Kürzbarkeit/Sudokuregel in Gruppen: Unterschied zwischen den Versionen
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==Aussage== | ==Aussage== | ||
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Ein Element <math> a \in G </math> heißt linkskürzbar, wenn für alle <math> b,c \in G </math> gilt: | Ein Element <math> a \in G </math> heißt linkskürzbar, wenn für alle <math> b,c \in G </math> gilt: | ||
| − | <math> a \ | + | <math> a \ast b = a \ast c \Rightarrow b = c </math> |
Entsprechend ist rechtskürzbar definiert. | Entsprechend ist rechtskürzbar definiert. | ||
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==Aspekte== | ==Aspekte== | ||
| − | *Betrachten wir die Verknüpfungstabelle einer Gruppe. In diesem Fall eine endliche Gruppe mit 4 Elementen. Dann sehen wir, dass in jeder Spalte und jeder Zeile jedes Gruppenelement genau einmal vorkommt | + | *Betrachten wir die Verknüpfungstabelle einer Gruppe. In diesem Fall eine endliche Gruppe mit 4 Elementen. Dann sehen wir, dass in jeder Spalte und jeder Zeile jedes Gruppenelement genau einmal vorkommt, wie bei einem Sudoku. |
| + | :Sei <math> a \text{ und } c \in G </math> fest gewählt. Wir überlegen, gibt es ein <math> b \in G </math> mit <math> \ast(a,b) = c </math> oder mit der '''Infixschreibweise''': <math> a \ast b = c </math>. Das Element <math> a^{-1} \ast c </math> ist ein Element in G. Und es gilt: <math> \ast (a,a^{-1} \ast c) = c </math>, oder in der Infixschreibweise: <math> a \ast a^{-1} \ast c = e \ast c = c </math>. Betrachten wir die Verknüpfungstafel, dann gilt: In der Reihe von a finde ich jedes beliebig andere Gruppenelement. | ||
| + | Gleichzeitig gilt wegen der Rechtskürzbarkeit, dass jedes Gruppenelement in jeder Reihe nur einmal vorkommt. | ||
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[[Kategorie:Beweis Gruppe]] | [[Kategorie:Beweis Gruppe]] | ||
Aktuelle Version vom 4. Dezember 2018, 23:47 Uhr
Aussage
Alle Elemente einer Gruppe 
sind links- und rechtskürzbar.
Erklärungen
Ein Element 
heißt linkskürzbar, wenn für alle 
gilt:
Entsprechend ist rechtskürzbar definiert.
Beweis
Aspekte
- Betrachten wir die Verknüpfungstabelle einer Gruppe. In diesem Fall eine endliche Gruppe mit 4 Elementen. Dann sehen wir, dass in jeder Spalte und jeder Zeile jedes Gruppenelement genau einmal vorkommt, wie bei einem Sudoku.
- Sei
fest gewählt. Wir überlegen, gibt es ein 
mit 
oder mit der Infixschreibweise: 
. Das Element 
ist ein Element in G. Und es gilt: 
, oder in der Infixschreibweise: 
. Betrachten wir die Verknüpfungstafel, dann gilt: In der Reihe von a finde ich jedes beliebig andere Gruppenelement.
Gleichzeitig gilt wegen der Rechtskürzbarkeit, dass jedes Gruppenelement in jeder Reihe nur einmal vorkommt.
