Abbildung durch zentrische Streckung: Unterschied zwischen den Versionen

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(→‎3. Station: Berechnung der Streckenlängen und des Streckungsfaktors)
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[[Bild:Porzelt_Zentrische_Streckung.jpg|center]]
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[[Bild:Porzelt_Zentrische_Streckung.jpg|right]]
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'''In diesem Lernpfad durchläufst du 6 Stationen. Sie sind wie folgt gegliedert:'''
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1. Station: Ähnlichkeitsabbildung<br>
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:[[/Hier kannst du weitere Beispiele einer zentrischen Streckung sehen|Exkurs: Weitere Beispiele einer zentrischen Streckung]]<br>
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[[/2.Station|2. Station: Streckungsfaktor]]<br>
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:[[/2.Station Fortsetzung|Fortsetzung der 2. Station: Streckungsfaktor]]<br>
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[[/3.Station|3. Station: Berechnung der Streckenlängen und des Streckungsfaktors]]<br>
 +
[[/4.Station|4. Station: Zusammenfassung]]<br>
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[[/5.Station|5. Station: Übung]]<br>
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'''Für Profis gibt es noch eine weitere Station:'''<br>
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[[/6.Station|6. Station: Wissenswertes]]
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==1. Station: Ähnlichkeitsabbildung==
 
==1. Station: Ähnlichkeitsabbildung==
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:Hier siehst du Panto mit einer Taschenlampe. Schalte die Taschenlampe ein, dann leuchtet
+
:Hier siehst du Panto mit einer Taschenlampe. Schalte die Taschenlampe ein, dann beleuchtet
−
:sie direkt auf einen grünen Strohhalm. An der Wand entsteht dabei ein Schatten.
+
:sie direkt einen grünen Strohhalm. An der Wand entsteht dabei ein Schatten.
−
:Verschiebe Panto näher an den Strohhalm heran, oder weiter von dem Strohhalm weg.
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:Schiebe Panto näher an den Strohhalm heran und dann weiter von dem Strohhalm weg!
 
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:'''''Lies die folgenden Beobachtungen konzentriert durch und hake die richtigen Aussagen ab:'''''
 
:'''''Lies die folgenden Beobachtungen konzentriert durch und hake die richtigen Aussagen ab:'''''
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<div class="multiplechoice-quiz">
 
<div class="multiplechoice-quiz">
  
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:Lies den Text genau durch. Am Ende wirst du darüber abgefragt.
+
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:'''''Den folgenden Text musst du genau durchlesen, denn am Ende wirst du darüber abgefragt.'''''
 
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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[[Bild:Porzelt_Panto-1.jpg|left]]
 
:Der Strohhalm wird  als '''Urbild''' und der Schatten als '''Bild''' bezeichnet.  
 
:Der Strohhalm wird  als '''Urbild''' und der Schatten als '''Bild''' bezeichnet.  
−
:Wie man sieht haben der Strohhalm und der Schatten verschiedene Größen, doch sie sind sich ähnlich.
+
:Wie man sieht, unterscheiden sich der Strohhalm und der Schatten nur in ihrer Größe aber nicht in ihrer Form.
−
:Deshalb spricht man von einer '''Ähnlichkeitsabbildung'''.  
+
:Sie sind sich ähnlich. Deshalb spricht man hier von einer '''Ähnlichkeitsabbildung'''.  
 
:Die Vergrößerung geht von einem Zentrum, in unserem Beispiel der Taschenlampe, aus. Man spricht hierbei von  
 
:Die Vergrößerung geht von einem Zentrum, in unserem Beispiel der Taschenlampe, aus. Man spricht hierbei von  
 
:einer '''zentrischen Streckung'''. Das '''Streckungszentrum''' wird mit '''Z''' bezeichnet.
 
:einer '''zentrischen Streckung'''. Das '''Streckungszentrum''' wird mit '''Z''' bezeichnet.
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:Lichtstrahlen sind '''Halbgeraden'''.
 
:Lichtstrahlen sind '''Halbgeraden'''.
 
