Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 4: Unterschied zwischen den Versionen

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'''Inhaltsverzeichnis:''' &nbsp;&nbsp;  [[Benutzer:Sarah Hatos/Übungen zu Linearen Gleichungssystemen|1. Kreuzworträtsel]]  &nbsp;-  &nbsp;[[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 2|2. Übungsaufgabe 1]]&nbsp; - &nbsp;[[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 3|3. Übungsaufgabe 2]]&nbsp; - &nbsp;[[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 4|4. Übungsaufgabe 3]] &nbsp;- &nbsp;[[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 5|5. Zusammenfassung: Auswahl des Lösungsverfahrens]]&nbsp; - &nbsp;[[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 6|6. Übung: Lösungsmöglichkeiten]]&nbsp; - &nbsp;[[Übungen zu Linearen Gleichungssystemen/Seite 7|7. Wahlaufgabe]]
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[[Bild:Rechteck_Hatos.png|400px|center]]
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'''Ein Rechteck hat einen Umfang von 44 cm. Wenn die beiden kürzeren Seite um 2 cm länger wären, dann wäre das Rechteck ein Quadrat. Wie lang sind Länge und Breite?'''
  
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'''Ein Dreieck hat einen Flächeninhalt von 9 cm^2. Die Höhe ist halb so lang wie die dazugehörige Seite. Wie lang sind Seite und Höhe?'''
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'''''Um diese Aufgabe zu lösen musst du dir erstmal die Formel für den Umfang eines Rechtecks in Erinnerung rufen!'''''
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Um diese Aufgabe zu lösen musst du dir erstmal die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks in Erinnerung rufen!
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A = 1/2 * Seite * '''Höhe (Wort eingeben)'''
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Umfang = 2 * Länge + 2 * '''Breite (Wort eingeben)'''
  
 
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Nun kannst du wieder zwei Gleichungen aufstellen. Vorher musst du aber zwei Variablen für deine beiden unbekannten Größen einführen.
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Wir nehmen hier:
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Überlege dir auch, was das besondere eines Quadrats ist!
  
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s für die Seite und h für die Höhe!
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Bei einem Quadrat sind alle Seiten gleich '''lang'''.
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'''Nun kannst du wieder zwei Gleichungen aufstellen. Vorher musst du aber zwei Variablen für deine beiden unbekannten Größen einführen.'''
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'''Wir nehmen hier:'''
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Gleichung ( I ):  '''9 cm^2''' = 1/2 * '''s''' * h
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Gleichung ( I ):  '''44''' cm = 2 * l + '''2 * b'''
  
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Gleichung ( II ): h = '''1/2 * s'''
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Gleichung ( II ): l = b + '''2 cm'''  
  
 
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'''Wir wollen nun dieses Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren lösen.'''
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Setze also Gleichung ( II ) in Gleichung ( I ) ein!
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44 cm = 2 * ('''b + 2 cm''') +  2 * b
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Nun kannst du diese Gleichung nach b auflösen!
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44 cm  = 2 * b + '''4 cm''' + 2 * b
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44 cm =  4 * b + 4 cm / '''- 4 cm'''
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'''10 cm''' = b
  
  
 
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Um die Länge noch auszurechnen, setzt du wieder b in eine deiner beiden Anfangsgleichungen ein. Wir nehmen Gleichung ( II ):
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l = b + 2 cm
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l = '''10 (Zahl eingeben)''' cm + 2 cm
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l = '''12 (Zahl eingeben)''' cm
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'''Um sicher zugehen, dass du auch richtig gerechnet hast, mache wieder die Probe, indem du die Werte für l und b in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.'''
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Gleichung ( I ) :
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Statt der Probe kannst du auch logisch überlegen, ob die obigen Angaben erfüllt sind, d.h Wenn man zur Breite 2 cm addiert sind alle Seiten gleich lang, also ist es dann ein Quadrat. <br>
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Und wenn du denn Umfang berechnest kommt auch 44 cm raus. 
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Die Länge deines Rechtecks beträgt also '''12 (Zahl eingeben)''' cm und die Breite beträgt '''10 (Zahl eingeben)''' cm.
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'''Was meinst du, warum ist es hier von Vorteil das Einsetzungsverfahren anzuwenden?'''
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(!Weil in beiden Gleichungen auf einer Seite dieselbe Variable steht.)
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(!Einfach so)
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(Weil die eine Gleichung nach der einen Variablen aufgelöst ist, die andere nicht.)
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Aktuelle Version vom 26. Januar 2010, 12:19 Uhr

