Variation am Dreieck: Unterschied zwischen den Versionen

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'''''Du siehst hier ein Dreieck, bei dem die Seiten gegeben sind:'''''<br>
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<span style="color: blue"><math>a = 3 cm</math></span>, <span style="color: purple"><math>b = 4 cm</math></span> <br> und <math>c =5 cm </math>
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|<ggb_applet height="400" width="700" showResetIcon="true" filename="Ebert_rechtwinkligesDreieck.ggb" />||
 
|<ggb_applet height="400" width="700" showResetIcon="true" filename="Ebert_rechtwinkligesDreieck.ggb" />||
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*'''''Maja will den Flächeninhalt des Dreiecks ABC berechnen.'''''
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'''''Gegeben sind die  Seiten:'''''<br>
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*'''''Welches spezielle Dreieck ist das Dreieck ABC?''''' <br>
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'''<span style="color: blue">a =3cm</span>, <span style="color: purple">b= 4cm</span> und c = 5cm '''
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'''''Schaffst Du es auch ohne den zweiten Hinweis?'''''<br>
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{{ versteckt| Dreieck ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck }}
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*'''''Ist nicht schon eine Höhe gegeben, die Maja verwenden kann?'''''
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*<span style="color: green">'''''Zeig Maja´s Überlegung an'''''</span>
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*'''''Zeig den Hinweis von Nils im Applet an'''''<br> <br>
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{{ versteckt| Die Seiten a und b des Dreiecks ABC können jeweils als Grundseite und als dazugehörige Höhe verwendet werden, da das Dreieck ABC rechtwinklig ist und a senkrecht zu b ist.}}
 
  
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*'''''Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks'''''  
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*'''''Ist nicht schon eine Höhe gegeben? Zeig den <span style="color: red">Hinweis von Nils</span> an'''''  
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*'''''Welches spezielle Dreieck ist das Dreieck ABC?''''' <br>
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'''''Brauchst Du den  Hinweis?'''''<br>
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{{ versteckt| Dreieck ABC ist rechtwinklig }}
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* '''''Maja hat eine Lösung gefunden''''' [[Bild:Ebert_MotivatorGrün.jpg|50px|right]]
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{{ versteckt| '''Die <u>Seiten a und b</u> des Dreiecks ABC sind <u>gleichzeitig auch Grundseite und  Höhe</u>, da das Dreieck ABC rechtwinklig ist und somit a senkrecht zu b ist.'''}}
  
 
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Es gilt zum Beispiel:
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*Es gilt zum Beispiel:<br>
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Länge Grundseite b: '''4 (cm)'''<br>
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Seite b ist Grundseite, damit ist die Länge der Grundseite b '''4 (cm)'''<br>
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Länge der zugehörigen Höhe a : 3 cm <br>
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*Die Seite a wird damit zur Höhe und da: a = 3 cm <br>
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Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt '''6(cm²)'''
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ist der Flächeninhalt des Dreiecks '''6(cm²)'''
 
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|[[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg|100px]]|| '''Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet sich durch''' :  
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|[[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg|100px]]|| '''Der Flächeninhalt eines <u>rechtwinkligen Dreiecks</u> berechnet sich durch''' :  
 
:::::::::F<sub>rechtwinklig</sub> = '''<math>{1 \over 2}</math>''' <math>\cdot</math>  <span style="color: purple">'''b'''</span> <math>\cdot</math> <span style="color: blue">'''a'''</span>
 
:::::::::F<sub>rechtwinklig</sub> = '''<math>{1 \over 2}</math>''' <math>\cdot</math>  <span style="color: purple">'''b'''</span> <math>\cdot</math> <span style="color: blue">'''a'''</span>
  
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'''wobei <span style="color: blue">'''a'''</span> und <span style="color: green">'''b'''</span> senkrecht zu einander stehen.'''  
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'''wobei die Seiten <span style="color: blue">a</span> und <span style="color: purple">b</span> senkrecht zueinander stehen.'''  
 
