Satz des Pythagoras: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Lernpfad|[[Bild:Florianheimerl_Dimi_2sdp.png]]In diesem Kapitel lernst du den Satz des Pythagoras kennen}}
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Der Satz des Pythagoras funktioniert bei allen Dreiecken mit einem rechten Winkel.<br>Du bist ja nun schon ein richtiger Dreieck-Experte.<br>
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Wie war das noch gleich mit dem rechtwinkligen Dreieck?<br>
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<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">Aufgabe 1</div><br>
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    <td><div align="left"><div class="lueckentext-quiz">
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In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die längste Seite immer '''Hypotenuse''' und die anderen beiden Seiten '''Katheten'''.<br>Die Hypotenuse liegt immer '''gegenüber''' des 90°-Winkels. Die beiden Katheten schließen immer den '''90°-Winkel''' ein.
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In dieser Zeichnung habe ich dir ein rechtwinkliges Dreieck mitgebracht.<br>
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Ich habe über jeder Kathete und über der Hypotenuse jeweils ein Quadrat gemalt.<br>
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Die Seiten des Quadrats sind immer genauso lang, wie die jeweilige Kathete oder Hypotenuse.<br>
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Wenn du auf „Abspielen“ drückst, kannst du dir anschauen, wie ich es gezeichnet habe.<br>
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<ggb_applet height="650" width="800" showMenuBar="true" showResetIcon="true" filename="Florianheimerl_Pyth_quad.ggb" />
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Die Fläche dieser  Quadrate (A) kann man sogar ausrechnen.<br>
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Weißt du noch, wie das geht? Schauen wir uns doch dazu ein Quadrat einmal genauer an:
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{{versteckt|{{Merke|Die Fläche des Quadrats (A) berechnet man mit der Formel Länge mal Breite.}}}}
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{Wie rechnet man die Fläche eines Quadrats aus?}
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- A = a+a+a+a
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- A = a:b:c
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So, jetzt bist du aber endlich soweit, dass du die Einzelheiten des Satz des Pythagoras erfahren darfst.<br>
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Pythagoras von Samos hat eine tolle Entdeckung gemacht.<br>
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Schaue dir dazu noch einmal das Video an, in dem ich dir gezeigt habe, wie man die Quadrate über den Seiten zeichnet.<br>Versuche danach die folgende Aufgabe zu lösen:<br>
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{Es ist egal wo sich der Punkt C befindet.<br>Wenn ich die Flächen über den beiden Katheten addiere, dann sind sie zusammen immer...}
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- größer als die Fläche über der Hypotenuse.
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- kleiner als die Fläche über der Hypotenuse.
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+ genauso groß wie die Fläche über der Hypotenuse.
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Genau! Wenn ich ein rechtwinkliges Dreieck habe und über den Seiten jeweils das Quadrat gemalt habe, dann sind die beiden Kathetenquadrate zusammen immer so groß wie das Hypotenusenquadrat.<br>
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Aber Vorsicht: Das gilt nur bei einem rechtwinkligen Dreieck.<br>
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Damit du das noch etwas besser verstehen kannst, möchte ich mit dir zusammen eine kleine Übungsaufgabe machen.<br>Schau sie dir mit mir zusammen einmal an.
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==  Übungsaufgabe ==
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Klicke immer auf Anzeigen, wenn du sehen möchtest, wie jeder einzelne Schritt funktioniert.<br>
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1. Du hast ein rechtwinkliges Dreieck gegeben mit Hypotenuse c=5 cm,  Kathete a=4 cm und Kathete b=3 cm. {{versteckt|[[Bild:Florianheimerl_Uebung1.png]]}}
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2. Zeichne nun über jeder Seite ein Quadrat. {{versteckt|[[Bild:Florianheimerl_Uebung_2.png]]}}
