' verantwortlich sind. <br> | ||
− | Für y<sub>s</sub> > 0 wird die Parabel nach '''oben''' | + | Für y<sub>s</sub> > 0 wird die Parabel nach '''oben''' und für y<sub>s</sub> < 0 nach '''unten''' verschoben. <br> |
− | Ähnlich verhält es sich | + | Ähnlich verhält es sich bei dem Parameter x<sub>s</sub>, der für eine Verschiebung der Parabel in x-Richtung sorgt. <br> |
Hier wird für x<sub>s</sub> > 0 nach '''rechts''' und für x<sub>s</sub> < 0 nach '''links''' verschoben. | Hier wird für x<sub>s</sub> > 0 nach '''rechts''' und für x<sub>s</sub> < 0 nach '''links''' verschoben. | ||
Zeile 490: | Zeile 489: | ||
− | Gegeben ist die Funktion f(x) = 0,5x<sup>2</sup> - x - 2,5 <br> | + | Gegeben ist die Funktion "f(x) = 0,5x<sup>2</sup> - x - 2,5" <br> |
<br> | <br> | ||
<div class="multiplechoice-quiz"> | <div class="multiplechoice-quiz"> | ||
− | '''In welchem Punkt schneidet die Parabel die y-Achse und wie bestimmt man | + | '''In welchem Punkt schneidet die Parabel die y-Achse und wie bestimmt man ihn?''' |
(!Man kann die Koordinaten nur mittels quadratischer Ergänzung bestimmen) | (!Man kann die Koordinaten nur mittels quadratischer Ergänzung bestimmen) | ||
− | (Schnittpunkt mit y-Achse: [0 | + | (Schnittpunkt mit y-Achse: <math>[0|-2,5]</math>) |
(Durch Einsetzen des bekannten x-Wertes bestimmt man den y-Wert) | (Durch Einsetzen des bekannten x-Wertes bestimmt man den y-Wert) | ||
− | (Schnittpunkt mit y-Achse: [1 | + | (!Schnittpunkt mit y-Achse: <math>[1|2,5]</math>) |
</div> | </div> | ||
Zeile 509: | Zeile 508: | ||
'''Hilfe:''' <br> | '''Hilfe:''' <br> | ||
{{versteckt| | {{versteckt| | ||
− | Du kennst einen Koordinantenpunkt. An der Stelle, an der die Parabel die y-Achse schneidet ist der x-Wert 0. Setze diesen Wert in die Gleichung ein und bestimme den zugehörigen y-Wert. | + | Du kennst einen Koordinantenpunkt. An der Stelle, an der die Parabel die y-Achse schneidet, ist der x-Wert 0. Setze diesen Wert in die Gleichung ein und bestimme den zugehörigen y-Wert. |
}} | }} | ||
Zeile 524: | Zeile 523: | ||
<big>'''3. Aufgabe: Multiple Choice'''</big> | <big>'''3. Aufgabe: Multiple Choice'''</big> | ||
+ | |||
+ | '''Finde die richtigen Lösungen! Es können auch mehrere Antworten möglich sein!''' | ||
<div class="multiplechoice-quiz"> | <div class="multiplechoice-quiz"> | ||
− | '''Für die Funktion f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + 2 gilt:''' (Die Parabel schneidet die y-Achse)(!Die Parabel schneidet die x-Achse)(Die Parabel hat den Scheitelpunkt [0 | + | '''Für die Funktion "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + 2" gilt:''' (Die Parabel schneidet die y-Achse)(!Die Parabel schneidet die x-Achse)(Die Parabel hat den Scheitelpunkt S <math>[0|2]</math>) (!Die Parabel hat den Scheitelpunkt S <math>[2|0]</math>) (!Der Scheitelpunkt, ist der Punkt, an dem die Parabel die x-Achse schneidet) |
Zeile 533: | Zeile 534: | ||
− | '''Für die Funktion f(x) <math>=</math> 2x<sup>2</sup> + 2x gilt:''' (Die Parabel geht durch den Koordinatenursprung)(!Die Parabel ist nach unten geöffnet)(Die Parabel ist nach oben geöffnet) (Die Parabel ist gestreckt) | + | '''Für die Funktion "f(x) <math>=</math> 2x<sup>2</sup> + 2x" gilt:''' (Die Parabel geht durch den Koordinatenursprung)(!Die Parabel ist nach unten geöffnet)(Die Parabel ist nach oben geöffnet) (Die Parabel ist gestreckt) |
