Die Quadratische Funktion stellt sich vor: Unterschied zwischen den Versionen

Aus DMUW-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Satzbau Satzzeichen Rechtschreibung)
 
(33 dazwischenliegende Versionen von 3 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
 
{{Lernpfad-M|<big>'''Die Quadratische Funktion stellt sich vor'''</big>
 
{{Lernpfad-M|<big>'''Die Quadratische Funktion stellt sich vor'''</big>
−
 
+
__NOCACHE__
−
 
+
 
'''In diesem Lernpfad lernst du die quadratische Funktion kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!'''
 
'''In diesem Lernpfad lernst du die quadratische Funktion kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!'''
  
Zeile 19: Zeile 18:
 
Aus der 8. Jahrgangsstufe kennst du bereits die "Lineare Funktion".  
 
Aus der 8. Jahrgangsstufe kennst du bereits die "Lineare Funktion".  
  
−
Wir wollen im Folgenden die Quadratische Funktion im Vergleich zur linearen Funktion einführen.  
+
Wir wollen im Folgenden die quadratische Funktion im Vergleich zur linearen Funktion einführen.  
  
  
Zeile 25: Zeile 24:
  
  
−
Wir erarbeiten und jetzt die Eigenschaften der quadratischen Funktionen, in dem wir die "Lineare Funktion" mit der "Quadratischen Funktion" vergleichen.
+
Schau dir jeweils den Graph der linearen und der quadratischen Funktion genau an und bearbeite danach die Aufgaben rechts daneben:
−
 
+
−
Bearbeite mit Hilfe der zwei Grafiken die danach folgenden Aufgaben:
+
  
  
Zeile 37: Zeile 34:
 
|<br><div align="center">'''Lineare Funktion'''</div><br>[[Bild:Lineare-funktion-lernpfad1.png|350px]]<br><br><br><div align="center">'''Quadratische Funktion'''</div><br>[[Bild:Quadratische-funktion-lernpfad1.png|350px]]||
 
|<br><div align="center">'''Lineare Funktion'''</div><br>[[Bild:Lineare-funktion-lernpfad1.png|350px]]<br><br><br><div align="center">'''Quadratische Funktion'''</div><br>[[Bild:Quadratische-funktion-lernpfad1.png|350px]]||
 
'''1.Aufgabe:'''<br>
 
'''1.Aufgabe:'''<br>
−
Betrachte die beiden Graphen und löse damit das Quiz!
+
Betrachte die beiden Graphen und löse damit das Quiz! <br>
 +
Beim Prüfen der Antworten wird dir "rot" angezeigt was du falsch angekreuzt hast.
 +
Mit der Farbe "grün" bekommst du die richtigen Ergebnisse angezeigt, auch falls du sie nicht angekreuzt hast. Überprüfe im Anschluss deine Ergebnisse und versuche die richtigen Antworten nachzuvollziehen!
  
 
<div class="multiplechoice-quiz">
 
<div class="multiplechoice-quiz">
−
'''Löse das Quiz:'''<br>
+
'''Quiz:'''<br>
 
<br>
 
<br>
−
Betrachte den Anstieg beider Graphen. Welche Aussagen treffen zu? (Die lineare Funktion hat einen konstanten Anstieg) (!Die quadratische Funktion hat einen konstanten Anstieg) (!Die lineare Funktion hat keinen Anstieg) (Der Anstieg der quadratischen Funktion ist nicht konstant)
+
Betrachte den Anstieg beider Graphen. Welche Aussagen treffen zu? (Die lineare Funktion hat eine konstante Steigung) (!Die quadratische Funktion hat eine konstante Steigung) (!Die lineare Funktion hat keine Steigung) (Die Steigung der quadratischen Funktion ist nicht konstant)
  
 
Wie bezeichnet man den Graph der jeweiligen Funktion? (!Die lineare Funktion ist ein Kreis) (!Die quadratische Funktion ist eine Gerade) (Die quadratische Funktion ist eine Parabel) (Die lineare Funktion ist eine Gerade)  
 
Wie bezeichnet man den Graph der jeweiligen Funktion? (!Die lineare Funktion ist ein Kreis) (!Die quadratische Funktion ist eine Gerade) (Die quadratische Funktion ist eine Parabel) (Die lineare Funktion ist eine Gerade)  
Zeile 48: Zeile 47:
 
Untersucht man beide Graphen auf Symmetrie, zu welchem Ergebnis gelangt man? (!Die lineare Funktion ist symmetrisch zur y-Achse) (Die quadratische Funktion ist symmetrisch zur y-Achse) (!Die quadratische Funktion hat keine Symmetrieachse) (Die lineare Funktion hat keine Symmetrieachse)
 
