Vertiefen und Erweitern zum Flächeninhalt des Dreiecks: Unterschied zwischen den Versionen

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:'''''Dies ist aber natürlich nicht der einzige Weg.''''' <br>
 
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'''''Aufgabenstellung:''''' <br>
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#'''''Welche Figur''' entsteht?''''' <br>
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#'''''Welche Figur entsteht?''''' <br>
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#''''''Um welche <span style="color: red">Punkte</span> werden die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht?''''''<br>
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#'''''Um welche <span style="color: red">Punkte</span> werden die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht?'''''<br>
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#'''Welche Höhe''' besitzt die neue Figur, '''im Vergleich''' zum Ursprungsdreieck?<br>
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#'''Welche <u>Höhe besitzt die neue Figur</u>, im <u>Vergleich</u> zum Ursprungsdreieck? '''<br>
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#'''Welche Länge hat Grundseite im Vergleich zur Ausgangsfigur?
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#'''Welche Länge hat <span style="color: orange ">die Grundseite c </span> im Vergleich zur Ausgangsfigur?
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#'''Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.''' Hinweis {{versteckt|Die Längenangaben sind in Zentimetern}}
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#'''Berechne den <span style="color: blue">Flächeninhalt des Dreiecks.</span>''' Hinweis {{versteckt|Die Längenangaben sind in Zentimetern}}
 
<div class="lueckentext-quiz">  
 
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Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von '''8 (cm²)'''
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Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von '''8 (Zahl eintragen)'''cm²
 
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'''Vergleiche Deine Lösungen mit der von Maja:'''
 
'''Vergleiche Deine Lösungen mit der von Maja:'''
 
{{Lösung versteckt|
 
{{Lösung versteckt|
 
#Es entsteht ein Rechteck
 
#Es entsteht ein Rechteck
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#Die Teildreiecke werden um die Seitenmittelpunkte gedreht. Sie werden um 180° gedreht. Es handelt sich also um eine Kongruenzabbildung.
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#Die Teildreiecke werden um die Mittelpunkte der Seiten a und b gedreht. Sie werden um 180° gedreht. Es handelt sich also um eine Kongruenzabbildung.
 
#Die Höhe des Rechtecks ist halb so groß wie die Höhe des Ausgangsdreiecks
 
#Die Höhe des Rechtecks ist halb so groß wie die Höhe des Ausgangsdreiecks
 
#Die Grundseite ist genauso lang wie die des Ausgangsdreiecks.}}
 
#Die Grundseite ist genauso lang wie die des Ausgangsdreiecks.}}
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*'''''Maja und Nils berechnen den Flächeninhalt des <span style="color: green">grünen Dreiecks.</span>'''''  
 
*'''''Maja und Nils berechnen den Flächeninhalt des <span style="color: green">grünen Dreiecks.</span>'''''  
 
[[Bild:Ebert_Rechenbeispiel.jpg|center]]
 
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<div class="lueckentext-quiz">
 
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*Sie schreiben ihre Lösungswege auf. Welcher Lösungsweg passt zu den Überlegungsfiguren?
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*Sie schreiben ihre Lösungswege auf. Welcher Lösungsweg passt zu den Skizzen?
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*Nils rechnet so: F<sub>Dreieck</sub> = ( 8 <math>\cdot</math> 3 ): 2= 12 . Das gehört zur '''Skizze I'''
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*Nils rechnet so: F<sub>Dreieck</sub> = ( 8 cm<math>\cdot</math> 3 cm): 2= 12cm² . Das gehört zur '''Skizze I'''
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*Maja rechnet so: F<sub>Dreieck</sub> = 8 <math>\cdot</math> ( 3 : 2 ) = 8 <math>\cdot</math> 1,5 = 12 : Das gehört zur '''Skizze II'''
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*Maja rechnet so: F<sub>Dreieck</sub> = 8 cm<math>\cdot</math> ( 3cm : 2 ) = 8cm <math>\cdot</math> 1,5cm = 12cm² : Das gehört zur '''Skizze II'''
 
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==<span style="color: green">Suche Dir aus den nächsten beiden Herleitungen ''eine'' aus und bearbeite diese</span>==
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===Suche Dir aus den nächsten beiden Herleitungen ''eine'' aus und bearbeite diese===
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'''Aufgabenstellung:''' '''''Kreuze die richtigen Antworten an:'''''
 
'''Aufgabenstellung:''' '''''Kreuze die richtigen Antworten an:'''''
  
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{ '''Welche Figur ensteht'''? Es ensteht ein... }
 