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====Wie lautet die Flächeninhaltsformel für ein====
 
====Wie lautet die Flächeninhaltsformel für ein====
  
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:'''..gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck ABC ?'''
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:'''..gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck EFD ?'''
 
:'''Der rechte Winkel befindet sich am Eckpunkt D.'''''  
 
:'''Der rechte Winkel befindet sich am Eckpunkt D.'''''  
 
[[Bild:Ebert_gleichschenklig.jpg|center]]
 
[[Bild:Ebert_gleichschenklig.jpg|center]]
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'''''Ergänze die fehlenden Felder und ermittle daraus die Flächeninhaltsformel für das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck:'''''
 
'''''Ergänze die fehlenden Felder und ermittle daraus die Flächeninhaltsformel für das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck:'''''
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:::F<sub>rechtwinklig</sub> = '''<math>{1 \over 2}</math>''' <math>\cdot</math>  '''e''' <math>\cdot</math> f
 
:::F<sub>rechtwinklig</sub> = '''<math>{1 \over 2}</math>''' <math>\cdot</math>  '''e''' <math>\cdot</math> f
 
2. Im gleichschenkligen Dreieck gilt für die Seiten f und e:<br>
 
2. Im gleichschenkligen Dreieck gilt für die Seiten f und e:<br>
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::::f = e
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::::f '''=''' e
  
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<math>\Rightarrow</math> Für den Flächeninhalt F eines rechtwinkligen und gleichschenkligen Dreiecks gilt:<br>
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<math>\Rightarrow</math> Für den Flächeninhalt F eines rechtwinkligen und gleichschenkligen Dreiecks gilt also zum Beispiel:<br>
 
F = <math>{1 \over 2}</math> <math>\cdot</math>  '''e''' <math>\cdot</math> e = <math>{1 \over 2}</math> <math>\cdot</math>'''e²'''
 
F = <math>{1 \over 2}</math> <math>\cdot</math>  '''e''' <math>\cdot</math> e = <math>{1 \over 2}</math> <math>\cdot</math>'''e²'''
 
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|<ggb_applet height="400" width="700" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckScherung.ggb" />||
 
|<ggb_applet height="400" width="700" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckScherung.ggb" />||
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*'''''Ziehe den <span style="color: red">roten Eckpunkt C</span> zu auf die Punkte <span style="color: orange">D</span>, <span style="color: pink">E</span> und <span style="color: green">F</span>.'''''
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*'''''Ziehe den <span style="color: red">roten Eckpunkt C</span> auf die Punkte <span style="color: orange">D</span>, <span style="color: pink">E</span> und <span style="color: green">F</span>.'''''
  
 
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{'''Auf welchem Punkt muss C liegen, damit Du ein stumpfwinkliges Dreieck erzeugst?'''}
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-C liegt auf D
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+C liegt auf E
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+C liegt auf F
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{'''Ändert sich der <span style="color: blue">Flächeninhalt</span> ?'''}
 
{'''Ändert sich der <span style="color: blue">Flächeninhalt</span> ?'''}
 
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-ja
 
+nein
 
+nein
 
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'''Begründe Deine Antwort!'''
 
'''Begründe Deine Antwort!'''
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*'''Man kann also in einem Dreieck den der Grundseite gegenüberliegenden Punkt <span style="color: green">auf einer Parallelen zur Grundseite wandern</span> lassen, <span style="color: green">ohne dass sich</span> dabei der <span style="color: green">Flächeninhalt</span> des Dreiecks <span style="color: green">ändert</span>. '''
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*'''Man kann also in einem Dreieck, den Eckpunkt <span style="color: green">auf einer Parallelen zur Grundseite wandern</span> lassen, <span style="color: green">ohne dass sich</span> dabei der <span style="color: green">Flächeninhalt</span> des Dreiecks <span style="color: green">ändert</span>. '''
 
*''' <span style="color: green">Grundseite und Höhe bleiben</span>  dabei immer <span style="color: green">gleich</span>, also auch der <span style="color: green">Flächeninhalt</span>.'''
 