Untersucht man beide Graphen auf Symmetrie, zu welchem Ergebnis gelangt man? (!Die lineare Funktion ist symmetrisch zur y-Achse) (Die quadratische Funktion ist symmetrisch zur y-Achse) (!Die quadratische Funktion hat keine Symmetrieachse) (Die lineare Funktion hat keine Symmetrieachse)
  
−
Betrachte die Form der Graphen, welche Aussage ist zutreffend? (Die quadratische Funktion besitzt eine Öffnung nach oben) (!Die lineare Funktion besitzt eine Öffnung) (Die quadratische Funktion hat einen tiefsten Punkt und zwar im Koordinatenursprung) (Die lineare Funktion hat keinen tiefsten Punkt)
+
Betrachte die Form der Graphen, welche Aussage ist zutreffend? (Die quadratische Funktion ist nach oben geöffnet) (!Die lineare Funktion besitzt eine Öffnung) (Die quadratische Funktion hat einen tiefsten Punkt und zwar im Koordinatenursprung) (Die lineare Funktion hat keinen tiefsten Punkt)
 
</div>
 
</div>
  
 
'''2.Aufgabe:'''<br>
 
'''2.Aufgabe:'''<br>
 
Mit dieser Aufgabe sollen nun die Eigenschaften der quadratischen Funktion festgehalten werden.  
 
Mit dieser Aufgabe sollen nun die Eigenschaften der quadratischen Funktion festgehalten werden.  
−
Ziehe dafür die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die Felder.
+
Ziehe dafür die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die Felder. Anschließend kannst du dein Ergebnis überprüfen. Hast du etwas falsch zugeordnet, kannst du anschließend diese Felder neu besetzen.  
  
 
'''Los geht’s!! - Ordne die richtigen Begriffe zu:''' <br>  
 
'''Los geht’s!! - Ordne die richtigen Begriffe zu:''' <br>  
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
<div class="lueckentext-quiz">
−
Anders als bei den linearen Funktionen ist die Steigung der Parabel  '''nicht konstant'''. <br>
+
Anders als bei den linearen Funktionen ist die Steigung der quadratischen Funktion '''nicht konstant'''. <br>
 +
Den Graph der quadratischen Funktion nennt man '''Parabel'''. <br>
 
Es lässt sich feststellen, dass die Parabel symmetrisch zur '''y-Achse''' und nach oben '''geöffnet''' ist. <br>
 
Es lässt sich feststellen, dass die Parabel symmetrisch zur '''y-Achse''' und nach oben '''geöffnet''' ist. <br>
−
Die quadratische Funktion besitzt zudem einen tiefsten Punkt im '''Koordinatenursprung''' bei Punkt '''S''' <math>(0\!\,|\!\,0)</math>. <br>
+
Die quadratische Funktion besitzt zudem einen tiefsten Punkt im '''Koordinatenursprung''' bei Punkt S (0|0). <br>
 
Dieser Punkt wird als '''Scheitelpunkt S''' oder kurz '''Scheitel''' bezeichnet.   
 
Dieser Punkt wird als '''Scheitelpunkt S''' oder kurz '''Scheitel''' bezeichnet.   
 
</div>
 
</div>
Zeile 67: Zeile 67:
  
 
{{Merke|'''Die quadratische Funktion:'''
 
{{Merke|'''Die quadratische Funktion:'''
−
* Der Graph der quadratischen Funktion ist eine '''Parabel'''
+
* Der Graph ist eine '''Parabel'''
−
* Sie hat eine '''nicht konstante Steigung'''
+
* Der Graph hat eine '''nicht konstante Steigung'''
−
* Ihr Graph ist '''symmetrisch''' zur y-Achse und nach '''oben''' geöffnet
+
* Der Graph ist '''symmetrisch''' zur y-Achse und nach '''oben''' geöffnet
−
* Der tiefste Punkt ist der '''Scheitelpunkt S''' welcher im Koordinatenursprung bei Punkt <math>S(0\!\,|\!\,0)</math> liegt.
+
* Der Graph hat einen '''tiefsten''' Punkt
 +
* Der tiefste Punkt heißt '''Scheitelpunkt S''', oder kurz '''Scheitel'''
 +
* Der Scheitelpunkt liegt im '''Koordinatenursprung''' bei Punkt S<math>(0\!\,|\!\,0)</math>  
 
}}
 
}}
  
Zeile 78: Zeile 80:
 
<br>
 
<br>
 
<br>
 
<br>
−
Bisher haben wir uns nur den Graph und seine Eigenschaften der quadratischen Funktion angeschaut, aber was für eine Funktionsvorschrift verbirgt sich dahinter?
+
Bisher haben wir uns nur den Graph und die Eigenschaften der quadratischen Funktion angeschaut, aber was für eine Funktionsvorschrift verbirgt sich dahinter?
−
Wir wollen es diemal anders machen. Du bekommst jetzt das Ergebnis vorgestellst und musst dir dann mit dessen Hilfe den Sachverhalt der Funktion an einer Aufgabe graphisch erarbeiten.  
+
Diesmal bekommst du zuerst das Ergebnis vorgestellst, welches du dir in der anschließenden Aufgabe näher betrachten sollst.  
  