Inhaltsverzeichnis:    1. Kreuzworträtsel  -  2. Übungsaufgabe 1  -  3. Übungsaufgabe 2  -  4. Übungsaufgabe 3  -  5. Zusammenfassung: Auswahl des Lösungsverfahrens  -  6. Übung: Lösungsmöglichkeiten  -  7. Wahlaufgabe

4. Übungsaufgabe 3

Rechteck Hatos.png

Ein Rechteck hat einen Umfang von 44 cm. Wenn die beiden kürzeren Seite um 2 cm länger wären, dann wäre das Rechteck ein Quadrat. Wie lang sind Länge und Breite?

Um diese Aufgabe zu lösen musst du dir erstmal die Formel für den Umfang eines Rechtecks in Erinnerung rufen!

Umfang = 2 * Länge + 2 * Breite (Wort eingeben)

Überlege dir auch, was das besondere eines Quadrats ist!

Bei einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang.

Nun kannst du wieder zwei Gleichungen aufstellen. Vorher musst du aber zwei Variablen für deine beiden unbekannten Größen einführen.

Wir nehmen hier:

l: Länge

b: Breite

Gleichung ( I ): 44 cm = 2 * l + 2 * b

Gleichung ( II ): l = b + 2 cm

Wir wollen nun dieses Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren lösen.


Setze also Gleichung ( II ) in Gleichung ( I ) ein!

44 cm = 2 * (b + 2 cm) + 2 * b

Nun kannst du diese Gleichung nach b auflösen!

44 cm = 2 * b + 4 cm + 2 * b

44 cm = 4 * b + 4 cm / - 4 cm

40 cm = 4 * b / : 4

10 cm = b



Um die Länge noch auszurechnen, setzt du wieder b in eine deiner beiden Anfangsgleichungen ein. Wir nehmen Gleichung ( II ):

l = b + 2 cm

l = 10 (Zahl eingeben) cm + 2 cm

l = 12 (Zahl eingeben) cm

Um sicher zugehen, dass du auch richtig gerechnet hast, mache wieder die Probe, indem du die Werte für l und b in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.


Gleichung ( I ) :

44 cm = 2 * l + 2 * b
     
44 cm = 2 * 12 cm + 2 * 10 cm
     
44 cm = 24 cm + 20 cm
     
44 cm = 44 cm

Gleichung ( II ):

l = b + 2 cm
     
12 cm = 10 cm + 2 cm
     
12 cm = 12 cm


Statt der Probe kannst du auch logisch überlegen, ob die obigen Angaben erfüllt sind, d.h Wenn man zur Breite 2 cm addiert sind alle Seiten gleich lang, also ist es dann ein Quadrat.
Und wenn du denn Umfang berechnest kommt auch 44 cm raus.

Die Länge deines Rechtecks beträgt also 12 (Zahl eingeben) cm und die Breite beträgt 10 (Zahl eingeben) cm.


Was meinst du, warum ist es hier von Vorteil das Einsetzungsverfahren anzuwenden?

(!Weil in beiden Gleichungen auf einer Seite dieselbe Variable steht.) (!Einfach so) (Weil die eine Gleichung nach der einen Variablen aufgelöst ist, die andere nicht.)

 

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