Aktuelle Version vom 25. Januar 2011, 01:18 Uhr

Modellierungskreislauf

Beispielaufgabe: Außenputz

Das abgebildete Haus soll verputzt werden. Vom Dach bis zum Beginn der Dachschräge wird das Haus allerdings mit Holz verkleidet. Wie groß ist die zu verputzende Fläche?

Aufgabe verstehen

Zunächst mache ich mir eine Vorstellung darüber, wie die zu verputzende Wand später aussehen soll und fertige dazu eine Skizze an

Nun überlege ich welche Teile der Wand verputzt werden sollen bzw. nicht verputzt werden sollen. Nicht verputzt werden:

mit Holz verkleidete Fläche
Fenster
Balkonboden
Balkontüren
Fläche hinter Steinen

Ich habe nun also eine genaue Vorstellung von der Aufgabe.

Aber wie berechne ich nun die gesuchte Fläche?

Modell erstellen

Um die Flächen berechnen zu können überlege ich welche mathematische Formen, deren Flächeninhalt ich berechnen kann, die Wand am besten beschreiben. Für die Wandfläche, Fenster, Balkonboden und Balkontüren sind Rechtecke am naheliegensten. Für die Fläche hinter den Steinen eignet sich ein Dreieck. Somit ergibt sich folgende Skizze:

Zu Berechnen ist also:
gesamte Wandfläche - (kleines Kellerfenster + großes Kellerfenster + 2·Erdgeschossfenster + Balkon + 2·Balkontür + Fläche hinter Steinen)

Eine Rechtecksfläche berechne ich durch die Formel: Länge · Breite
Die Dreiecksfläche durch: 0,5 · Grundfläche · Höhe
Da es sich hier um ein rechtwinkliges Dreieck handelt kann ich für die Grundfläche und Höhe die Abmessungen der entsprechenden Außenseite des Hauses verwenden.

Aber wie soll ich die Fläche ohne Längenangaben berechnen?

Ich betrachte nochmals das Bild in der Angabe! Ich weiß, dass eine normale Raumhöhe etwa 2,60m entspricht. Also nehme ich diesen Wert von 2,60m für die Raumhöhe des Hauses an und messe diese im Bild. Dies ist gut möglich, da man zwischen den einzelnen Mauersteinen die Decke gut erkennen kann. Ich messe hier 2,6cm. Der Rest des Hauses wird auch noch vermessen.

Nun habe ich alle benötigten Maße aus dem Bild gemessen.

Mathematik benutzen

Die im Bild gemessenen Maße kann ich nun in die entsprechenden realen Längen umrechnen

2,6cm $\widehat{=}$ 2,6m
1cm $\widehat{=}$ 1m

Wandfläche bis Dachschräge:
Länge: 9,5cm $\widehat{=}$ 9,50m
Breite: 4,8cm $\widehat{=}$ 4,80m

großes Kellerfenster:
Länge: 1,1cm $\widehat{=}$ 1,10m
Breite: 1,2cm $\widehat{=}$ 1,20m

kleines Kellerfenster:
Länge: 0,9cm $\widehat{=}$ 0,90m
Breite: 0,7cm $\widehat{=}$ 0,70m

Erdgeschossfenster:
Länge: 1,7cm $\widehat{=}$ 1,70m
Breite: 1,4cm $\widehat{=}$ 1,40m

Balkonboden:
Länge: 5,3cm $\widehat{=}$ 5,30m
Breite: 0,3cm $\widehat{=}$ 0,30m

Balkontür:
Länge: 1,2cm $\widehat{=}$ 1,20m
Breite: 0,5cm $\widehat{=}$ 0,50m

Fläche hinter Steinen:
Länge: 3,0cm $\widehat{=}$ 3,00m
Höhe: 1,5cm $\widehat{=}$ 1,50m

Nun kann ich die Maße in meine Skizze eintragen:

Da ich nun alle nötigen Maße habe, kann ich mit der Flächenberechnung beginnen:
Flächenberechnung:
gesamte Wandfläche - (kleines Kellerfenster + großes Kellerfenster + 2·Erdgeschossfenster + Balkon + 2·Balkontür + Fläche hinter Steinen)

Zu Berechnen ist somit folgender Term: 9,50m · 4,80m - (0,90m · 0,70m + 1,10m · 1,20m + 2 · 1,70m · 1,40m + 5,30m · 0,30m + 2 · 1,20m · 0,50m + 0,5 · 3,00m · 1,50m)
= 45,60m² - (0,63m² + 1,32m² + 4,76m² + 1,59m² + 1,20m² + 2,25m²)
= 45,60m² - 11.75m²
= 33,85m²