*''' <span style="color: green">Grundseite und Höhe bleiben</span>  dabei immer <span style="color: green">gleich</span>, also auch der <span style="color: green">Flächeninhalt</span>.'''
 
*'''Diesen Bewegungsvorgang nennt man <span style="color: green">Scherung</span>. Du hast dieses Prinzip bereits bei den Parallelogrammen kennen gelernt. '''
 
*'''Diesen Bewegungsvorgang nennt man <span style="color: green">Scherung</span>. Du hast dieses Prinzip bereits bei den Parallelogrammen kennen gelernt. '''

Aktuelle Version vom 17. August 2009, 17:36 Uhr


Variation am Dreieck

Gegeben sind die Seiten:
a =3cm, b= 4cm und c = 5cm

  • Zeig Maja´s Überlegung an


  • Ist nicht schon eine Höhe gegeben? Zeig den Hinweis von Nils an

'

  • Welches spezielle Dreieck ist das Dreieck ABC?

Brauchst Du den Hinweis?

Dreieck ABC ist rechtwinklig
  • Maja hat eine Lösung gefunden
    Ebert MotivatorGrün.jpg

Die Seiten a und b des Dreiecks ABC sind gleichzeitig auch Grundseite und Höhe, da das Dreieck ABC rechtwinklig ist und somit a senkrecht zu b ist.
  • Es gilt zum Beispiel:

Seite b ist Grundseite, damit ist die Länge der Grundseite b 4 (cm)

  • Die Seite a wird damit zur Höhe und da: a = 3 cm

ist der Flächeninhalt des Dreiecks 6(cm²)






Nils hat die Formel für die Berechnung dieses speziellen Dreiecks zusammengefasst:

Ebert MotivatorMerke.jpg Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet sich durch :
Frechtwinklig = {1 \over 2} \cdot b \cdot a

wobei die Seiten a und b senkrecht zueinander stehen.







Wie lautet die Flächeninhaltsformel für ein

..gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck EFD ?
Der rechte Winkel befindet sich am Eckpunkt D.
Ebert gleichschenklig.jpg
Ergänze die fehlenden Felder und ermittle daraus die Flächeninhaltsformel für das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck:

1. Flächeninhaltsformel des rechtwinkligen Dreiecks:

Frechtwinklig = {1 \over 2} \cdot e \cdot f

2. Im gleichschenkligen Dreieck gilt für die Seiten f und e:

f = e

\Rightarrow Für den Flächeninhalt F eines rechtwinkligen und gleichschenkligen Dreiecks gilt also zum Beispiel:
F = {1 \over 2} \cdot e \cdot e = {1 \over 2} \cdote²













Flächeninhalt von stumpfwinkligen Dreiecken
  • Ziehe den roten Eckpunkt C auf die Punkte D, E und F.

1. Auf welchem Punkt muss C liegen, damit Du ein stumpfwinkliges Dreieck erzeugst?

C liegt auf D
C liegt auf E
C liegt auf F

2. Ändert sich der Flächeninhalt ?

ja
nein

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Ebert MotivatorHinweis.jpg
  • Man kann also in einem Dreieck, den Eckpunkt auf einer Parallelen zur Grundseite wandern lassen, ohne dass sich dabei der Flächeninhalt des Dreiecks ändert.
  • Grundseite und Höhe bleiben dabei immer gleich, also auch der Flächeninhalt.
  • Diesen Bewegungsvorgang nennt man Scherung. Du hast dieses Prinzip bereits bei den Parallelogrammen kennen gelernt.







Spitze! Du hast die Aufgabe prima bearbeitet

Ebert MotivatorenÜbung.jpg
→Übungsaufgaben zur Flächenberechnung am Dreieck


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