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| | <br> | | <br> |
| − | [[Benutzer:Leonie Porzelt/Abbildung durch zentrische Streckung/2.Station|2. Station: Streckungsfaktor]]
| |
| − | [[Benutzer:Leonie Porzelt/Abbildung durch zentrische Streckung/3.Station|3. Station: Berechnung der Streckenlängen und des Streckungsfaktors]]
| |
| − | [[Benutzer:Leonie Porzelt/Abbildung durch zentrische Streckung/4.Station|4. Station: Zusammenfassung]]
| |
| − | [[Benutzer:Leonie Porzelt/Abbildung durch zentrische Streckung/5.Station|5. Station: Übungen]]
| |
| − | [[Benutzer:Leonie Porzelt/Abbildung durch zentrische Streckung/6.Station|6. Station: Wissenswertes]]
| |
| | [[Bild:Porzelt_Zentrische_Streckung.jpg|right]] | | [[Bild:Porzelt_Zentrische_Streckung.jpg|right]] |
| | + | <br> |
| | + | <br> |
| | + | <br> |
| | + | <br> |
| | + | '''In diesem Lernpfad durchläufst du 6 Stationen. Sie sind wie folgt gegliedert:''' |
| | + | <br> |
| | + | 1. Station: Ähnlichkeitsabbildung<br> |
| | + | :[[/Hier kannst du weitere Beispiele einer zentrischen Streckung sehen|Exkurs: Weitere Beispiele einer zentrischen Streckung]]<br> |
| | + | [[/2.Station|2. Station: Streckungsfaktor]]<br> |
| | + | :[[/2.Station Fortsetzung|Fortsetzung der 2. Station: Streckungsfaktor]]<br> |
| | + | [[/3.Station|3. Station: Berechnung der Streckenlängen und des Streckungsfaktors]]<br> |
| | + | [[/4.Station|4. Station: Zusammenfassung]]<br> |
| | + | [[/5.Station|5. Station: Übung]]<br> |
| | + | '''Für Profis gibt es noch eine weitere Station:'''<br> |
| | + | [[/6.Station|6. Station: Wissenswertes]] |
| | + | <br> |
| | + | <br> |
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| | + | <br> |
| | + | <br> |
| | + | <br> |
| | <br> | | <br> |
| | ==1. Station: Ähnlichkeitsabbildung== | | ==1. Station: Ähnlichkeitsabbildung== |
| − | :Hier siehst du Panto mit einer Taschenlampe. Schalte die Taschenlampe ein, dann leuchtet | + | :Hier siehst du Panto mit einer Taschenlampe. Schalte die Taschenlampe ein, dann beleuchtet |
| − | :sie direkt auf einen grünen Strohhalm. An der Wand entsteht dabei ein Schatten. | + | :sie direkt einen grünen Strohhalm. An der Wand entsteht dabei ein Schatten. |
| − | :Verschiebe Panto näher an den Strohhalm heran, oder weiter von dem Strohhalm weg. | + | :Schiebe Panto näher an den Strohhalm heran und dann weiter von dem Strohhalm weg! |
| | <br> | | <br> |
| | <br> | | <br> |
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| | <br> | | <br> |
| | :'''''Lies die folgenden Beobachtungen konzentriert durch und hake die richtigen Aussagen ab:''''' | | :'''''Lies die folgenden Beobachtungen konzentriert durch und hake die richtigen Aussagen ab:''''' |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| | <div class="multiplechoice-quiz"> | | <div class="multiplechoice-quiz"> |
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| | <br> | | <br> |
| − | :Lies den Text genau durch. Am Ende wirst du darüber abgefragt. | + | <br> |
| | + | :'''''Den folgenden Text musst du genau durchlesen, denn am Ende wirst du darüber abgefragt.''''' |
| | <div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;"> | | <div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;"> |
| | + | [[Bild:Porzelt_Panto-1.jpg|left]] |
| | :Der Strohhalm wird als '''Urbild''' und der Schatten als '''Bild''' bezeichnet. | | :Der Strohhalm wird als '''Urbild''' und der Schatten als '''Bild''' bezeichnet. |
| − | :Wie man sieht haben der Strohhalm und der Schatten verschiedene Größen, doch sie sind sich ähnlich. | + | :Wie man sieht, unterscheiden sich der Strohhalm und der Schatten nur in ihrer Größe aber nicht in ihrer Form. |
| − | :Deshalb spricht man von einer '''Ähnlichkeitsabbildung'''.