</div>
 
</div>
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:[[/Hier kannst du weitere Beispiele einer zentrischen Streckung sehen/]]
 
 
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==2. Station: Streckungsfaktor==
+
<div style="border: 2px solid #9c9c9c; background-color:#ffffff; padding:7px;">
−
:In dem nächsten Fall ist das Urbild ein Dreieck, dass du zentrisch strecken kannst, indem du an dem Schieberegler ziehst.
+
[[Bild:Porzelt_PanDiAuto.jpg‎|left]]
−
:Der Schieberegler durchläuft die positiven Zahlen von k=0 bis k=3.
+
−
<div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
+
−
{| <br>
+
−
|<ggb_applet height="320" width="700" showResetIcon="true" filename="Porzelt_positiverStreckungsfaktor.ggb" />||'''Was verändert sich? Orientiere dich dabei an diesen Fragen:'''
+
−
<quiz display="simple">
+
−
 
+
−
{'''Auf welcher Seite von Z liegen das Urbild und das Bild?'''}
+
−
+auf derselben Seite
+
−
-auf verschiedenen Seiten
+
−
 
+
−
{'''Was liegt bei k>1 vor?'''}
+
−
+eine Vergrößerung
+
−
-eine Verkleinerung
+
−
-die Identität
+
−
 
+
−
{'''Was liegt bei 0<k<1 vor?'''}
+
−
-eine Vergrößerung
+
−
+eine Verkleinerung
+
−
-die Identität
+
−
 
+
−
{'''Was liegt bei k=1 vor?'''}
+
−
-eine Vergrößerung
+
−
-eine Verkleinerung
+
−
+die Identität
+
−
 
+
−
{'''Was passiert wenn k=0 ist?'''}
+
−
+es erfolgt '''keine''' zentrische Streckung
+
−
-es erfolgt '''eine''' zentrische Streckung
+
−
 
+
−
</quiz>
+
−
|}
+
−
</div>
+
 
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−
 
 
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−
:Was sind die Unterschiede, wenn du dieses Dreieck zentrisch streckst? Dieses mal durchläuft der
 
−
:Schieberegler die negativen Zahlen von k=-3 bis k=0.
 
 
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−
<div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
−
{| <br>
 
−
|<ggb_applet height="400" width="750" showResetIcon="true" filename="Porzelt_negativerStreckungsfaktor.ggb" />||'''Was verändert sich? Orientiere dich dabei an diesen Fragen:'''
 
−
<quiz display="simple">
 
−
 
−
{'''Auf welcher Seite von Z liegen das Urbild und das Bild?'''}
 
−
-auf derselben Seite
 
−
+auf verschiedenen Seiten
 
−
 
−
{'''Was liegt bei k< -1 vor?'''}
 
−
+eine Vergrößerung
 
−
-eine Verkleinerung
 
−
-die Identität
 
−
-eine Spiegelung
 
−
 
−
{'''Was liegt bei 0>k> -1 vor?'''}
 
−
-eine Vergrößerung
 
−
+eine Verkleinerung
 
−
-die Identität
 
−
-eine Spiegelun)
 
−
 
−
{'''Was liegt bei k= -1 vor?'''}
 
−
-eine Vergrößerung
 
−
-eine Verkleinerung
 
−
-die Identität
 
−
+eine Spiegelung
 
−
 
−
</quiz>
 
−
|}
 
−
</div>
 
 
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<br>
 
<br>
 
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−
:Um herauszufinden was das k bedeutet, musst du dir jetzt bei dieser zentrischen Streckung anschauen, wie
 
−
:sich die Streckenlängen verändern, wenn du k veränderst. Dazu musst du dir die Streckenlängen anzeigen lassen.
 
 
<br>
 
<br>
−
<div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
−
{| <br>
 
−
|<ggb_applet height="400" width="850" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Streckungsfaktor.ggb" />||'''Was verändert sich? Orientiere dich dabei an diesen Fragen:'''
 
−
<quiz display="simple">
 
−
 
−
{'''Wie verändert sich die Streckenlänge <span style="text-decoration: overline;">ZB</span>?'''}
 
−
+Sie bleibt immer gleich.
 
−
-Sie ist variabel.
 
−
 
−
{'''Wie verändert sich die Streckenlänge <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span>?'''}
 
−
-Sie bleibt immer gleich.
 
−
+Sie ist variabel.
 
−
 
−
{'''Wie verhält sich k?'''}
 
−
-Es bleibt immer gleich.
 
−
+Es ist variabel.
 
−
 
−
</quiz>
 
−
|}
 
−
</div>
 
 
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−
:Die Werte, die sich aus der Änderung von k ergeben, wurden in zwei Tabellen zusammengefasst.
 
−
:In der linken sind die Werte für k von 2 bis 0, in der rechten für k von -2 bis 0.
 