{ '''Welche Figur ensteht'''? Es ensteht ein... }
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+Paralellogramm
+
+Parallelogramm
 
-Rechteck
 
-Rechteck
 
-Trapez
 
-Trapez
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{ '''Um ''welchen Punkt'' wird das kleine Teildreieck gedreht?''' }
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{ '''Um ''welchen Punkt'' wird das Teildreieck gedreht?''' }
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+Seitenmittelpunkt M<sub>2</sub>  
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+Mittelpunkt M<sub>a</sub> der Seite a
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-Seitenmittelpunkt M<sub>b</sub>
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-Mittelpunkt M<sub>b</sub> der Seite b
 
-Eckpunkt C
 
-Eckpunkt C
  
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-360°
 
-360°
  
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{ '''Welche ''Höhe'' besitzt die ''neue Figur'' im Vergleich zum Dreieck. Sie ist...''' }
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{ '''Welche <span style="color: blue">Höhe</span> besitzt die <u>neue Figur</u> im Vergleich zum Dreieck ABC? Sie ist...''' }
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-genauso groß, wie die des Ausgangsdreiecks.
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-genauso groß, wie die des Dreiecks ABC
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+halb so groß, wie die des Ausgangsdreiecks.
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+halb so groß, wie die des Dreiecks ABC
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-doppelt s groß, wie die des Ausgangsdreiecks.
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-doppelt so groß, wie die des Dreiecks ABC
  
 
</quiz>
 
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'''5.''' '''''Wie entsteht diese Figur? ''''' <br> '''Du kannst das bestimmt ohne Hinweis lösen, oder?''' {{ versteckt | Das Parallelogramm ensteht durch Zerlegung des großen Dreiecks in ein kleines Teildreieck und ein Trapez. Durch Drehen des kleinen Teildreiecks ergänzt man das Trapez zum Parallelogramm. Damit ist klar, dass es sich um eine Kongruenzabbildung handelt}}
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'''5.''' '''''Wie entsteht diese Figur? ''''' <br> '''Du kannst das bestimmt ohne Hinweis lösen, oder?''' {{ versteckt | Das Parallelogramm ensteht durch Zerlegung des großen Dreiecks in ein kleines Teildreieck und ein Trapez. Durch Drehen des kleinen Teildreiecks ergänzt man das Trapez zum Parallelogramm. Die Drehung ist eine Kongruenzabbildung }}
  
 
'''6.'''  
 
'''6.'''  
 
'''''Berechne den Flächeninhalt des <span style="color: green">Dreiecks ABC</span>, wenn <span style="color: blue">h<sub>2</sub>= 4cm</span>  und <span style="color: red">c= 4cm</span> ist '''''
 
'''''Berechne den Flächeninhalt des <span style="color: green">Dreiecks ABC</span>, wenn <span style="color: blue">h<sub>2</sub>= 4cm</span>  und <span style="color: red">c= 4cm</span> ist '''''
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
<div class="lueckentext-quiz">
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Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC ist: '''16 (cm²)'''
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Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC ist: '''8 (Zahl eintragen)'''cm²
 
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'''''Berechne den Flächeninhalt des <span style="color:green">Dreiecks M<sub>2</sub> M<sub>b</sub> C</span>. Überlege, welche Länge die <span style="color: red">Strecke [ M<sub>2</sub> M<sub>b</sub>]</span> besitzt.'''''<br>
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'''''Berechne den Flächeninhalt des <span style="color:green">Dreiecks M<sub>b</sub>M<sub>a</sub>C</span>. Überlege, welche Länge die <span style="color: red">Strecke [ M<sub>a</sub>M<sub>b</sub>]</span> besitzt.'''''<br>
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
<div class="lueckentext-quiz">
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Der Flächeninhalt des Dreiecks M<sub>2</sub> M<sub>b</sub> C ist '''4(cm²)'''
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Der Flächeninhalt des Dreiecks M<sub>b</sub>M<sub>a</sub>C ist '''2(Zahl eintragen)''' cm².
 
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'''''Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.'''''  
 
'''''Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.'''''  
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
<div class="lueckentext-quiz">
−
Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist: '''16(cm²)'''
+
Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist: '''8(Zahl eintragen)''' cm².
 
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'''''Wie kann man für diese Methode die Flächeninhaltsformel des Dreiecks herleiten??'''''
 