| + | :Sie sind sich ähnlich. Deshalb spricht man hier von einer '''Ähnlichkeitsabbildung'''. |
| | :Die Vergrößerung geht von einem Zentrum, in unserem Beispiel der Taschenlampe, aus. Man spricht hierbei von | | :Die Vergrößerung geht von einem Zentrum, in unserem Beispiel der Taschenlampe, aus. Man spricht hierbei von |
| | :einer '''zentrischen Streckung'''. Das '''Streckungszentrum''' wird mit '''Z''' bezeichnet. | | :einer '''zentrischen Streckung'''. Das '''Streckungszentrum''' wird mit '''Z''' bezeichnet. |
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| | :Lichtstrahlen sind '''Halbgeraden'''. | | :Lichtstrahlen sind '''Halbgeraden'''. |
| | </div> | | </div> |
| − | <br>
| |
| − | :[[/Hier kannst du weitere Beispiele einer zentrischen Streckung sehen/]]
| |
| | <br> | | <br> |
| | | | |
| − | ==2. Station: Streckungsfaktor==
| + | <div style="border: 2px solid #9c9c9c; background-color:#ffffff; padding:7px;"> |
| − | :In dem nächsten Fall ist das Urbild ein Dreieck, dass du zentrisch strecken kannst, indem du an dem Schieberegler ziehst.
| + | [[Bild:Porzelt_PanDiAuto.jpg|left]] |
| − | :Der Schieberegler durchläuft die positiven Zahlen von k=0 bis k=3.
| + | |
| − | <div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;"> | + | |
| − | {| <br>
| + | |
| − | |<ggb_applet height="320" width="700" showResetIcon="true" filename="Porzelt_positiverStreckungsfaktor.ggb" />||'''Was verändert sich? Orientiere dich dabei an diesen Fragen:'''
| + | |
| − | <quiz display="simple">
| + | |
| − | | + | |
| − | {'''Auf welcher Seite von Z liegen das Urbild und das Bild?'''}
| + | |
| − | +auf derselben Seite
| + | |
| − | -auf verschiedenen Seiten
| + | |
| − | | + | |
| − | {'''Was liegt bei k>1 vor?'''}
| + | |
| − | +eine Vergrößerung
| + | |
| − | -eine Verkleinerung
| + | |
| − | -die Identität
| + | |
| − | | + | |
| − | {'''Was liegt bei 0<k<1 vor?'''}
| + | |
| − | -eine Vergrößerung
| + | |
| − | +eine Verkleinerung
| + | |
| − | -die Identität
| + | |
| − | | + | |
| − | {'''Was liegt bei k=1 vor?'''}
| + | |
| − | -eine Vergrößerung
| + | |
| − | -eine Verkleinerung
| + | |
| − | +die Identität
| + | |
| − | | + | |
| − | {'''Was passiert wenn k=0 ist?'''}
| + | |
| − | +es erfolgt '''keine''' zentrische Streckung
| + | |
| − | -es erfolgt '''eine''' zentrische Streckung
| + | |
| − | | + | |
| − | </quiz>
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | </div>
| + | |
| | <br> | | <br> |
| − |
| |
| | <br> | | <br> |
| − | :Was sind die Unterschiede, wenn du dieses Dreieck zentrisch streckst? Dieses mal durchläuft der
| |
| − | :Schieberegler die negativen Zahlen von k=-3 bis k=0.
| |
| | <br> | | <br> |
| − | <div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| |
| − | {| <br>
| |
| − | |<ggb_applet height="400" width="750" showResetIcon="true" filename="Porzelt_negativerStreckungsfaktor.ggb" />||'''Was verändert sich? Orientiere dich dabei an diesen Fragen:'''
| |
| − | <quiz display="simple">
| |
| − |
| |
| − | {'''Auf welcher Seite von Z liegen das Urbild und das Bild?'''}
| |
| − | -auf derselben Seite
| |
| − | +auf verschiedenen Seiten
| |
| − |
| |
| − | {'''Was liegt bei k< -1 vor?'''}
| |
| − | +eine Vergrößerung
| |
| − | -eine Verkleinerung
| |
| − | -die Identität
| |
| − | -eine Spiegelung
| |
| − |
| |
| − | {'''Was liegt bei 0>k> -1 vor?'''}
| |
| − | -eine Vergrößerung
| |
| − | +eine Verkleinerung
| |
| − | -die Identität
| |
| − | -eine Spiegelun)
| |
| − |
| |
| − | {'''Was liegt bei k= -1 vor?'''}
| |
| − | -eine Vergrößerung
| |
| − | -eine Verkleinerung
| |
| − | -die Identität
| |
| − | +eine Spiegelung
| |
| − |
| |
| − | </quiz>
| |
| − | |}
| |
| − | </div>
| |
| | <br> | | <br> |
| | <br> | | <br> |
| − | :Um herauszufinden was das k bedeutet, musst du dir jetzt bei dieser zentrischen Streckung anschauen, wie
| |
| − | :sich die Streckenlängen verändern, wenn du k veränderst. Dazu musst du dir die Streckenlängen anzeigen lassen.