Ergebnis erklären

Beim oben abgebildetet Haus muss eine Fläche von etwa 34 m² verputzt werden.
Die Maßeinheit Quadratmeter gibt einen Flächeninhalt an, was auch zu berechnen war. Die Größenordnung der Fläche von etwa 34 m² ist realistisch.
Man hat jetzt einen Anhaltspunkt, wenn man zum Beispiel Putz kaufen will. Hier muss man sich natürlich bewusst sein, dass man für einige Quadratmeter mehr Putz kaufen muss als für 34 m², denn während der Modellierung habe ich Annahmen getroffen und die Situation vereinfacht. Man muss also aufrunden und auch an kleine Ungenauigkeiten denken, denn am Ende darf man auf keinen Fall zu wenig Putz haben.

Während der Berechnung muss immer das Ziel im Hinterkopf behalten werden!

Natürlich sind verschiedene Modelle möglich und somit können auch die einzelnen Ergebnisse variieren.

Allgemeines zum Wiki

Zur Aufgabe: Hochwasser

Zur Aufgabe: Radfahren um den Bodensee

Didaktischer Kommentar

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-== Beispielaufgabe: Außenputz ==
+__NOTOC__
+= Modellierungskreislauf =
+[[Bild:Modellierungskreislauf1.jpg|center|600px]]
+= Beispielaufgabe: Außenputz =
+<div style="border: 2px solid grey;"><div style="background:#FFFACD">Das abgebildete Haus soll verputzt werden. Vom Dach bis zum Beginn der Dachschräge wird das Haus allerdings mit Holz verkleidet. Wie groß ist die zu verputzende Fläche? <br>
+[[Bild:Haus.jpg|300px]]</div></div>
-== Modellierungskreislauf ==
 === Aufgabe verstehen ===
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 Zunächst mache ich mir eine Vorstellung darüber, wie die zu verputzende Wand später aussehen soll und fertige dazu eine Skizze an
-[[Bild:Haus_Realmodell.jpg]]
+[[Bild:Skizze_Haus_Real.jpg]]
+Nun überlege ich welche Teile der Wand verputzt werden sollen bzw. nicht verputzt werden sollen. Nicht verputzt werden:
+* mit Holz verkleidete Fläche
+* Fenster
+* Balkonboden
+* Balkontüren
+* Fläche hinter Steinen
-Nun überlege ich welche Teile der Wand verputzt werden sollen bzw. nicht verputzt werden sollen. Ich muss also von der kompletten Wandfläche folgende Flächen abziehen:
-* kleines Fenster
-* großes Fenster
-* verklinkerte Fläche um die Haustüre
 Ich habe nun also eine genaue Vorstellung von der Aufgabe.
@@ Zeile 20: / Zeile 30: @@
 === Modell erstellen ===
-Um die Flächen berechnen zu können überlege ich welche mathematische Formen, deren Flächeninhalt ich berechene kann, die Wand am besten beschreiben. Für die einzelnen Wandflächen und Fenster sind Rechtecke am naheliegensten. SOmit ergibt sich folgende Skizze:
+Um die Flächen berechnen zu können überlege ich welche mathematische Formen, deren Flächeninhalt ich berechnen kann, die Wand am besten beschreiben. Für die Wandfläche, Fenster, Balkonboden und Balkontüren sind Rechtecke am naheliegensten. Für die Fläche hinter den Steinen eignet sich ein Dreieck. Somit ergibt sich folgende Skizze:
-[[Bild:Mathematisches_Modell_Skizze.jpg]]
+[[Bild:Hauswand_Skizze_mathematisch.jpg]]
+Zu Berechnen ist also:<br>
+<span style="color: red">gesamte</span> <span style="color: red">Wandfläche</span> - (<span style="color: blue">kleines</span> <span style="color: blue">Kellerfenster</span> + <span style="color: green">großes</span> <span style="color: green">Kellerfenster</span> + <span style="color: purple">2·</span><span style="color:purple">Erdgeschossfenster</span> + <span style="color: orange">Balkon</span> + <span style="color: grey">2·Balkontür</span> + <span style="color:#00F5FF">Fläche</span> <span style="color:#00F5FF">hinter</span> <span style="color:#00F5FF">Steinen</span>)
+Eine Rechtecksfläche berechne ich durch die Formel: Länge · Breite <br>
+Die Dreiecksfläche durch: 0,5 · Grundfläche · Höhe <br>