'''''Wie kann man für diese Methode die Flächeninhaltsformel des Dreiecks herleiten??'''''
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
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*Es gilt: <br>
 
F<sub>Parallelogramm</sub> =  '''g  <math>\cdot</math>  h<sub>1</sub> '''<br>
 
F<sub>Parallelogramm</sub> =  '''g  <math>\cdot</math>  h<sub>1</sub> '''<br>
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Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt: <br>
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* Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt: <br>
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F<sub>Parallelogrammk</sub> = '''F<sub>Dreieck</sub>''' <br>
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F<sub>Parallelogramm</sub> = '''F<sub>Dreieck</sub>''' <br>
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Für die Höhen gilt:
+
*Für die Höhen gilt:
 
:'''h<sub>1</sub>''' = '''<math>{1 \over 2}</math>''' <math>\cdot</math> h<sub>2</sub> <br>
 
:'''h<sub>1</sub>''' = '''<math>{1 \over 2}</math>''' <math>\cdot</math> h<sub>2</sub> <br>
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: Einsetzen in Formel für Parallelogramm: <br>
+
* Einsetzen in Formel für Parallelogramm: <br>
 
:F<sub>Dreieck</sub> = '''<math>{1 \over 2}</math> g <math>\cdot</math> h<sub>2</sub>'''
 
:F<sub>Dreieck</sub> = '''<math>{1 \over 2}</math> g <math>\cdot</math> h<sub>2</sub>'''
 
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[[Bild:Ebert_MotivatorRot.jpg|100px]]  
 
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'''''Wie Du siehst, ähneln sich diese beiden Herleitungsideen 2 und 3:'''''' <br>
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'''''Wie Du siehst, ähneln sich diese beiden Herleitungsideen 2 und 3:'''''<br>
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In der '''ersten Variante''' zerlegt man das Dreieck geeignet und ergänzt zum Rechteck  mit gleicher Grundseite und halber Höhe...<br>  
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*'''In der ersten Variante zerlegt man das Dreieck geeignet und ergänzt zum <span style="color: red">Rechteck</span> mit gleicher Grundseite und halber Höhe...<br> '''
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und in der '''zweiten Variante''' zerlegt man das Dreieck und ergänzt zu einem Parallelogramm mit '''gleicher Länge der Grundseite und halber Höhe'''.''' 
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[[Bild:Ebert_Herleitung2.jpg|center]]
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*'''und in der zweiten Variante zerlegt man das Dreieck und ergänzt zu einem <span style="color: red">Parallelogramm</span> mit gleicher Länge der Grundseite und halber Höhe'''
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  |<ggb_applet height="450" width="580" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVertiefungsaufgabe3neu.ggb"/>|| '''Aufgabenstellung:'''
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  |<ggb_applet height="450" width="580" showResetIcon="true" filename="Ebert_4.Herleitung.ggb"/>||  
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#'''Welche Figur ensteht'''? <br>
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# '''Um welche <span style="color: red">Punkte</span> werden jeweils die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht? '''
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#'''<span style="color: green">Welche Höhe</span> besitzt die erhaltene Figur?''' <br>
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*'''''Vergleiche Deine Lösungen mit Maja´s Lösungen.'''''[[Bild:Ebert_MotivatorGrün.jpg|50px|right]]
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{{Lösung versteckt |
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1. Es ensteht ein Rechteck<br>
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2. Die Teildreiecke werden jeweils um die Seitenmittelpunkte gedreht, dabei dreht man um 180°. Dies ist eine Kongruenzabbildung<br>
 +
3. Die Höhe des Rechtecks entspricht der Höhe des Ausgangsdreiecks.
 +
}}
  
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1.'''Welche Figur ensteht''' bei der Ergänzung? {{Lösung versteckt | Es entsteht ein Rechteck }}
+
'''4. Zeige, dass die Grundseite g der neuen Figur <u>halb so lang</u> ist, wie die Grundseite des Dreiecks!'''<br>
−
2. Um welchen Punkt werden jeweils die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht? {{Lösung versteckt |Die Teildreiecke werden jeweils um die Seitenmittelpunkte gedreht, dabei dreht man um 180°. Dies ist eine Kongruenzabbildung}}
+
<u>Tipp:</u>''' Ergänze zum Rechteck und beobachte dabei die Teilstrecken <span style="color: orange">s</span> und <span style="color: purple">t</span> '''<br>
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3.'''Welche Höhe''' besitzt die erhaltene Figur? {{Lösung versteckt | Die Höhe des Rechtecks entspricht der Höhe des Ausgangsdreiecks}}
+
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4.'''Zeige''', dass die '''Grundseite g der neuen Figur halb so lang '''ist, wie die Grundseite des Dreiecks!<br>
+
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Tipp: Ergänze zum Rechteck und beobachte dabei die Teilstrecken s und t <br>
+
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
<div class="lueckentext-quiz">
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* Die Grundseite des Dreiecks setzt sich zusammen aus:
 