| |
| | <br> | | <br> |
| − | <div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| |
| − | {| <br>
| |
| − | |<ggb_applet height="400" width="850" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Streckungsfaktor.ggb" />||'''Was verändert sich? Orientiere dich dabei an diesen Fragen:'''
| |
| − | <quiz display="simple">
| |
| − |
| |
| − | {'''Wie verändert sich die Streckenlänge <span style="text-decoration: overline;">ZB</span>?'''}
| |
| − | +Sie bleibt immer gleich.
| |
| − | -Sie ist variabel.
| |
| − |
| |
| − | {'''Wie verändert sich die Streckenlänge <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span>?'''}
| |
| − | -Sie bleibt immer gleich.
| |
| − | +Sie ist variabel.
| |
| − |
| |
| − | {'''Wie verhält sich k?'''}
| |
| − | -Es bleibt immer gleich.
| |
| − | +Es ist variabel.
| |
| − |
| |
| − | </quiz>
| |
| − | |}
| |
| − | </div>
| |
| | <br> | | <br> |
| − | :Die Werte, die sich aus der Änderung von k ergeben, wurden in zwei Tabellen zusammengefasst.
| |
| − | :In der linken sind die Werte für k von 2 bis 0, in der rechten für k von -2 bis 0.
| |
| | <br> | | <br> |
| − | :'''Arbeitsauftrag:'''
| + | '''Panto und Dia machen eine Spritztour, um die zentrische Streckung im Alltag zu finden. Was die beiden entdeckt haben, siehst du auf der nächsten Seite.''' |
| − | :''1. Betrachte zunächst nur die linke Tabelle und stelle eine Vermutung auf, wie sich die Länge von <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span> ändert im Vergleich zur Länge von <span style="text-decoration: overline;">ZB</span>?
| + | |
| − | :(Tipp: Betrachte auch den Wert von k!)
| + | |
| − | :''2. Vergleiche die Zeilen mit der selben Hintergrundfarbe! Was haben sie gemeinsam? Was sind die Unterschiede?''
| + | |
| − | {|
| + | |
| − | |
| + | |
| − | {| {{Prettytable}}
| + | |
| − | |- style="background-color:#8DB6CD"
| + | |
| − | ! k !! <span style="text-decoration: overline;">ZB</span> !! <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span>
| + | |
| − | |- style="background-color:#CDB5CD"
| + | |
| − | ! 2 !! 4 !! 8
| + | |
| − | |- style="background-color:#CAFF70"
| + | |
| − | ! 1.5 !! 4 !! 6
| + | |
| − | |- style="background-color:#EEA2AD"
| + | |
| − | ! 1 !! 4 !! 4
| + | |
| − | |- style="background-color:#C6E2FF"
| + | |
| − | ! 0.5 !! 4 !! 2
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | 0 || 4 || 0
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | | + | |
| − | ||
| + | |
| − | {| {{Prettytable}}
| + | |
| − | |- style="background-color:#8DB6CD"
| + | |
| − | ! k !! <span style="text-decoration: overline;">ZB</span> !! <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span>
| + | |
| − | |- style="background-color:#CDB5CD"
| + | |
| − | ! -2 !! 4 !! 8
| + | |
| − | |- style="background-color:#CAFF70"
| + | |
| − | ! -1.5 !! 4 !! 6
| + | |
| − | |- style="background-color:#EEA2AD"
| + | |
| − | ! -1 !! 4 !! 4
| + | |
| − | |- style="background-color:#C6E2FF"
| + | |
| − | ! -0.5 !! 4 !! 2
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | 0 || 4 || 0
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | |}
| + | |
| | <br> | | <br> |
| − | :Hier kannst du deine Vermutung mit der von Dia vergleichen:
| |
| − | :{{Versteckt|
| |
| − | 1. <math>\overline{ZB'}</math> ist k-mal so lang wie <math>\overline{ZB}</math>.
| |
| − | 2. Die Längen der Strecken <math>\overline{ZB}</math> und <math>\overline{ZB'}</math> bleiben gleich, wenn sich das Vorzeichen von k ändert.}}
| |
| | <br> | | <br> |
| − | <div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| |
| − | :'''Dia ist nach ihren Vermutungen total verwirrt. Sie versteht nicht warum der Wert von <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span> gleich bleibt, wenn sich das Vorzeichen von k ändert.'''