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3. Berechne für jedes Quadrat den Flächeninhalt. Zur Erinnerung: A = a² {{versteckt|[[Bild:Florianheimerl_Uebung_3.png]][[Bild:Florianheimerl_Uebung_3t.png]]}}
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4. Addiere die Flächen der Quadrate über a und über b (=Kathetenquadrate). {{versteckt|[[Bild:Florianheimerl_Uebung_4.png]]}}
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5. Vergleiche dieses Ergebnis mit der Fläche des Quadrates über c (= A₃ = Hypotenusenquadrat). {{versteckt|[[Bild:Florianheimerl_Uebung_5.png]]}}
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6. Ergebnis: {{versteckt|Die Flächen der Kathetenquadrate sind zusammen genauso groß wie das Hypotenusenquadrat.}}
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{Wenn die Flächen der Kathetenquadrate (A₁ und A₂)  zusammen so groß sind wie das Hypotenusenquadrat ( A₃), dann kann man sagen}
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+ A₁ + A₂ = A₃
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- A₃ + A₁ = A₂
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- A₁ – A₂ = A₃
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Nun bist du schon ganz nahe dran. Ersetze nur noch die Flächen A₁, A₂ und A₃ durch ihre Formeln:
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A₃ = '''c²''' <br>
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A₁ + A₂ = A₃    → '''a²''' + '''b²''' = '''c²'''
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Super! Du hast das Geheimnis gelüftet.<br>
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==  Der Satz des Pythagoras ==
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'''a² + b² = c²'''
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Aber was kannst du damit anfangen?<br>Ich zeige es dir!<br>
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Du hast sicher Lust mit mir eine Pythagoras-Aufgabe zu rechnen.<br>Schau dir das mal an!<br>
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==  Rechenbeispiel ==
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{{Aufgabe-Mathe|[[Bild:Florianheimerl_2uebung_angabe.png]]<br>[[Bild:Florianheimerl_2uebung.png]]}}
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1. Formel aufstellen. {{versteckt|[[Bild:Florianheimerl_2uebung_lsg1.png]]}}
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2. Gegebene Längenangaben in die Formel einsetzen. {{versteckt|[[Bild:Florianheimerl_2uebung_lsg2.png]]}}
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3. Gleichung berechnen. {{versteckt|[[Bild:Florianheimerl_2uebung_lsg3.png]]}}
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4. Lösung ermitteln. {{versteckt|Antwort: Die Länge der Seite c beträgt 3,35 cm.}}
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War doch gar nicht so schwer, oder?<br>
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Jetzt kannst du dir bestimmt denken, was gegeben sein muss, wenn man den Satz des Satz des Pythagoras anwenden möchte?<br>
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{Welchen Satz kannst du aus der Pythagoras-Aufgabe ableiten?}
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+ Sind in einem rechtwinkligen Dreieck die Längen von 2 Seiten bekannt, kann man die Länge der dritten Seite berechnen.
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- Ist in einem rechtwinkligen Dreieck die Länge von 1 Seite bekannt, kann man die Länge der anderen beiden Seiten berechnen.
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- In einem rechtwinkligen Dreieck müssen alle Seitenlängen bekannt sein, wenn man mit ihnen etwas ausrechnen möchte.
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</quiz>
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Daraus können wir wieder einen Merksatz machen: {{versteckt|{{Merke|Sind in einem rechtwinkligen Dreieck die Längen von 2 Seiten bekannt, kann man die Länge der dritten Seite berechnen.}}}}<br>
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{Was aber machst du, wenn folgende Seiten bei einem Dreieck gegeben sind:<br>Gegeben: Seite a = 4 cm und Seite c = 5 cm<br>
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Gesucht: Seite b?<br>}
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- Ich kann die Aufgabe nicht rechnen.
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+ Ich muss die Formel umstellen.
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- Ich vertausche einfach die Buchstaben in der Formel.
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</quiz>
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Ich zeige dir, wie das geht.<br>
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Gegeben: Seite a = 4 cm und Seite c = 5 cm<br>