− | '''Für den Graph der Funktion f(x) <math>=</math> -2 [x + 3]<sup>2</sup> - 2 gilt:''' (Der Graph geht nicht durch den Koordinatenursprung)(Der Graph ist identisch mit y <math>=</math> -2x<sup>2</sup> -12x -20)(!Der Graph ist eine verschobene Normalparabel | + | '''Für den Graph der Funktion "f(x) <math>=</math> -2 [x + 3]<sup>2</sup> - 2" gilt:''' (Der Graph geht nicht durch den Koordinatenursprung)(Der Graph ist identisch mit y <math>=</math> -2x<sup>2</sup> -12x -20)(!Der Graph ist eine verschobene Normalparabel) (!Der Graph ist nach oben geöffnet) |
− | '''Welche der folgenden Parabeln hat den Scheitelpunkt S | + | '''Welche der folgenden Parabeln hat den Scheitelpunkt S <math>[3|-2]</math>?''' (!y <math>=</math> 2x<sup>2</sup> + 3x + 3) (y <math>=</math> -3[x - 3]<sup>2</sup> - 2) (y <math>=</math> 5[x - 3]<sup>2</sup> - 2) (!y <math>=</math> 12 [x + 3] - 2) |
Zeile 546: | Zeile 547: | ||
</div> | </div> | ||
<br> | <br> | ||
+ | |||
+ | '''Spitze!''' | ||
+ | |||
+ | Nun kennst du die "Quadratische Funktion" und kannst mit ihr arbeiten!!! |
Aktuelle Version vom 7. November 2018, 10:33 Uhr
Lernpfad
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Aus den vorherigen Lerneinheiten kennst du die Eigenschaften der einzelnen Parameter.
Du weißt zum einen, dass der Vorfaktor a für eine Streckung, Stauchung und Spiegelung der Parabel verantwortlich ist und zum anderen, dass die Parameter ys und xs eine Verschiebung der Parabel in der Ebene bewirken. Wir wollen im Folgenden diese Eigenschaften zusammen mit der Scheitelpunkts- und Normalform betrachten.
Als erstes beginnen wir mit der Scheitelpunktsform und dem Parameter a.
Quadratische Funktion "f(x)a(x - xs)2 + ys" | Hinweise, Aufgabe und Lückentext: |
---|---|
Aufgabe:
Die Scheitelpunktsform mit dem Paramter a besitzt die Gleichung y = a[x - xs]2 + ys. Die allgemeine Scheitelpunktsform wird dabei um den Parameter a erweitert. Dadurch kommt neben der Verschiebung der Parabel noch die Streckung, Stauchung und Spiegelung dazu. Ferner gilt festzuhalten, dass sowohl die Verschiebung der Parabel in der Ebene, sowie die Veränderung durch den Vorfaktor a, unabhängig voneinander betrachtet werden. |
Um die wichtigsten Eigenschaften aller Parameter zu wiederholen, lies das folgende Merke und überprüfe, ob dir alle Eigenschaften klar sind.
Für die quadratische Funktion "f(x)a(x - xs)2 + ys" gilt:
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Nachdem du nun dein Wissen aufgefrischt hast, kann auch gleich geübt werden!
1. Aufgabe:
Du siehst hier sowohl ein paar Graphen, als auch ein paar Funktionsvorschriften der Form "f(x) a(x - xs)2 + ys". Versuche die jeweils richtigen Pärchen zu finden.
Ich nehme an, dass das kein Problem für dich war. Bei dieser Aufgabe war es nämlich noch nicht nötig den Vorfaktor a zu bestimmen.
Jetzt wollen wir das Ganze ein wenig erschweren!
Kannst du dich noch erinnern, wie man den Vorfaktor a bestimmt?
2. Aufgabe:
Finde zu den vorgegebenen Graphen die passende Funktionsvorschrift!
