Algebra: Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen
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− | '''Wie bei einer Waage müssen beide Seiten der Gleichung immer im Gleichgewicht sein. Dies erreichst du durch | + | <div style="border: 4px solid #551A8B ; background-color:#CD96CD ; padding:7px;"> |
+ | '''Wie bei einer Waage müssen beide Seiten der Gleichung immer im Gleichgewicht sein. Dies erreichst du durch <span style="color:#551A8B ">Äquivalenzumformungen</span>, mit denen du beide Seiten der Gleichung einheitlich umstellst, ohne dass sich der Wert der Gleichung ändert.''' | ||
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− | + | <span style="background:#CD96CD ">'''Deine neue Lieblings-Merkregel zum Umformen von Termen und Gleichungen:'''</span><br> | |
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<span style="background:#CD96CD ">'''Wende diese Regel nun auf die folgenden Aufgaben an. Beachte immer die Grundmenge, die rechts steht.'''</span> | <span style="background:#CD96CD ">'''Wende diese Regel nun auf die folgenden Aufgaben an. Beachte immer die Grundmenge, die rechts steht.'''</span> | ||
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''Erst ganz am Ende kannst du dann dein Ergebnis durch Klick auf "Lösung anzeigen" überprüfen.'' | ''Erst ganz am Ende kannst du dann dein Ergebnis durch Klick auf "Lösung anzeigen" überprüfen.'' | ||
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+ | <div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div> | ||
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+ | :<math> \ 9x - 12 = 60 \;\;\;\;\;\;\;\;| + 12 </math> | ||
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+ | :<math>\Leftrightarrow 9x = 72 \;\;\;\;\;\;\;\;| : 9 </math> | ||
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+ | :<math>\Leftrightarrow x = 8 </math> | ||
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− | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">3x = 9</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 3</u> | + | :3x + 10 = 19 | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">- 10 </u> |
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+ | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">3x = 9</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 3</u> | ||
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 3</u> | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 3</u> | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
− | ::<math> \ 3x + 10 = 19 | - 10 </math> | + | ::<math> \ 3x + 10 = 19 \;\;\;\;\;\;\;\;| - 10 </math> |
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::<math>\Leftrightarrow x = 3 </math> | ::<math>\Leftrightarrow x = 3 </math> | ||
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}} | }} | ||
− | * 9x - 18 = 27 | + | * 9x - 18 = 27 |
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 5</u> | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 5</u> | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
− | ::<math> \ 9x - 18 = 27 | + 18 </math> | + | ::<math> \ 9x - 18 = 27 \;\;\;\;\;\;\;\;| + 18 </math> |
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::<math>\Leftrightarrow x = 5 </math> | ::<math>\Leftrightarrow x = 5 </math> | ||
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<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div> | <div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div> | ||
− | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> 12 - 1 = 2x + 1</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">- 1</u> | + | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> 12 - 1 = 2x + 1</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">- 1</u> |
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 5</u> | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 5</u> | ||
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::<math> \ 12 - 12 : 12 = 2x + 2 : 2 </math> | ::<math> \ 12 - 12 : 12 = 2x + 2 : 2 </math> | ||
− | :: <math>\Leftrightarrow 12 - 1 = 2x + 1 | - 1 </math> | + | :: <math>\Leftrightarrow 12 - 1 = 2x + 1 \;\;\;\;\;\;\;\;| - 1 </math> |
− | ::<math>\Leftrightarrow 10 = 2x | : 2 </math> | + | ::<math>\Leftrightarrow 10 = 2x \;\;\;\;\;\;\;\;| : 2 </math> |
::<math>\Leftrightarrow x = 5 </math> | ::<math>\Leftrightarrow x = 5 </math> | ||
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− | * < | + | * 2<sup>3</sup> + 3<sup>2</sup> = 5x + 17 |
<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{N}</math></div> | <div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{N}</math></div> | ||
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> 8 + 9 = 5x + 17 </u> | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> 8 + 9 = 5x + 17 </u> | ||
− | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">17 = 5x + 17</u> |<u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> - 17 </u> | + | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">17 = 5x + 17</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> - 17 </u> |
− | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">0 = 5x</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 5 </u> | + | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">0 = 5x</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 5 </u> |
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 0 ... wirklich? </u> | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 0 ... wirklich? </u> | ||
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:: <math>\Leftrightarrow 8 + 9 = 5x + 17 </math> | :: <math>\Leftrightarrow 8 + 9 = 5x + 17 </math> | ||