  
Zeile 86: Zeile 88:
 
                   '''<big>f(x)<math>=</math>x<sup>2</sup></big>'''
 
                   '''<big>f(x)<math>=</math>x<sup>2</sup></big>'''
  
−
Dabei ergibt sich jeder y-Wert aus dem Quadrat des x-Wertes'''. <br>
+
Dabei gilt: jeder y-Wert ergibt sich aus dem Quadrat des x-Wertes'''. <br>
−
Es gilt: f(x) <math>=</math> y
+
Außerdem gilt: f(x) <math>=</math> y
 
}}
 
}}
 
<br>
 
<br>
Zeile 93: Zeile 95:
 
'''Aufgabe:'''
 
'''Aufgabe:'''
  
−
Du siehst hier zwei Koordinatensysteme. In jedes Koordinatensystem sind Punkte eingezeichnet, die du nach oben oder nach unten verschieben kannst. Desweiteren siehst du ein Kontrollkästchen "Graph an", mit dem du den Graph zur Überprüfung einblenden kannst.  
+
Du siehst hier zwei Koordinatensysteme. In jedem Koordinatensystem sind mehrere Punkte eingezeichnet. Diese Punkte kannst du mit gehaltener linker Maustaste nach oben oder unten verschieben. Des Weiteren gibt es jeweils das Kontrollkästchen "Graph anzeigen", mit dem du nach bearbeiten der Aufgabe dein Ergebnis überprüfen kannst.
  
−
Verschiebe nun die Punkte so, dass sie genau auf dem jeweiligen Graph liegen und überprüfe dann dein Ergebnis durch klicken auf das Kontrollkästchen.  
+
Verschiebe die Punkte so, dass sie genau auf dem Graph der jeweiligen Funktion liegen würden und überprüfe dann dein Ergebnis durch Anklicken des Kontrollkästchens. Liegen deine Punkte alle auf dem Graph, so hast du die Aufgabe korrekt gelöst.
  
−
Beginne zunächst als Wiederholung mit der linearen Funktion f(x) = x und löse dann die das zweie Koordinatensystem der quadratischen Funktion f(x) = x².
+
Beginne zunächst mit der linearen Funktion "f(x) = x" und überlege dir dann, wo die Punkte der quadratischen Funktion "f(x) = x²" liegen.  
 
<br>
 
<br>
 
<br>
 
<br>
Zeile 115: Zeile 117:
 
<big>'''KNIFFELAUFGABE:'''</big>
 
<big>'''KNIFFELAUFGABE:'''</big>
  
−
Du kennst zwar schon die Eigenschaften der Normalparabel, aber eine Eigenschaft soll genauer herausgehoben werden. Dazu musst du eine kleine Kniffelaufgabe lösen. Keine Angst, sie ist nicht allzu schwer.  
+
In dieser Aufgabe soll eine voher gezeigte Eigenschaft genauer betrachtet werden. Löse dafür die kleine Kniffelaufgabe. Keine Angst, sie ist nicht schwer.
  
−
Überprüfe welche der folgenden Aussagen richtig oder falsch sind und finde das richtige Ergebnis für x = 3.  
+
Überprüfe, welche der folgenden Aussagen richtig oder falsch ist und finde das richtige Ergebnis für "x = 3".  
  
−
Betrachtet werden soll natürlich die quadratische Funktion f(x) = x²
+
Betrachtet werden soll natürlich die quadratische Funktion "f(x) = x<sup>2</sup>".
  
  
Zeile 139: Zeile 141:
  
 
<div class="multiplechoice-quiz">
 
<div class="multiplechoice-quiz">
−
Was sagt dir dieses Ergebnis? (!Nichts) (Das Ergebnis zeigt die Symmetrieeigenschaft der quadratischen Funktion) (Jedem x-Wert, egal ob positiv oder negativ, wird der selbe y-Wert zugeordnet)  
+
Was sagt dir dieses Ergebnis? (!Nichts) (Das Ergebnis zeigt die Symmetrieeigenschaft der quadratischen Funktion) (Jedem x-Wert, egal ob positiv oder negativ, wird der gleiche y-Wert zugeordnet)  
 
</div>
 
</div>
 
<br>
 
<br>
Zeile 167: Zeile 169:
 
               '''f(-x)<math>=</math>f(x), da (-x)<sup>2</sup><math>=</math>(x)<sup>2</sup>'''
 
               '''f(-x)<math>=</math>f(x), da (-x)<sup>2</sup><math>=</math>(x)<sup>2</sup>'''
  
−
Hierbei wird jedem x-Wert egal ob positiv oder negativ, der gleiche y-Wert zugeordnet.   
+
Begründung: Jedem x-Wert, egal ob positiv oder negativ, wird der gleiche y-Wert zugeordnet.   
 