'''g<sub>Dreieck</sub>''' = s + s + t + t <br>
 
'''g<sub>Dreieck</sub>''' = s + s + t + t <br>
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Vereinfachen liefert:
 
g<sub>Dreieck</sub> = '''2 <math>\cdot</math> s''' + 2<math>\cdot</math> '''t''' = 2 <math>\cdot</math>(s + t)<br>
 
g<sub>Dreieck</sub> = '''2 <math>\cdot</math> s''' + 2<math>\cdot</math> '''t''' = 2 <math>\cdot</math>(s + t)<br>
 +
* Für die Grundseite des Rechtecks gilt:
 
g<sub>Rechteck</sub>= '''s + t''' <br>
 
g<sub>Rechteck</sub>= '''s + t''' <br>
 +
*Setzt man g<sub>Rechteck</sub> in die Formel für g<sub>Dreieck</sub> und stellt um, so erhält man:
 
=> g<sub>Rechteck</sub> = '''<math>{1 \over 2}</math> <math>\cdot</math> g<sub>Dreieck</sub>'''
 
=> g<sub>Rechteck</sub> = '''<math>{1 \over 2}</math> <math>\cdot</math> g<sub>Dreieck</sub>'''
 
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<div class="lueckentext-quiz">
 
<div class="lueckentext-quiz">
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*Für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt:
 
F<sub>Rechteck</sub> =  '''g<sub>Rechteck</sub>'''  <math>\cdot</math> h <br>
 
F<sub>Rechteck</sub> =  '''g<sub>Rechteck</sub>'''  <math>\cdot</math> h <br>
−
: Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt: <br>
+
*Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt: <br>
 
:F<sub>Rechteck</sub> = '''F<sub>Dreieck</sub>''' <br>
 
:F<sub>Rechteck</sub> = '''F<sub>Dreieck</sub>''' <br>
−
: Für die Grundseiten gilt:
+
*Für die Grundseiten gilt:
 
:g<sub>Rechteck</sub> = <math>{1 \over 2}</math> <math>\cdot</math> '''g<sub>Dreieck</sub>'''<br>
 
:g<sub>Rechteck</sub> = <math>{1 \over 2}</math> <math>\cdot</math> '''g<sub>Dreieck</sub>'''<br>
−
: Einsetzen in Formel für Rechteck: <br>
+
*Einsetzen in Flächeninhaltsformel für das Rechteck: <br>
 
:F<sub>Dreieck</sub> = '''<math>{1 \over 2}</math> g<sub>Dreieck</sub> <math>\cdot</math> h'''
 
:F<sub>Dreieck</sub> = '''<math>{1 \over 2}</math> g<sub>Dreieck</sub> <math>\cdot</math> h'''
 
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Aktuelle Version vom 18. August 2009, 17:33 Uhr

Für die ganz Schnellen:

Vertiefen und Erweitern


Du hast nun eine Möglichkeit kennen gelernt, wie man die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herleiten kann. '
Dies ist aber natürlich nicht der einzige Weg.
Versuche die nächsten nachzuvollziehen.
Ebert Motivatoren.jpg






Herleitungsidee 2
  1. Welche Figur entsteht?
  2. Um welche Punkte werden die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht?
  3. Welche Höhe besitzt die neue Figur, im Vergleich zum Ursprungsdreieck?
  4. Welche Länge hat die Grundseite c im Vergleich zur Ausgangsfigur?
  5. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks. Hinweis
Die Längenangaben sind in Zentimetern

Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von 8 (Zahl eintragen)cm²


Vergleiche Deine Lösungen mit der von Maja:

  1. Es entsteht ein Rechteck
  2. Die Teildreiecke werden um die Mittelpunkte der Seiten a und b gedreht. Sie werden um 180° gedreht. Es handelt sich also um eine Kongruenzabbildung.
  3. Die Höhe des Rechtecks ist halb so groß wie die Höhe des Ausgangsdreiecks
  4. Die Grundseite ist genauso lang wie die des Ausgangsdreiecks.