| |
| − | :'''Vielleicht kannst du ihr helfen, indem du ihre Fragen beantwortest:'''
| |
| | <br> | | <br> |
| − | <quiz display="simple">
| |
| − |
| |
| − | {Kann eine Streckenlänge ein negatives Vorzeichen haben?}
| |
| − | +nein
| |
| − | -ja
| |
| − |
| |
| − | {Wie kann man eine negative Zahl in eine positive Zahl umwandeln, sodass der Wert '''gleich''' bleibt,
| |
| − | sich jedoch aber eine positive Zahl '''nicht''' in eine negative Zahl umwandelt?}
| |
| − | -durch Quadrieren
| |
| − | +mit Hilfe von Betragsstrichen
| |
| − | -durch Multiplikation mit -1
| |
| − |
| |
| − | </quiz>
| |
| − | </div>
| |
| | <br> | | <br> |
| − | :Prima! Dank dir versteht jetzt Dia, wie die Werte für <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span> entstehen.
| |
| − | :Mit deiner Hilfe und ihrer Vermutungen kann sie eine allgemeingültige Aussage machen.
| |
| − | :Teste durch Einsetzen der richtigen Wörter, ob auch du dahinter gekommen bist:
| |
| − | <div class="lueckentext-quiz">
| |
| − | Die Länge von '''<span style="text-decoration: overline;">ZB</span>''' ist '''|k|-mal''' so lang wie die Länge von '''<span style="text-decoration: overline;">ZB'</span>'''.
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| | <br> | | <br> |
| − | :Hier siehst du was das k bedeutet. Merke es dir, denn später wirst du darüber abgefragt!
| |
| − | <div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| |
| − | :'''k''' bezeichnet man als den '''Streckungsfaktor'''. Er gibt den Maßstab an, in dem das Bild vergrößert wurde.
| |
| − | </div>
| |
| | <br> | | <br> |
| − |
| |
| − | ==3. Station: Berechnung der Streckenlängen und des Streckungsfaktors==
| |
| − | :Wie du in der 2. Station schon herausgefunden hast ist die Bildstrecke |k|-mal so lang wie die Urbildstrecke.
| |
| − | :Geometrisch bedeutet dies für einen beliebigen Punkt P: <span style="text-decoration: overline;">ZP'</span> = |k| ∙ <span style="text-decoration: overline;">ZP</span>
| |
| − | :Daraus folgt: k=<math>{\overline{ZP'}\over\overline{ZP}}</math>
| |
| − | <br>
| |
| − | :Ob dies auch zur Berechnung von Strecken, die nicht durch den Punkt Z verlaufen, gilt, kannst du durch Umformung herausfinden. <br>
| |
| − | :Setze dafür den richtigen Ausdruck in die passende Lücke:
| |
| − | <div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| |
| − | {|
| |
| − | |[[Bild:Porzelt_Streckenlänge.jpg]]||
| |
| − | <div class="lueckentext-quiz">
| |
| − | <span style="text-decoration: overline;">P'Q'</span> = |k| ∙ <span style="text-decoration: overline;">PQ</span> <br>
| |
| − | <math>\Leftrightarrow </math><span style="text-decoration: overline;">P'Q'</span> = '''|k|''' ∙ <span style="text-decoration: overline;">ZQ</span> - |k| ∙ '''<span style="text-decoration: overline;">ZP</span>'''<br>
| |
| − | <math>\Leftrightarrow </math><span style="text-decoration: overline;">P'Q'</span> = |k| ∙ ('''<span style="text-decoration: overline;">ZQ</span>''' - '''<span style="text-decoration: overline;">ZP</span>''')<br>
| |
| − | <math>\Leftrightarrow </math><span style="text-decoration: overline;">P'Q'</span> = |k| ∙ '''<span style="text-decoration: overline;">PQ</span>'''
| |
| − | </div>
| |
| − | |}
| |
| | </div> | | </div> |
| | <br> | | <br> |
| − | | + | <div align="left">[[/Hier kannst du weitere Beispiele einer zentrischen Streckung sehen|<math>\Rightarrow</math> Weiter zum Exkurs: Weitere Beispiele einer zentrischen Streckung]]</div> |
| − | ==4. Station: Zusammenfassung==
| + | |
| − | :Hier siehst du alles, was du bisher herausgefunden hast zusammengefasst.
| + | |
| − | :Schreibe dir diese Zusammenfassung in dein Heft.