Falls du nicht genau weißt, wie du vorgehen sollst, öffne die anschließende Hilfe!
Tipp! Die Vorgehensweise ist dieselbe wie bei "f(x) = ax2".
Nach dem Bild wird dein Ergebnis abgefragt.
Hilfe:
Anleitung zur Bestimmung des Vorfaktors a:
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Wie ist dein Ergebnis:
1. Wie lautet die richtige Funktionsgleichung für den Graph a? (!y 1[x - 4]2 - 3 ) (!y 3[x – 4]2 + 3 ) (y 2[x – 4]2 - 3 )
2. Wie lautet die richtige Funktionsgleichung für den Graph b? (!y = -2[x + 2]2 + 1) (y = -4[x + 2]2 + 1) (!y -0,5[x + 2]2 + 1)
3. Aufgabe - Multiple Choice:
Betrachte die Funktionsvorschriften genau und kreuze die richtigen Aussagen an. Achtung! Es können auch mehrere Antworten richtig sein!
"f(x) -2x2 + 5" (!Die Parabel ist nach oben geöffnet)(Die Parabel ist nach unten geöffnet)(Die Parabel hat den höchsten Punkt bei ) (Die Parabel ist gestreckt) (!Die Parabel ist gestaucht) (!Die Parabel ist um 2 Einheiten nach links verschoben)
"f(x) (x - 3)2 - 2" (!Die Parabel ist gestaucht)(Die Parabel hat den tiefsten Punkt bei )(Die Parabel verläuft durch den Punkt ) (!Die Parabel ist um 3 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel) (Die Parabel ist um 3 Einheiten nach rechts verschoben)
"f(x) 6 + 2 (x + 2)2" (!Die Parabel ist nach unten geöffnet)(!Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach rechts verschoben)(Die Parabel ist nach oben geöffnet ) (Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach links verschoben) (!Die Parabel ist gestaucht) (Die Parabel ist gestreckt)
Die gestreckte Parabel ist um 2 Einheiten nach links und um 4 Einheiten nach oben verschoben (!y 4 [x - 2]2 - 4)(!y 0,2 [x - 2]2 + 4)(!y 2 [x - 2]2 + 4)(y 3 [x + 2]2 + 4)(!y 0,5 [x + 2]2 - 4)(!y 5 [x + 2]2 - 4)(!y 0,8 [x - 2]2 + 4)(y 1,77 [x + 2]2 + 4)
4. Aufgabe - KNIFFELAUFGABE:
Welche der folgenden Funktionsvorschriften hat eine Nullstelle? Achtung! Die Aufgabe ist nur durch logisches Denken zu lösen, es ist keine Rechnung erforderlich! (y 2 [x – 3]2 - 2) (!y 2 [x + 5]2 + 1 ) (y - [x + 1]2 + 2) (!y -3 [x – 1]2 -1)
Hilfe:
Falls du Hilfe brauchst, kannst du dir hier einen Tipp holen!
Lösung:
Die richtigen Lösungen sind y 2 [x – 3]2 - 2 und y - [x + 1]2 + 2, deren Graphen farbig hervorgehoben sind.
Wie du in der Grafik erkennen kannst, kommt es nur auf den Parameter ys und den Vorfaktor a an.
Ist der Vorfaktor a positiv und der Parameter ys zugleich negativ, so liegt der Scheitelpunkt der nach oben geöffneten Parabel unterhalb der x-Achse.
Durch diese Gegebenheit schneidet die Parabel die x-Achse ab einem bestimmten Wert für x.
Genau umgekehrt verhält es sich für den Fall, dass der Vorfaktor a negativ und der Parameter ys positiv ist.
Auch bei der Normalform ändert sich bei Hinzunahme des Vorfaktors a nicht viel.
Wieder kommt es darauf an, die Normal- in die Scheitelpunktsform und umgekehrt, die Scheitelpunkts- in die Normalform umzuformen.
Wir betrachten zunächst die Umformung von der Scheitelpunkts- zur Normalform.
Von der Scheitelpunkts- zur Normalform:
Da es sich genauso verhält wie im Lernpfad "Die Normalform f(x) x2 + bx + c" gezeigt, wirst du die Umformung wieder selbst durchführen.