− | ::<math>\Leftrightarrow 17 = 5x + 17 | - 17 </math> | + | ::<math>\Leftrightarrow 17 = 5x + 17 \;\;\;\;\;\;\;\;| - 17 </math> |
− | ::<math>\Leftrightarrow 0 = 5x | : 5 </math> | + | ::<math>\Leftrightarrow 0 = 5x \;\;\;\;\;\;\;\;| : 5 </math> |
:: <math> Da \mathcal{f}0\mathcal{g} \notin \mathbb{N}\Rightarrow\mathbb{L}=\varnothing</math> | :: <math> Da \mathcal{f}0\mathcal{g} \notin \mathbb{N}\Rightarrow\mathbb{L}=\varnothing</math> | ||
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<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div> | <div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div> | ||
− | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> 9x + 5 = -13</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">- 5</u> | + | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> 9x + 5 = -13</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">- 5</u> |
− | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">9x = -18</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 9</u> | + | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">9x = -18</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 9</u> |
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = -2</u> | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = -2</u> | ||
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::<math> \ 3x + 8 + 6x - 3 = -13 </math> | ::<math> \ 3x + 8 + 6x - 3 = -13 </math> | ||
− | :: <math>\Leftrightarrow 9x + 5 = -13 | - 5 </math> | + | :: <math>\Leftrightarrow 9x + 5 = -13 \;\;\;\;\;\;\;\;| - 5 </math> |
− | ::<math>\Leftrightarrow 9x = -18| : 9 </math> | + | ::<math>\Leftrightarrow 9x = -18\;\;\;\;\;\;\;\;| : 9 </math> |
::<math>\Leftrightarrow x = -2 </math> | ::<math>\Leftrightarrow x = -2 </math> | ||
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}} | }} | ||
− | * <math> | + | * -3 <math>\cdot</math>(3 - 2x) + 2x = -21 |
<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div> | <div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div> | ||
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> -9 + 6x + 2x = -21</u> | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> -9 + 6x + 2x = -21</u> | ||
− | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> -9 + 8x = -21</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> + 9</u> | + | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> -9 + 8x = -21</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> + 9</u> |
− | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">8x = -12</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 8</u> | + | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">8x = -12</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 8</u> |
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = -1,5</u> | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = -1,5</u> | ||
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:: <math>\Leftrightarrow -9 + 6x + 2x = -21</math> | :: <math>\Leftrightarrow -9 + 6x + 2x = -21</math> | ||
− | ::<math>\Leftrightarrow -9 + 8x = -21| + 9 </math> | + | ::<math>\Leftrightarrow -9 + 8x = -21 \;\;\;\;\;\;\;\;| + 9 </math> |
− | ::<math>\Leftrightarrow 8x = -12| : 8 </math> | + | ::<math>\Leftrightarrow 8x = -12 \;\;\;\;\;\;\;\;| : 8 </math> |
::<math>\Leftrightarrow x = -1,5 </math> | ::<math>\Leftrightarrow x = -1,5 </math> | ||
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::<math>\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}-1,5\mathcal{g}</math> | ::<math>\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}-1,5\mathcal{g}</math> | ||
}} | }} | ||
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+ | <div align="left">[[Aufgabentypen/Geometrie: Geometrische Ortlinien und Ortsbereiche |<math>\Rightarrow</math> Weiter zu 7. Klasse Geometrie]]</div> | ||
+ | <br> | ||
+ | <div align="left">[[Aufgabentypen/Geometrie: Achsenspiegelung|<math>\Leftarrow</math> Zurück zu 6. Klasse Geometrie]]</div> |
Aktuelle Version vom 17. Juli 2009, 14:17 Uhr
Gleichungen
Wie bei einer Waage müssen beide Seiten der Gleichung immer im Gleichgewicht sein. Dies erreichst du durch Äquivalenzumformungen, mit denen du beide Seiten der Gleichung einheitlich umstellst, ohne dass sich der Wert der Gleichung ändert. |
Deine neue Lieblings-Merkregel zum Umformen von Termen und Gleichungen:
Rechne immer Klammer vor Punkt vor Strich!
Wende diese Regel nun auf die folgenden Aufgaben an. Beachte immer die Grundmenge, die rechts steht.
Wenn du dir sicher bist, welche Äquivalenzumformung als nächstes kommt, darfst du durch Markieren des grauen Feldes den jeweils nächsten Schritt sichtbar machen!
Erst ganz am Ende kannst du dann dein Ergebnis durch Klick auf "Lösung anzeigen" überprüfen.
- Beispiel :
![\mathbb{G}=\mathbb{Q}](/images/math/1/4/3/143582b29f8a71ff351694c17feef609.png)
- 3x + 10 = 19
![\mathbb{G}=\mathbb{N}](/images/math/3/4/e/34e58df89e398607957579d87f67b100.png)
- 3x + 10 = 19 | - 10
3x = 9 | : 3
x = 3
- 9x - 18 = 27
![\mathbb{G}=\mathbb{Q}](/images/math/1/4/3/143582b29f8a71ff351694c17feef609.png)
- 9x - 18 = 27 | + 18
9x = 45 | : 9
x = 5
- 12 - 12 : 12 = 2x + 2 : 2
![\mathbb{G}=\mathbb{Q}](/images/math/1/4/3/143582b29f8a71ff351694c17feef609.png)
12 - 1 = 2x + 1 | - 1
10 = 2x | : 2
x = 5
- 23 + 32 = 5x + 17
![\mathbb{G}=\mathbb{N}](/images/math/3/4/e/34e58df89e398607957579d87f67b100.png)
8 + 9 = 5x + 17
17 = 5x + 17 | - 17
0 = 5x | : 5
x = 0 ... wirklich?
- 3x + 8 + 6x - 3 = -13
![\mathbb{G}=\mathbb{Q}](/images/math/1/4/3/143582b29f8a71ff351694c17feef609.png)
9x + 5 = -13 | - 5
9x = -18 | : 9
x = -2
- -3
(3 - 2x) + 2x = -21
![\mathbb{G}=\mathbb{Q}](/images/math/1/4/3/143582b29f8a71ff351694c17feef609.png)
-9 + 6x + 2x = -21
-9 + 8x = -21 | + 9
8x = -12 | : 8
x = -1,5