Abschwächung der Gruppendefinition: Unterschied zwischen den Versionen

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Sei <math>(G,\cdot)</math> eine Halbgruppe (d.h. Zweistellige Verknüpfung + Abgeschlossenheit + Assoziativität). Hat G linksinverse Elemente <math>x^{-1}</math> und ein linksneutrales Element <math>e</math>. Dann sind die linksinversen Elemente auch rechtsinvers und das linksneutrale Element auch rechtsneutral.
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Sei <math>(G,\cdot)</math> eine Halbgruppe (d.h. Zweistellige Verknüpfung + Abgeschlossenheit + Assoziativität). Hat G rechtsinverse Elemente <math>x^{-1}</math> und ein rechtsneutrales Element <math>e</math>. Dann sind die rechtsinversen Elemente auch linksinvers und das rechtsneutrale Element auch linksneutral.
  
 
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Die Aussage enthält zwei Teilaussagen, die wir nacheinander beweisen:
 
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1. Die linksinversen Elemente sind auch rechtsinvers.
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1. Die rechtsinversen Elemente sind auch linksinvers.
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:Sei <math> x,x^{-1} \in G  </math> und <math>x^{-1} \cdot x = e \Rightarrow x \cdot x^{-1} = e</math>
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2. Ein rechtsneutrales Element ist auch linksneutral.
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*An gewissen Stellen in den Umformungen sind Klammern weggelassen worden. Denn wir wissen, dass die Verknüpfung assoziativ ist. Es gilt also:
  
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2. Das linksneutrale Element ist auch rechtsneutral.
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:Man kann dann induktiv zeigen, dass für ein "Produkt" endlich vieler Faktoren
  
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:jede Klammerung, auf dasselbe Element abgebildet wird. Für ein Produkt ist jede Klammerung äquivalent zu jeder anderen. <br/>
  
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*Wir verwerden in den einzelnen Schritten sowohl, dass es ein rechtsneutrales Element existiert, als auch, dass rechtsinverse Element existieren. Ebenso die Assoziativität. Alle drei Vorraussetzungen werden verwendet. <br/>
  
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==Aspekte==
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*Falls eine Halbgruppe ein linksneutrales Element und linksinverse Elemente enthält, kann analog gefolgert werden, dass ein linksneutrales Element auch rechtsneutral ist und, dass die linksinversen Elemente auch rechtsinvers sind. <br/>
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*Da links- und rechtsinvers in einer Gruppe zusammenfällt. Fassen wir diese Eigenschaften zusammen und sagen: Es existieren inverse Elemente. <br/>
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*Im zweiten Teil der Aussage (2) verwenden wir, dass ein rechtsinverses Element auch linksinvers ist. Deswegen ist es gut und Absicht, dass wir zuerst (1) bewiesen haben. <br/>
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*G hat rechtsinverse Element, d.h. zu jedem Element <math> x \in G </math> existiert ein Element aus G, welches wir mit  <math> x^{-1} </math> bezeichnen und für dieses gilt:  <math> x \cdot x^{-1} = e </math>.  <math> x^{-1} </math> ist ein Element aus G. D.h. auch für dieses Element ein rechtsinverses Element geben. Dieses bezeichnen wir mit  <math> (x^{-1})^-1 </math>. Es stellt sich heraus, dass  <math> (x^{-1})^-1 = x </math> [[Doppelte Inversion eines Gruppenelements|Zum Beweis]] <br/>
  
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*<math> a \cdot b </math> ist auch ein Element aus G, weil die Verknüpfung <math> \cdot </math> wieder nach G abbildet (innere Verknüpfung). Also muss es auch ein inverses Element zu <math> a \cdot b </math> geben. Es stellt sich heraus, dass <math> (a \cdot b)^{-1} = b^{-1} \cdot a^{-1} </math> ist. [[Shoes and Socks|Zum Beweis]] <br/>

Version vom 25. November 2018, 17:41 Uhr

Aussage

Sei (G,\cdot) eine Halbgruppe (d.h. Zweistellige Verknüpfung + Abgeschlossenheit + Assoziativität). Hat G rechtsinverse Elemente x^{-1} und ein rechtsneutrales Element e. Dann sind die rechtsinversen Elemente auch linksinvers und das rechtsneutrale Element auch linksneutral.

Beweis

Die Aussage enthält zwei Teilaussagen, die wir nacheinander beweisen:

1. Die rechtsinversen Elemente sind auch linksinvers.

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2. Ein rechtsneutrales Element ist auch linksneutral.

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Aspekte

  • An gewissen Stellen in den Umformungen sind Klammern weggelassen worden. Denn wir wissen, dass die Verknüpfung assoziativ ist. Es gilt also:
Man kann dann induktiv zeigen, dass für ein "Produkt" endlich vieler Faktoren
jede Klammerung, auf dasselbe Element abgebildet wird. Für ein Produkt ist jede Klammerung äquivalent zu jeder anderen.
  • Wir verwerden in den einzelnen Schritten sowohl, dass es ein rechtsneutrales Element existiert, als auch, dass rechtsinverse Element existieren. Ebenso die Assoziativität. Alle drei Vorraussetzungen werden verwendet.
  • Falls eine Halbgruppe ein linksneutrales Element und linksinverse Elemente enthält, kann analog gefolgert werden, dass ein linksneutrales Element auch rechtsneutral ist und, dass die linksinversen Elemente auch rechtsinvers sind.
  • Da links- und rechtsinvers in einer Gruppe zusammenfällt. Fassen wir diese Eigenschaften zusammen und sagen: Es existieren inverse Elemente.
  • Im zweiten Teil der Aussage (2) verwenden wir, dass ein rechtsinverses Element auch linksinvers ist. Deswegen ist es gut und Absicht, dass wir zuerst (1) bewiesen haben.
  • G hat rechtsinverse Element, d.h. zu jedem Element x \in G existiert ein Element aus G, welches wir mit x^{-1} bezeichnen und für dieses gilt: x \cdot x^{-1} = e . x^{-1} ist ein Element aus G. D.h. auch für dieses Element ein rechtsinverses Element geben. Dieses bezeichnen wir mit (x^{-1})^-1 . Es stellt sich heraus, dass (x^{-1})^-1 = x Zum Beweis
  • a \cdot b ist auch ein Element aus G, weil die Verknüpfung \cdot wieder nach G abbildet (innere Verknüpfung). Also muss es auch ein inverses Element zu a \cdot b geben. Es stellt sich heraus, dass (a \cdot b)^{-1} = b^{-1} \cdot a^{-1} ist. Zum Beweis
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