Aufgabe:
Du hast die Scheitelpunktsform "f(x) 2(x - 3)2 - 4" gegeben.
Diese Form soll nun durch "Ausmultiplizieren" und "Zusammenfassen" der Terme
auf die Form "f(x) ax2 + bx + c" gebracht werden.
Du hast die einzelnen Terme vorgegeben, bring sie in die richtige Reihenfolge!
1. | y | a[x - xs]2 + ys |
2. | y | 2[x - 3]2 - 4 |
3. | y | 2[x2 - 6x + 9] - 4 |
4. | y | 2x2 - 12x + 14 |
5. | y | ax2 + bx + c |
Die Normalform "f(x) ax2 + bx + c" entsteht aus der Scheitelpunktsform "f(x) a(x - xs)2 + ys" durch "Ausmultiplizieren" und "Zusammenfassen" der Terme. |
Betrachten wir nun die andere Richtung.
Von der Normal- zur Scheitelpunktsform:
Diese Umformung funktioniert genauso, wie das im Lernpfad "Die Normalform f(x) x2 + bx + c" gezeigte Verfahren. Mittels quadratischer Ergänzung gelangt man zur Scheitelpunktsform.
Zur Wiederholung, klicke dich durch die folgende Anleitung:
1. Schritt: Gegeben ist die Parabel p
2. Schritt: Faktor ausklammern
3. Schritt: Quadratische Ergänzung
4. Schritt: Binom erzeugen
5. Schritt: Äußere Klammer auflösen
6. Schritt: Scheitelkoordinaten
Um das ein wenig einzuüben, löse die folgende Aufgabe!
Aufgabe: Zuordnung - Gruppe
Nimm dir ausnahmsweise mal ein Blatt und einen Stift zur Hand und stelle zu den vorgegebenen quadratischen Funktionen die Scheitelpunktsform auf. Ordne anschließend die entsprechenden Scheitelpunktsformen, Scheitelkoordinaten und Graphen den entsprechenden Funktionsgleichungen zu.
f(x) 2x2 + 12x + 14 | f(x) 2(x + 3)2 - 4 | S | ||
f(x) -3x2 + 24x -41 | f(x) -3(x - 4)2 + 7 | S | ||
f(x) x2 - 2x - 2 | f(x) (x - 1)2 - 3 | S |
Lösung:
Falls du Probleme mit der quadratischen Ergänzung hattest, kannst du sie dir hier anschauen!
f(x) 2x2 + 12x + 14 2 [x2 + 6x] + 14 2 [x2 + 6x + 32 - 32] + 14 2 [(x + 3)2 - 32] + 14 2 (x + 3)2 - 2(32) + 14 2 (x + 3)2 - 18 + 14 2 (x + 3)2 - 4
f(x) -3x2 + 24x - 41 -3 [x2 - 8x] - 41 -3 [x2 - 8x + 42 - 42] - 41 -3 [(x - 4)2 - 42] - 41 -3 (x - 4)2 -[-3(-42)] - 41 -3 (x - 4)2 + 48 - 41 -3 (x - 4)2 + 7
f(x) x2 - 2x - 2 (x - 1)2 - 12 - 2 (x - 1)2 - 3
Jetzt kennst und kannst du wirklich alles zur quadratischen Funktion. Stelle dein Wissen in der vierten und letzten Station unter Beweis. Hier wird alles zuvor Erlernte, in vermischten Aufgaben, abgefragt. Viel Erfolg!
1. Aufgabe: Schüttelrätsel
Finde die unverdrehte Lösung zu den verdrehten Wörtern!
Du kannst deine Ergebnisse erst überprüfen, wenn alle Felder ausgefüllt sind!
Eine Funktion der Form "f(x) = ax2 + bx + c" nennt man quadratische Funktion.
Durch Umformen, mit Hilfe der quadratischen Ergänzung, erhält man die Scheitelpunktsform "f(x) = a(x - xs)2 + ys".
Anhand der Scheitelpunktsform kann man die Koordinaten für den Scheitelpunkt ablesen.
Der Scheitelpunkt gibt dabei den höchsten oder tiefsten Punkt der Parabel an.