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Gesucht: Seite b?<br>
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[[Bild:Florianheimerl_Rechtwinklig.png]]
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Lösung:<br>
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'''a² + b² = c²'''
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Ich möchte, dass „b²“ alleine auf einer Seite steht. Dazu bringe ich „a²“ auf die rechte Seite mit „–a²“. Ich rechne also auf beiden Seiten „-a²“!<br>
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'''a² + b² -a² = c² - a²'''
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Auf der linken Seite fällt nun alles weg außer das „b²“, da „a²-a²“ ja „null“ ergibt. Alles andere kann ich nicht weiter ausrechnen und lasse es stehen. <br>
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'''b² = c² - a²'''<br>(b² = 9 cm² --> b = 3 cm)
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Und schon hast du die Formel so umgestellt, dass du die Seite b berechnen kannst, wenn du die Seiten a und c gegeben hast.<br>
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Genauso funktioniert das auch mit der Seite a.<br>
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Du erhälst dann die Formel: a² = c² - b²<br>
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Versuche doch mal, die Formeln richtig zu stellen!<br>
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<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">Aufgabe 8</div><br>
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a² = '''c²''' '''-''' '''b²'''<br>
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b² = '''c²''' '''-''' '''a²''' <br>
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c² = '''a²''' '''+''' '''b²'''
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{{versteckt|{{Merke|Fassen wir die Formeln, die du gerade durch das Umstellen herausgefunden hast, noch einmal zusammen.<br>[[Bild:Florianheimerl_Pyth_for.png]]}}}}<br>
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Schau dir die Formeln noch einmal genau an. Sie sind sehr wichtig und werden dir bei der Berechnung im Dreieck noch sehr nützlich sein.<br>
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Mehr kann ich dir zu meinem Geheimnis leider nicht mehr erzählen.<br>
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Aber ich denke, du wirst mir bei der Lösung der folgenden Aufgaben noch helfen können, oder?<br><br>
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<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">Aufgabe 9</div><br>
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Gegeben ist ein Dreieck mit den Seitenlängen c = 5cm und a = 4 cm. Berechnen sie die Seitenlänge b.<br>
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[[Bild:Florianheimerl_Rechtwinklig.png]]<br>
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<quiz display="simple">
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{Welche Pythagorasformel muss ich hier anwenden?}
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- a² = c² - b²
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+ b² = c² - a²
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- c² = a² + b²
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</quiz>
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<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">Aufgabe 10</div><br>
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<quiz display="simple">
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{Welcher Rechenweg erscheint dir richtig?}
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- b² = c² - a²<br>b² = (5cm)² - (4cm)²<br>b² = 25 cm² - 16 cm²<br>b² = 9 cm²<br>Antwort: Die Seite b ist 9 cm lang.
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+ b² = c² - a²<br>b² = (5cm)² - (4cm)²<br>b² = 25 cm² - 16 cm²<br>b² = 9 cm²  →  b = √ 9 cm² = 3 cm<br>Antwort: Die Seite b ist 3 cm lang.
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- b² = c² - a²<br>b² = (5cm)² - (4cm)²<br>b² = 5 cm² - 4 cm²<br>b² = 1 cm²<br>Antwort: Die Seite b ist 1 cm lang.   
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</quiz>
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Super! Ich glaube, du bist jetzt wirklich ein Pythagoras-Experte. 
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[[Bild:Florianheimerl_Dimi_3aufg.png]][[Lernpfade/Satz des Pythagoras/Aufgaben|Weiter zu Kapitel 3: Aufgaben]]
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[[Bild:Florianheimerl_Dimi.png]][[Lernpfade/Satz des Pythagoras|zurück zur Übersicht]]