+Da es sich hier um ein rechtwinkliges Dreieck handelt kann ich für die Grundfläche und Höhe die Abmessungen der entsprechenden Außenseite des Hauses verwenden.
 Aber wie soll ich die Fläche ohne Längenangaben berechnen?
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 Ich betrachte nochmals das Bild in der Angabe!
 Ich weiß, dass eine normale Raumhöhe etwa 2,60m entspricht.
-Also nehme ich diesen Wert von 2,60m für die Raumhöhe des Hauses an und messe diese im Bild. Dies ist gut möglich, da man zwischen den einzelnen Mauersteinen die Decke gut erkennen kann. Ich messe hier 2,7cm. Der Rest des Hauses wird auch noch vermessen.
+Also nehme ich diesen Wert von 2,60m für die Raumhöhe des Hauses an und messe diese im Bild. Dies ist gut möglich, da man zwischen den einzelnen Mauersteinen die Decke gut erkennen kann. Ich messe hier 2,6cm. Der Rest des Hauses wird auch noch vermessen.
+[[Bild:Hauswand_Vermessung.jpg|300px]]
-Für die Breite der Wand reicht mir die Höhe des Raumes allerdings noch nicht. Also messe ich die Dicke der Decke nach. Hier ergibt sich der Wert 0,25cm. Nun fehlt aber immernoch ein Stück, das ich aber nicht messen kann, da ein Teil der Wand vom Dachvorsprung verdeckt wird. Dieses Stück entspricht im Zimmer des 1. Stocks dem senkrechten Teil der Wand, der bis zu Beginn der Dachschräge reicht. Zur Veranschaulichung hier eine kleine Skizze:
+Nun habe ich alle benötigten Maße aus dem Bild gemessen.
-[[Bild:Wand_geschätzt.jpg]]
-Da ich schon oft in einem solchen Zimmer war, kann ich diese Höhe gut schätzen. Ich nehme hierfür 1m an.
 === Mathematik benutzen ===
-Mit Hilfe des Dreisatzes kann ich nun die im Bild gemessenen Maße in die entsprechenden realen Längen umrechnen
+Die im Bild gemessenen Maße kann ich nun in die entsprechenden realen Längen umrechnen
-,7cm: 2,6m  <br>  1cm: 0,96m
+,6cm <math>\widehat{=}</math> 2,6m  <br> 1cm <math>\widehat{=}</math> 1m
-<u>Haus:<br></u>
+<u>Wandfläche bis Dachschräge:<br></u>
-Länge: 7,3cm: '''7m''' <br>
+Länge:  9,5cm <math>\widehat{=}</math> '''9,50m''' <br> Breite: 4,8cm <math>\widehat{=}</math> '''4,80m'''
-Breite: 0,25cm: 0,24m → 2,6m+0,24m+1m='''3,84m'''
+<u>großes Kellerfenster:<br></u>
+Länge: 1,1cm <math>\widehat{=}</math> '''1,10m'''<br> Breite: 1,2cm <math>\widehat{=}</math> '''1,20m'''
-Breite linker Wandabschnitt: 1,3cm: '''1,25m'''
+<u>kleines Kellerfenster:<br></u>
+Länge:   0,9cm <math>\widehat{=}</math> '''0,90m'''<br> Breite: 0,7cm <math>\widehat{=}</math> '''0,70m'''
-Breite rechter Wandabschnitt: 3cm: '''2,88m'''
+<u>Erdgeschossfenster:<br></u>
+Länge: 1,7cm <math>\widehat{=}</math> '''1,70m'''<br> Breite:   1,4cm <math>\widehat{=}</math> '''1,40m'''
-<u>großes Fenster:<br></u>
+<u>Balkonboden:<br></u>
-Breite: 1,1cm: '''1,06m'''<br> Länge: 1,5cm: '''1,44m'''
+Länge: 5,3cm <math>\widehat{=}</math> '''5,30m'''<br> Breite: 0,3cm <math>\widehat{=}</math> '''0,30m'''
-<u>kleines Fenster:<br></u>
+<u>Balkontür:<br></u>
-Breite: 0,7cm: '''0,67m'''<br> Länge: 1,5cm: '''1,44m'''
+Länge: 1,2cm <math>\widehat{=}</math> '''1,20m''' <br> Breite: 0,5cm <math>\widehat{=}</math> '''0,50m'''
+<u>Fläche hinter Steinen:<br></u>
+Länge: 3,0cm <math>\widehat{=}</math> '''3,00m''' <br> Höhe: 1,5cm <math>\widehat{=}</math> '''1,50m'''
 Nun kann ich die Maße in meine Skizze eintragen:
-[[Bild:Mathematisches_Modell_Abmessungen.jpg]]
+[[Bild:Wand_Skizze_Abmessungen.jpg]]
 Da ich nun alle nötigen Maße habe, kann ich mit der Flächenberechnung beginnen:<br>
-Flächenberechnung: (<span style="color:red">linke</span> <span style="color:red">Wandfläche</span> + <span style="color:blue">rechte</span> <span style="color:blue">Wandfläche</span>) - (<span style="color:green">kleines</span> <span style="color:green">Fenster</span> + <span style="color:orange">großes</span> <span style="color:orange">Fenster</span>)