 
<br>
 
<br>
−
:'''Arbeitsauftrag:'''
+
'''Panto und Dia machen eine Spritztour, um die zentrische Streckung im Alltag zu finden. Was die beiden entdeckt haben, siehst du auf der nächsten Seite.'''
−
:''1. Betrachte zunächst nur die linke Tabelle und stelle eine Vermutung auf, wie sich die Länge von <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span> ändert im Vergleich zur Länge von <span style="text-decoration: overline;">ZB</span>?
+
−
:(Tipp: Betrachte auch den Wert von k!)
+
−
:''2. Vergleiche die Zeilen mit der selben Hintergrundfarbe! Was haben sie gemeinsam? Was sind die Unterschiede?''
+
−
{|
+
−
|
+
−
{| {{Prettytable}}
+
−
|- style="background-color:#8DB6CD"
+
−
! k !! <span style="text-decoration: overline;">ZB</span> !! <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span>
+
−
|- style="background-color:#CDB5CD"
+
−
! 2 !! 4 !! 8
+
−
|- style="background-color:#CAFF70"
+
−
! 1.5 !! 4 !! 6
+
−
|- style="background-color:#EEA2AD"
+
−
! 1 !! 4 !! 4
+
−
|- style="background-color:#C6E2FF"
+
−
! 0.5 !! 4 !! 2
+
−
|-
+
−
| 0 || 4 || 0
+
−
|}
+
−
 
+
−
||
+
−
{| {{Prettytable}}
+
−
|- style="background-color:#8DB6CD"
+
−
! k !! <span style="text-decoration: overline;">ZB</span> !! <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span>
+
−
|- style="background-color:#CDB5CD"
+
−
! -2 !! 4 !! 8
+
−
|- style="background-color:#CAFF70"
+
−
! -1.5 !! 4 !! 6
+
−
|- style="background-color:#EEA2AD"
+
−
! -1 !! 4 !! 4
+
−
|- style="background-color:#C6E2FF"
+
−
! -0.5 !! 4 !! 2
+
−
|-
+
−
| 0 || 4 || 0
+
−
|}
+
−
|}
+
 
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−
:Hier kannst du deine Vermutung mit der von Dia vergleichen:
 
−
:{{Versteckt|
 
−
1. <math>\overline{ZB'}</math> ist k-mal so lang wie <math>\overline{ZB}</math>.
 
−
2. Die Längen der Strecken <math>\overline{ZB}</math> und <math>\overline{ZB'}</math> bleiben gleich, wenn sich das Vorzeichen von k ändert.}}
 
 
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<br>
−
<div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
−
:'''Dia ist nach ihren Vermutungen total verwirrt. Sie versteht nicht warum der Wert von <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span> gleich bleibt, wenn sich das Vorzeichen von k ändert.'''
 
−
:'''Vielleicht kannst du ihr helfen, indem du ihre Fragen beantwortest:'''
 
 
<br>
 
<br>
−
<quiz display="simple">
 
−
 
−
{Kann eine Streckenlänge ein negatives Vorzeichen haben?}
 
−
+nein
 
−
-ja
 
−
 
−
{Wie kann man eine negative Zahl in eine positive Zahl umwandeln, sodass der Wert '''gleich''' bleibt,
 
−
sich jedoch aber eine positive Zahl '''nicht''' in eine negative Zahl umwandelt?}
 
−
-durch Quadrieren
 
−
+mit Hilfe von Betragsstrichen
 
−
-durch Multiplikation mit -1
 
−
 
−
</quiz>
 
−
</div>
 
 
<br>
 
<br>
−
:Prima! Dank dir versteht jetzt Dia, wie die Werte für <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span> entstehen.
 
−
:Mit deiner Hilfe und ihrer Vermutungen kann sie eine allgemeingültige Aussage machen.
 
−
:Teste durch Einsetzen der richtigen Wörter, ob auch du dahinter gekommen bist:
 
−
<div class="lueckentext-quiz">
 
−
Die Länge von '''<span style="text-decoration: overline;">ZB</span>''' ist '''|k|-mal''' so lang wie die Länge von '''<span style="text-decoration: overline;">ZB'</span>'''.
 
−
</div>
 
−
 
 
<br>
 
<br>
−
:Hier siehst du was das k bedeutet. Merke es dir, denn später wirst du darüber abgefragt!
 
−
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
−
:'''k''' bezeichnet man als den '''Streckungsfaktor'''. Er gibt den Maßstab an, in dem das Bild vergrößert wurde.
 
−
</div>
 
 
<br>
 
<br>
−
 
−
==3. Station: Berechnung der Streckenlängen und des Streckungsfaktors==
 
−
:Wie du in der 2. Station schon herausgefunden hast ist die Bildstrecke |k|-mal so lang wie die Urbildstrecke.
 