Hat die Parabel einen höchsten Punkt, so ist sie nach unten geöffnet und der Parameter a ist negativ.
Ist der Vorfaktor hingegen positiv, so besitzt die Parabel einen tiefsten Punkt und die Parabel ist nach oben geöffnet.
Außerdem bewirkt der Parameter a eine Streckung, Stauchung, und/oder eine "Spiegelung" der Parabel.
Nimmt der Vorfaktor einen Wert zwischen -1 und +1 an, so wird die Parabel gestaucht.
Ist hingegen der Vorfaktor a kleiner -1 oder größer +1, so wird die Parabel gestreckt.
Neben der Streckung und Stauchung der Parabel durch den Parameter a, existieren noch die Parameter xs und ys, die für eine Verschiebung der Parabel in der Ebene verantwortlich sind.
Für ys > 0 wird die Parabel nach oben und für ys < 0 nach unten verschoben.
Ähnlich verhält es sich bei dem Parameter xs, der für eine Verschiebung der Parabel in x-Richtung sorgt.
Hier wird für xs > 0 nach rechts und für xs < 0 nach links verschoben.
2. Aufgabe: KNIFFELAUFGABE
Gegeben ist die Funktion "f(x) = 0,5x2 - x - 2,5"
In welchem Punkt schneidet die Parabel die y-Achse und wie bestimmt man ihn? (!Man kann die Koordinaten nur mittels quadratischer Ergänzung bestimmen) (Schnittpunkt mit y-Achse: ) (Durch Einsetzen des bekannten x-Wertes bestimmt man den y-Wert) (!Schnittpunkt mit y-Achse: )
Tipp!
Überlege dir, was gelten muss, wenn die Parabel die y-Achse schneidet.
Hilfe:
Du kennst einen Koordinantenpunkt. An der Stelle, an der die Parabel die y-Achse schneidet, ist der x-Wert 0. Setze diesen Wert in die Gleichung ein und bestimme den zugehörigen y-Wert.
Erklärung:
Wenn die Parabel die y-Achse schneidet ist der y-Wert vorgegeben, er ist 0. Diesen Wert setzt man in die Funktionsgleichung ein und bestimmt den y-Wert.
y 0,5x2 - x - 2,5 y 0,5(0)2 - 0 - 2,5 y -2,5
3. Aufgabe: Multiple Choice
Finde die richtigen Lösungen! Es können auch mehrere Antworten möglich sein!
Für die Funktion "f(x) x2 + 2" gilt: (Die Parabel schneidet die y-Achse)(!Die Parabel schneidet die x-Achse)(Die Parabel hat den Scheitelpunkt S ) (!Die Parabel hat den Scheitelpunkt S ) (!Der Scheitelpunkt, ist der Punkt, an dem die Parabel die x-Achse schneidet)
Diese Funktion ist keine quadratische Funktion: (!y [x - 2]2)(!y 2x2 + 3 - 5x)(y 2x3 + 2x + 3) (y 8 + 2x) (!y [x + 3][x - 3])
Für die Funktion "f(x) 2x2 + 2x" gilt: (Die Parabel geht durch den Koordinatenursprung)(!Die Parabel ist nach unten geöffnet)(Die Parabel ist nach oben geöffnet) (Die Parabel ist gestreckt)
Für den Graph der Funktion "f(x) -2 [x + 3]2 - 2" gilt: (Der Graph geht nicht durch den Koordinatenursprung)(Der Graph ist identisch mit y -2x2 -12x -20)(!Der Graph ist eine verschobene Normalparabel) (!Der Graph ist nach oben geöffnet)
Welche der folgenden Parabeln hat den Scheitelpunkt S ? (!y 2x2 + 3x + 3) (y -3[x - 3]2 - 2) (y 5[x - 3]2 - 2) (!y 12 [x + 3] - 2)
Wenn die Parabel die x-Achse nicht schneidet, dann gilt: (!Die Parabel ist nach oben geöffnet) (Die Parabel ist nach unten geöffnet und der Parameter ys ist negativ) (y 2[x - 5]2 + 2) (!y [x + 6]2 - 1)
Spitze!
Nun kennst du die "Quadratische Funktion" und kannst mit ihr arbeiten!!!