Aktuelle Version vom 20. September 2010, 21:18 Uhr

Mathematik-digital Pfeil-3d.png
Lernpfad

Florianheimerl Dimi 2sdp.pngIn diesem Kapitel lernst du den Satz des Pythagoras kennen


Der Satz des Pythagoras funktioniert bei allen Dreiecken mit einem rechten Winkel.
Du bist ja nun schon ein richtiger Dreieck-Experte.
Wie war das noch gleich mit dem rechtwinkligen Dreieck?

Aufgabe 1

Florianheimerl Dimi frage.png

In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die längste Seite immer Hypotenuse und die anderen beiden Seiten Katheten.
Die Hypotenuse liegt immer gegenüber des 90°-Winkels. Die beiden Katheten schließen immer den 90°-Winkel ein.


In dieser Zeichnung habe ich dir ein rechtwinkliges Dreieck mitgebracht.
Ich habe über jeder Kathete und über der Hypotenuse jeweils ein Quadrat gemalt.
Die Seiten des Quadrats sind immer genauso lang, wie die jeweilige Kathete oder Hypotenuse.
Wenn du auf „Abspielen“ drückst, kannst du dir anschauen, wie ich es gezeichnet habe.




Das war leicht, oder?
Die Fläche dieser Quadrate (A) kann man sogar ausrechnen.
Weißt du noch, wie das geht? Schauen wir uns doch dazu ein Quadrat einmal genauer an:
Florianheimerl Viereck a.png

Nuvola apps kig.png   Merke

Die Fläche des Quadrats (A) berechnet man mit der Formel Länge mal Breite.

Aufgabe 2

1. Wie rechnet man die Fläche eines Quadrats aus?

A = a+a+a+a
A = aˑa = a²
A = a:b:c

Punkte: 0 / 0


So, jetzt bist du aber endlich soweit, dass du die Einzelheiten des Satz des Pythagoras erfahren darfst.
Pythagoras von Samos hat eine tolle Entdeckung gemacht.
Schaue dir dazu noch einmal das Video an, in dem ich dir gezeigt habe, wie man die Quadrate über den Seiten zeichnet.
Versuche danach die folgende Aufgabe zu lösen:

Aufgabe 3

1. Es ist egal wo sich der Punkt C befindet.
Wenn ich die Flächen über den beiden Katheten addiere, dann sind sie zusammen immer...

größer als die Fläche über der Hypotenuse.
kleiner als die Fläche über der Hypotenuse.
genauso groß wie die Fläche über der Hypotenuse.

Punkte: 0 / 0



Genau! Wenn ich ein rechtwinkliges Dreieck habe und über den Seiten jeweils das Quadrat gemalt habe, dann sind die beiden Kathetenquadrate zusammen immer so groß wie das Hypotenusenquadrat.
Aber Vorsicht: Das gilt nur bei einem rechtwinkligen Dreieck.
Damit du das noch etwas besser verstehen kannst, möchte ich mit dir zusammen eine kleine Übungsaufgabe machen.
Schau sie dir mit mir zusammen einmal an.


Übungsaufgabe

Klicke immer auf Anzeigen, wenn du sehen möchtest, wie jeder einzelne Schritt funktioniert.

1. Du hast ein rechtwinkliges Dreieck gegeben mit Hypotenuse c=5 cm, Kathete a=4 cm und Kathete b=3 cm.

Florianheimerl Uebung1.png

2. Zeichne nun über jeder Seite ein Quadrat.

Florianheimerl Uebung 2.png

3. Berechne für jedes Quadrat den Flächeninhalt. Zur Erinnerung: A = a²

Florianheimerl Uebung 3.pngFlorianheimerl Uebung 3t.png

4. Addiere die Flächen der Quadrate über a und über b (=Kathetenquadrate).

Florianheimerl Uebung 4.png

5. Vergleiche dieses Ergebnis mit der Fläche des Quadrates über c (= A₃ = Hypotenusenquadrat).

Florianheimerl Uebung 5.png

6. Ergebnis:

Die Flächen der Kathetenquadrate sind zusammen genauso groß wie das Hypotenusenquadrat.



Aufgabe 4

Florianheimerl Dimi frage.png

1. Wenn die Flächen der Kathetenquadrate (A₁ und A₂) zusammen so groß sind wie das Hypotenusenquadrat ( A₃), dann kann man sagen

A₁ + A₂ = A₃
A₃ + A₁ = A₂
A₁ – A₂ = A₃

Punkte: 0 / 0

Nun bist du schon ganz nahe dran. Ersetze nur noch die Flächen A₁, A₂ und A₃ durch ihre Formeln:

Aufgabe 5

A₁ = a²
A₂ = b²
A₃ = c²
A₁ + A₂ = A₃ → a² + b² = c²


Super! Du hast das Geheimnis gelüftet.

Der Satz des Pythagoras



Florianheimerl Dimi achtung.png 
a² + b² = c²


Aber was kannst du damit anfangen?
Ich zeige es dir!
Du hast sicher Lust mit mir eine Pythagoras-Aufgabe zu rechnen.
Schau dir das mal an!

Rechenbeispiel

  Aufgabe   Stift.gif

Florianheimerl 2uebung angabe.png
Florianheimerl 2uebung.png

1. Formel aufstellen.

Florianheimerl 2uebung lsg1.png

2. Gegebene Längenangaben in die Formel einsetzen.

Florianheimerl 2uebung lsg2.png

3. Gleichung berechnen.

Florianheimerl 2uebung lsg3.png

4. Lösung ermitteln.

Antwort: Die Länge der Seite c beträgt 3,35 cm.