| + | |
| − | <div style="border: 2px solid #FF0000; background-color:#ffffff; padding:7px;"> | + | |
| − | '''Abbildungsvorschrift der zentrischen Streckung'''<br>
| + | |
| − | Wenn eine Vergrößerung von einem Zentrum ausgeht, dann spricht man von einer '''zentrischen Streckung'''. <br>
| + | |
| − | Sie wird festgelegt durch Angabe eines '''Streckungszentrums Z''' und eines '''Streckungsfaktors k'''. (Kurz: )<br>
| + | |
| − | Der '''Urpunkt P''', der '''Bildpunkt P'''' und das Streckungszentrum Z liegen auf einer Geraden. <br>
| + | |
| − | Es gilt: <span style="text-decoration: overline;">ZP'</span> = |k| ∙ <span style="text-decoration: overline;">ZP</span> <br>
| + | |
| − | Bei |k|>1 liegt eine Vergrößerung, bei 0<|k|<1 eine Verkleinerung vor. <br>
| + | |
| − | Wenn k=1 ist liegt die Identität vor, bei k= -1 eine Spiegelung. <br>
| + | |
| − | Für k>0 gilt: Urpunkt und Bildpunkt liegen auf der gleichen Seite von Z. <br>
| + | |
| − | Für k<0 gilt: Urpunkt und Bildpunkt liegen auf verschiedenen Seiten von Z. <br>
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | ==5. Station: Übungen==
| + | |
| − | ===1. Aufgabe===
| + | |
| − | <div class="schuettel-quiz">
| + | |
| − | :Das Bild zeigt eine '''zentrische''' '''Streckung'''.
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | <div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| + | |
| − | {| <br>
| + | |
| − | |[[Bild:Porzelt_Taschenlampe_Quiz.jpg|center]]
| + | |
| − | |<div class="kreuzwort-quiz">
| + | |
| − | {|
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | Streckungsfaktor || Was kann man mit Hilfe des Schiebereglers (A) einstellen?
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | Streckungszentrum || Was stellt die Taschenlampe (B) dar?
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | Halbgerade || Was ist der Lichtstrahl (C)?
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | Urbild || Als was kann man den Strohhalm (D) noch bezeichnen?
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | Bild || Als was kann man den Schatten (E) noch bezeichnen?
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | </div> | + | |
| − | |}
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | ===2. Aufgabe===
| + | |
| − | :Berechne den Streckungsfaktor k in deinem Heft. Ordne danach die richtige Lösung zu:
| + | |
| − | <div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| + | |
| − | {|
| + | |
| − | |[[Bild:Porzelt_Übungsaufgabe2.jpg]]||
| + | |
| − | <div class="lueckentext-quiz">
| + | |
| − | | + | |
| − | a) k= '''3''' <br>
| + | |
| − | b) k= '''-0,5'''<br>
| + | |
| − | c) k= '''0,4''' <br>
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | ===3. Aufgabe===
| + | |
| − | :Trage für jede Teilaufgabe in einem Koordinatensystem die Ur- und Bildpunkte ein, verbinde sie wenn möglich
| + | |
| − | :und führe die zentrische Streckung mit gegebenem Zentrum und Streckungsfaktor durch.
| + | |
| − | <div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| + | |
| − | :a) Z(1|1), k= 2, P(2|1)
| + | |
| − | :b) Z(1|1), k= -2.5, P(3|1), Q(2|2)
| + | |
| − | :c) Z(1|1), k= 2.5, P(2|3), Q(4|1), R(4|3)
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | :Hier kannst du deine Lösung mit der von Dia vergleichen:
| + | |
| − | :{{Lösung versteckt|
| + | |
| − | '''a)'''[[Bild:Porzelt_Aufgabe3a.jpg]]
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | '''b)'''[[Bild:Porzelt_Aufgabe3b.jpg]]
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | '''c)'''[[Bild:Porzelt_Aufgabe3c.jpg]]
| + | |
| − | |}}
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | ==6. Station: Wissenswertes==
| + | |
| − | :Auf dem Bild siehst du einen Pantographen. Dieses Zeichengerät wurde früher, als es noch keine Computer
| + | |
| − | :gab, benutzt, um zentrische Streckungen durchzuführen. Heutzutage wird er auch von technischen Zeichnern
| + | |
| − | :und Architekten verwendet.
| + | |
| − | [[Bild:Porzelt_Pantograph.jpg|center]]
| + | |
| − | :[[/Hier lernst du die Funktionsweise eines Pantographen kennen/]]
| + | |
Weiter zum Exkurs: Weitere Beispiele einer zentrischen Streckung