−
:Geometrisch bedeutet dies für einen beliebigen Punkt P: <span style="text-decoration: overline;">ZP'</span> = |k| ∙ <span style="text-decoration: overline;">ZP</span>
 
−
:Daraus folgt: k=<math>{\overline{ZP'}\over\overline{ZP}}</math>
 
−
<br>
 
−
:Ob dies auch zur Berechnung von Strecken, die nicht durch den Punkt Z verlaufen, gilt, kannst du durch Umformung herausfinden. <br>
 
−
:Setze dafür den richtigen Ausdruck in die passende Lücke:
 
−
<div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
−
{|
 
−
|[[Bild:Porzelt_Streckenlänge.jpg]]||
 
−
<div class="lueckentext-quiz">
 
−
<span style="text-decoration: overline;">P'Q'</span> = |k| ∙ <span style="text-decoration: overline;">PQ</span> <br>
 
−
<math>\Leftrightarrow </math><span style="text-decoration: overline;">P'Q'</span> = '''|k|''' ∙ <span style="text-decoration: overline;">ZQ</span> - |k| ∙ '''<span style="text-decoration: overline;">ZP</span>'''<br>
 
−
<math>\Leftrightarrow </math><span style="text-decoration: overline;">P'Q'</span> = |k| ∙ ('''<span style="text-decoration: overline;">ZQ</span>''' - '''<span style="text-decoration: overline;">ZP</span>''')<br>
 
−
<math>\Leftrightarrow </math><span style="text-decoration: overline;">P'Q'</span> = |k| ∙ '''<span style="text-decoration: overline;">PQ</span>'''
 
 
</div>
 
</div>
−
|}
 
−
</div>
 
−
<br>
 
−
 
−
==4. Station: Zusammenfassung==
 
−
:Hier siehst du alles, was du bisher herausgefunden hast zusammengefasst.
 
−
:Schreibe dir diese Zusammenfassung in dein Heft.
 
−
<div style="border: 2px solid #FF0000; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
−
'''Abbildungsvorschrift der zentrischen Streckung'''<br>
 
−
Wenn eine Vergrößerung von einem Zentrum ausgeht, dann spricht man von einer '''zentrischen Streckung'''. <br>
 
−
Sie wird festgelegt durch Angabe eines '''Streckungszentrums Z''' und eines '''Streckungsfaktors k'''. (Kurz: )<br>
 
−
Der '''Urpunkt P''', der '''Bildpunkt P'''' und das Streckungszentrum Z liegen auf einer Geraden. <br>
 
−
Es gilt: <span style="text-decoration: overline;">ZP'</span> = |k| ∙ <span style="text-decoration: overline;">ZP</span> <br>
 
−
Bei |k|>1 liegt eine Vergrößerung, bei 0<|k|<1 eine Verkleinerung vor. <br>
 
−
Wenn k=1 ist liegt die Identität vor, bei k= -1 eine Spiegelung. <br>
 
−
Für k>0 gilt: Urpunkt und Bildpunkt liegen auf der gleichen Seite von Z. <br>
 
−
Für k<0 gilt: Urpunkt und Bildpunkt liegen auf verschiedenen Seiten von Z. <br>
 
−
</div>
 
−
<br>
 
−
 
−
==5. Station: Übungen==
 
−
===1. Aufgabe===
 
−
<div class="schuettel-quiz">
 
−
:Das Bild zeigt eine '''zentrische''' '''Streckung'''.
 
−
</div>
 
−
<div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
−
{| <br>
 
−
|[[Bild:Porzelt_Taschenlampe_Quiz.jpg|center]]
 
−
|<div class="kreuzwort-quiz">
 
−
{|
 
−
|-
 
−
| Streckungsfaktor || Was kann man mit Hilfe des Schiebereglers (A) einstellen?
 
−
|-
 
−
| Streckungszentrum || Was stellt die Taschenlampe (B) dar?
 
−
|-
 
−
| Halbgerade || Was ist der Lichtstrahl (C)?
 
−
|-
 
−
| Urbild || Als was kann man den Strohhalm (D) noch bezeichnen?
 
−
|-
 
−
| Bild || Als was kann man den Schatten (E) noch bezeichnen?
 