+Flächenberechnung: <br> <span style="color:red">gesamte</span> <span style="color:red">Wandfläche</span> - (<span style="color:blue">kleines</span> <span style="color:blue">Kellerfenster</span> + <span style="color:green">großes</span> <span style="color:green">Kellerfenster</span> + <span style="color:purple">2·Erdgeschossfenster</span> + <span style="color:orange">Balkon</span> + <span style="color:grey">2·Balkontür</span> + <span style="color:#00F5FF">Fläche</span> <span style="color:#00F5FF">hinter</span> <span style="color:#00F5FF">Steinen</span>)
 Zu Berechnen ist somit folgender Term:
-(<span style="color:red">1,25m</span> <span style="color:red">·</span> <span style="color:red">3,84m</span> + <span style="color:blue">2,88m</span> <span style="color:blue">·</span> <span style="color:blue">3,84m</span>) - (<span style="color:green">0,67m</span> <span style="color:green">·</span> <span style="color:green">1,44m</span> + <span style="color:orange">1,06m</span> <span style="color:orange">·</span> <span style="color:orange">1,44m</span>)<br> = (4,80m² + 11,06m²) - (0,96m² + 1,53m²)<br> = 15,86m² - 2,49m² <br> = 13,37m²
+<span style="color:red">9,50m</span> <span style="color:red">·</span> <span style="color:red">4,80m</span> - (<span style="color:blue">0,90m</span> <span style="color:blue">·</span> <span style="color:blue">0,70m</span> + <span style="color:green">1,10m</span> <span style="color:green">·</span> <span style="color:green">1,20m</span> + <span style="color:purple">2</span> <span style="color:purple">·</span> <span style="color:purple">1,70m</span> <span style="color:purple">·</span> <span style="color:purple">1,40m</span> + <span style="color:orange">5,30m</span> <span style="color:orange">·</span> <span style="color:orange">0,30m</span> + <span style="color:grey">2</span> <span style="color:grey">·</span> <span style="color:grey">1,20m</span> <span style="color:grey">·</span> <span style="color:grey">0,50m</span> + <span style="color:#00F5FF">0,5</span> <span style="color:#00F5FF">·</span> <span style="color:#00F5FF">3,00m</span> <span style="color:#00F5FF">·</span> <span style="color:#00F5FF">1,50m</span>)
+<br> = 45,60m² - (0,63m² + 1,32m² + 4,76m² + 1,59m² + 1,20m² + 2,25m²)<br> = 45,60m² - 11.75m² <br> = 33,85m²
 === Ergebnis erklären ===
+Beim oben abgebildetet Haus muss eine Fläche von etwa 34 m² verputzt werden. <br>
+Die Maßeinheit Quadratmeter gibt einen Flächeninhalt an, was auch zu berechnen war. Die Größenordnung der Fläche von etwa 34 m² ist realistisch. <br>
+Man hat jetzt einen Anhaltspunkt, wenn man zum Beispiel Putz kaufen will. Hier muss man sich natürlich bewusst sein, dass man für einige Quadratmeter mehr Putz kaufen muss als für 34 m², denn während der Modellierung habe ich Annahmen getroffen und die Situation vereinfacht. Man muss also aufrunden und auch an kleine Ungenauigkeiten denken, denn am Ende darf man auf keinen Fall zu wenig Putz haben.
+<div style="color:#00FF00"> Während der Berechnung muss immer das Ziel im Hinterkopf behalten werden!</div>
+<div style="color:#00FF00">Natürlich sind verschiedene Modelle möglich und somit können auch die einzelnen Ergebnisse variieren. </div>
+<br>
+[[/Allgemeines zum Wiki| Allgemeines zum Wiki]]
+[[/Hochwasser| Zur Aufgabe: Hochwasser]]
+[[/Radfahren um den Bodensee| Zur Aufgabe: Radfahren um den Bodensee]]
+[[media:Didaktischer_Kommentar_mathem_mod_hochwasser_radfahren.pdf|Didaktischer Kommentar]]
+<br>
-[[Mathematisches Modellieren: Hochwasser]]
+[[Kategorie:Modellierung]]

Mathematisches Modellieren: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 25. Januar 2011, 01:18 Uhr

Modellierungskreislauf

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