War doch gar nicht so schwer, oder?
Jetzt kannst du dir bestimmt denken, was gegeben sein muss, wenn man den Satz des Satz des Pythagoras anwenden möchte?

Aufgabe 6

1. Welchen Satz kannst du aus der Pythagoras-Aufgabe ableiten?

Sind in einem rechtwinkligen Dreieck die Längen von 2 Seiten bekannt, kann man die Länge der dritten Seite berechnen.
Ist in einem rechtwinkligen Dreieck die Länge von 1 Seite bekannt, kann man die Länge der anderen beiden Seiten berechnen.
In einem rechtwinkligen Dreieck müssen alle Seitenlängen bekannt sein, wenn man mit ihnen etwas ausrechnen möchte.

Punkte: 0 / 0


Daraus können wir wieder einen Merksatz machen:

Nuvola apps kig.png   Merke

Sind in einem rechtwinkligen Dreieck die Längen von 2 Seiten bekannt, kann man die Länge der dritten Seite berechnen.


Aufgabe 7

1. Was aber machst du, wenn folgende Seiten bei einem Dreieck gegeben sind:
Gegeben: Seite a = 4 cm und Seite c = 5 cm
Gesucht: Seite b?

Ich kann die Aufgabe nicht rechnen.
Ich muss die Formel umstellen.
Ich vertausche einfach die Buchstaben in der Formel.

Punkte: 0 / 0


Ich zeige dir, wie das geht.

Gegeben: Seite a = 4 cm und Seite c = 5 cm
Gesucht: Seite b?

Florianheimerl Rechtwinklig.png
Lösung:

a² + b² = c²


Ich möchte, dass „b²“ alleine auf einer Seite steht. Dazu bringe ich „a²“ auf die rechte Seite mit „–a²“. Ich rechne also auf beiden Seiten „-a²“!

a² + b² -a² = c² - a²


Auf der linken Seite fällt nun alles weg außer das „b²“, da „a²-a²“ ja „null“ ergibt. Alles andere kann ich nicht weiter ausrechnen und lasse es stehen.

b² = c² - a²
(b² = 9 cm² --> b = 3 cm)


Und schon hast du die Formel so umgestellt, dass du die Seite b berechnen kannst, wenn du die Seiten a und c gegeben hast.
Genauso funktioniert das auch mit der Seite a.
Du erhälst dann die Formel: a² = c² - b²


Versuche doch mal, die Formeln richtig zu stellen!

Aufgabe 8

a² = c² - b²
b² = c² - a²
c² = a² + b²

Nuvola apps kig.png   Merke

Fassen wir die Formeln, die du gerade durch das Umstellen herausgefunden hast, noch einmal zusammen.
Florianheimerl Pyth for.png



Schau dir die Formeln noch einmal genau an. Sie sind sehr wichtig und werden dir bei der Berechnung im Dreieck noch sehr nützlich sein.
Mehr kann ich dir zu meinem Geheimnis leider nicht mehr erzählen.
Aber ich denke, du wirst mir bei der Lösung der folgenden Aufgaben noch helfen können, oder?

Aufgabe 9

Gegeben ist ein Dreieck mit den Seitenlängen c = 5cm und a = 4 cm. Berechnen sie die Seitenlänge b.
Florianheimerl Rechtwinklig.png

1. Welche Pythagorasformel muss ich hier anwenden?

a² = c² - b²
b² = c² - a²
c² = a² + b²

Punkte: 0 / 0


Aufgabe 10

1. Welcher Rechenweg erscheint dir richtig?

b² = c² - a²
b² = (5cm)² - (4cm)²
b² = 25 cm² - 16 cm²
b² = 9 cm²
Antwort: Die Seite b ist 9 cm lang.
b² = c² - a²
b² = (5cm)² - (4cm)²
b² = 25 cm² - 16 cm²
b² = 9 cm² → b = √ 9 cm² = 3 cm
Antwort: Die Seite b ist 3 cm lang.
b² = c² - a²
b² = (5cm)² - (4cm)²
b² = 5 cm² - 4 cm²
b² = 1 cm²
Antwort: Die Seite b ist 1 cm lang.

Punkte: 0 / 0



Super! Ich glaube, du bist jetzt wirklich ein Pythagoras-Experte.


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