−
|}
 
−
</div>
 
−
|}
 
−
</div>
 
−
<br>
 
−
 
−
===2. Aufgabe===
 
−
:Berechne den Streckungsfaktor k in deinem Heft. Ordne danach die richtige Lösung zu:
 
−
<div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
−
{|
 
−
|[[Bild:Porzelt_Übungsaufgabe2.jpg]]||
 
−
<div class="lueckentext-quiz">
 
−
 
−
a) k= '''3''' <br>
 
−
b) k= '''-0,5'''<br>
 
−
c) k= '''0,4''' <br>
 
−
</div>
 
−
|}
 
−
</div>
 
−
<br>
 
−
 
−
===3. Aufgabe===
 
−
:Trage für jede Teilaufgabe in einem Koordinatensystem die Ur- und Bildpunkte ein, verbinde sie wenn möglich
 
−
:und führe die zentrische Streckung mit gegebenem Zentrum und Streckungsfaktor durch.
 
−
<br>
 
−
<div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
−
:a) Z(1|1), k= 2, P(2|1)
 
−
:b) Z(1|1), k= -2.5, P(3|1), Q(2|2)
 
−
:c) Z(1|1), k= 2.5, P(2|3), Q(4|1), R(4|3)
 
−
</div>
 
−
<br>
 
−
:Hier kannst du deine Lösung mit der von Dia vergleichen:
 
−
:{{Lösung versteckt|
 
−
'''a)'''[[Bild:Porzelt_Aufgabe3a.jpg]]
 
−
<br>
 
−
<br>     
 
−
'''b)'''[[Bild:Porzelt_Aufgabe3b.jpg]]
 
−
<br>
 
 
<br>
 
<br>
−
'''c)'''[[Bild:Porzelt_Aufgabe3c.jpg]]
+
<div align="left">[[/Hier kannst du weitere Beispiele einer zentrischen Streckung sehen|<math>\Rightarrow</math> Weiter zum Exkurs: Weitere Beispiele einer zentrischen Streckung]]</div>
−
|}}
+

Aktuelle Version vom 6. August 2009, 14:25 Uhr


Mathematik-digital Pfeil-3d.png
Lernpfad

Abbildung durch zentrische Streckung


Porzelt Zentrische Streckung.jpg





In diesem Lernpfad durchläufst du 6 Stationen. Sie sind wie folgt gegliedert:
1. Station: Ähnlichkeitsabbildung

Exkurs: Weitere Beispiele einer zentrischen Streckung

2. Station: Streckungsfaktor

Fortsetzung der 2. Station: Streckungsfaktor

3. Station: Berechnung der Streckenlängen und des Streckungsfaktors
4. Station: Zusammenfassung
5. Station: Übung
Für Profis gibt es noch eine weitere Station:
6. Station: Wissenswertes









1. Station: Ähnlichkeitsabbildung

Hier siehst du Panto mit einer Taschenlampe. Schalte die Taschenlampe ein, dann beleuchtet
sie direkt einen grünen Strohhalm. An der Wand entsteht dabei ein Schatten.
Schiebe Panto näher an den Strohhalm heran und dann weiter von dem Strohhalm weg!






Lies die folgenden Beobachtungen konzentriert durch und hake die richtigen Aussagen ab:

Wie ändert sich der Schatten durch das Verschieben? (Je näher Panto mit der Taschenlampe auf den Strohhalm leuchtet, desto größer ist der Schatten.) (!Je näher Panto mit der Taschenlampe auf den Strohhalm leuchtet, desto kleiner ist der Schatten.) (Je weiter Panto mit der Taschenlampe von dem Strohhalm entfernt ist, desto kleiner ist der Schatten.) (!Je weiter Panto mit der Taschenlampe von dem Strohhalm entfernt ist, desto größer ist der Schatten.)



Den folgenden Text musst du genau durchlesen, denn am Ende wirst du darüber abgefragt.
Porzelt Panto-1.jpg
Der Strohhalm wird als Urbild und der Schatten als Bild bezeichnet.
Wie man sieht, unterscheiden sich der Strohhalm und der Schatten nur in ihrer Größe aber nicht in ihrer Form.
Sie sind sich ähnlich. Deshalb spricht man hier von einer Ähnlichkeitsabbildung.
Die Vergrößerung geht von einem Zentrum, in unserem Beispiel der Taschenlampe, aus. Man spricht hierbei von
einer zentrischen Streckung. Das Streckungszentrum wird mit Z bezeichnet.
Urbild, Bild und Streckungszentrum liegen auf den Lichtstrahlen, die von der Taschenlampe ausgehen. Diese
Lichtstrahlen sind Halbgeraden.


Porzelt PanDiAuto.jpg









Panto und Dia machen eine Spritztour, um die zentrische Streckung im Alltag zu finden. Was die beiden entdeckt haben, siehst du auf der nächsten Seite.






\Rightarrow Weiter zum Exkurs: Weitere Beispiele einer zentrischen Streckung
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