Ebert Motivatoren.jpg
  • Maja und Nils berechnen den Flächeninhalt des grünen Dreiecks.
Ebert Rechenbeispiel.jpg
  • Sie schreiben ihre Lösungswege auf. Welcher Lösungsweg passt zu den Skizzen?
  • Nils rechnet so: FDreieck = ( 8 cm\cdot 3 cm): 2= 12cm² . Das gehört zur Skizze I
  • Maja rechnet so: FDreieck = 8 cm\cdot ( 3cm : 2 ) = 8cm \cdot 1,5cm = 12cm² : Das gehört zur Skizze II













Suche Dir aus den nächsten beiden Herleitungen eine aus und bearbeite diese

Herleitungsidee 3

Aufgabenstellung: Kreuze die richtigen Antworten an:

1. Welche Figur ensteht? Es ensteht ein...

Parallelogramm
Rechteck
Trapez
Dreieck

2. Um welchen Punkt wird das Teildreieck gedreht?

Mittelpunkt Ma der Seite a
Mittelpunkt Mb der Seite b
Eckpunkt C

3. Um wieviel Grad wird es gedreht?

90°
180°
120°
360°

4. Welche Höhe besitzt die neue Figur im Vergleich zum Dreieck ABC? Sie ist...

genauso groß, wie die des Dreiecks ABC
halb so groß, wie die des Dreiecks ABC
doppelt so groß, wie die des Dreiecks ABC

Punkte: 0 / 0


5. Wie entsteht diese Figur?
Du kannst das bestimmt ohne Hinweis lösen, oder?

Das Parallelogramm ensteht durch Zerlegung des großen Dreiecks in ein kleines Teildreieck und ein Trapez. Durch Drehen des kleinen Teildreiecks ergänzt man das Trapez zum Parallelogramm. Die Drehung ist eine Kongruenzabbildung

6. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, wenn h2= 4cm und c= 4cm ist

Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC ist: 8 (Zahl eintragen)cm²

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks MbMaC. Überlege, welche Länge die Strecke [ MaMb] besitzt.

Der Flächeninhalt des Dreiecks MbMaC ist 2(Zahl eintragen) cm².

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.

Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist: 8(Zahl eintragen) cm².



Wie kann man für diese Methode die Flächeninhaltsformel des Dreiecks herleiten??

  • Es gilt:

FParallelogramm = g \cdot h1

  • Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt:

FParallelogramm = FDreieck

  • Für die Höhen gilt:
h1 = {1 \over 2} \cdot h2
  • Einsetzen in Formel für Parallelogramm:
FDreieck = {1 \over 2} g \cdot h2


Ebert MotivatorRot.jpg Wie Du siehst, ähneln sich diese beiden Herleitungsideen 2 und 3:

  • In der ersten Variante zerlegt man das Dreieck geeignet und ergänzt zum Rechteck mit gleicher Grundseite und halber Höhe...
Ebert Herleitung2.jpg
  • und in der zweiten Variante zerlegt man das Dreieck und ergänzt zu einem Parallelogramm mit gleicher Länge der Grundseite und halber Höhe
Ebert Herleitung3.jpg











Herleitungsidee 4
  1. Welche Figur ensteht?
  2. Um welche Punkte werden jeweils die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht?
  3. Welche Höhe besitzt die erhaltene Figur?
  • Vergleiche Deine Lösungen mit Maja´s Lösungen.
    Ebert MotivatorGrün.jpg

1. Es ensteht ein Rechteck
2. Die Teildreiecke werden jeweils um die Seitenmittelpunkte gedreht, dabei dreht man um 180°. Dies ist eine Kongruenzabbildung
3. Die Höhe des Rechtecks entspricht der Höhe des Ausgangsdreiecks.


4. Zeige, dass die Grundseite g der neuen Figur halb so lang ist, wie die Grundseite des Dreiecks!
Tipp: Ergänze zum Rechteck und beobachte dabei die Teilstrecken s und t

  • Die Grundseite des Dreiecks setzt sich zusammen aus:

gDreieck = s + s + t + t
Vereinfachen liefert: gDreieck = 2 \cdot s + 2\cdot t = 2 \cdot(s + t)

  • Für die Grundseite des Rechtecks gilt:

gRechteck= s + t

  • Setzt man gRechteck in die Formel für gDreieck und stellt um, so erhält man:

=> gRechteck = {1 \over 2} \cdot gDreieck


Wie kann man daraus die Flächeninhaltsformel für das Dreieck berechnen?
  • Für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt:

FRechteck = gRechteck \cdot h

  • Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt:
FRechteck = FDreieck
  • Für die Grundseiten gilt:
gRechteck = {1 \over 2} \cdot gDreieck
  • Einsetzen in Flächeninhaltsformel für das Rechteck:
FDreieck = {1 \over 2} gDreieck \cdot h



Ebert Maja.jpg
Ebert Lob3.jpg

Wow! Maja und Nils sind stolz auch Dich. Du hast nun auch den 3. Lernpfad erfolgreich bearbeitet!!'








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Übungsaufgaben zur Flächenberechnung am Dreieck

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