}}
 
}}
  
  
−
Hier ist nun die Einführung der quadratischen Funktion abgeschlossen.  
+
Hier ist die Einführung der quadratischen Funktion "f(x) = x<sup>2</sup>" abgeschlossen.  
−
 
+
<br>
−
In den folgenden Lerneinheiten wird dann mit dieser Parabel gearbeitet. Neue Parameter werden die Parabel verändern, aber siehe selbst!!
+
In den folgenden Lerneinheiten wird dann mit dieser Funktion gearbeitet. Neue Parameter werden die Parabel verändern, aber siehe selbst!!

Aktuelle Version vom 7. November 2018, 09:30 Uhr

Mathematik-digital Pfeil-3d.png
Lernpfad

Die Quadratische Funktion stellt sich vor

In diesem Lernpfad lernst du die quadratische Funktion kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!

  • Einführung und Eigenschaften der quadratischen Funktion
  • Die Funktionsvorschrift der quadratischen Funktion
  • Besondere Eigenschaft der quadratischen Funktion


Auf gehts:

Heute lernen wir eine neue Klasse von Funktionen kennen!

Es handelt sich dabei um die "Quadratische Funktion".

Aus der 8. Jahrgangsstufe kennst du bereits die "Lineare Funktion".

Wir wollen im Folgenden die quadratische Funktion im Vergleich zur linearen Funktion einführen.


STATION 1: Einführung und Eigenschaften der quadratischen Funktion


Schau dir jeweils den Graph der linearen und der quadratischen Funktion genau an und bearbeite danach die Aufgaben rechts daneben:


Funktionsgraphen Aufgaben

Lineare Funktion

Lineare-funktion-lernpfad1.png


Quadratische Funktion

Quadratische-funktion-lernpfad1.png

1.Aufgabe:
Betrachte die beiden Graphen und löse damit das Quiz!
Beim Prüfen der Antworten wird dir "rot" angezeigt was du falsch angekreuzt hast. Mit der Farbe "grün" bekommst du die richtigen Ergebnisse angezeigt, auch falls du sie nicht angekreuzt hast. Überprüfe im Anschluss deine Ergebnisse und versuche die richtigen Antworten nachzuvollziehen!

Quiz:

Betrachte den Anstieg beider Graphen. Welche Aussagen treffen zu? (Die lineare Funktion hat eine konstante Steigung) (!Die quadratische Funktion hat eine konstante Steigung) (!Die lineare Funktion hat keine Steigung) (Die Steigung der quadratischen Funktion ist nicht konstant)

Wie bezeichnet man den Graph der jeweiligen Funktion? (!Die lineare Funktion ist ein Kreis) (!Die quadratische Funktion ist eine Gerade) (Die quadratische Funktion ist eine Parabel) (Die lineare Funktion ist eine Gerade)

Untersucht man beide Graphen auf Symmetrie, zu welchem Ergebnis gelangt man? (!Die lineare Funktion ist symmetrisch zur y-Achse) (Die quadratische Funktion ist symmetrisch zur y-Achse) (!Die quadratische Funktion hat keine Symmetrieachse) (Die lineare Funktion hat keine Symmetrieachse)

Betrachte die Form der Graphen, welche Aussage ist zutreffend? (Die quadratische Funktion ist nach oben geöffnet) (!Die lineare Funktion besitzt eine Öffnung) (Die quadratische Funktion hat einen tiefsten Punkt und zwar im Koordinatenursprung) (Die lineare Funktion hat keinen tiefsten Punkt)

2.Aufgabe:
Mit dieser Aufgabe sollen nun die Eigenschaften der quadratischen Funktion festgehalten werden. Ziehe dafür die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die Felder. Anschließend kannst du dein Ergebnis überprüfen. Hast du etwas falsch zugeordnet, kannst du anschließend diese Felder neu besetzen.

Los geht’s!! - Ordne die richtigen Begriffe zu:

Anders als bei den linearen Funktionen ist die Steigung der quadratischen Funktion nicht konstant.
Den Graph der quadratischen Funktion nennt man Parabel.
Es lässt sich feststellen, dass die Parabel symmetrisch zur y-Achse und nach oben geöffnet ist.
Die quadratische Funktion besitzt zudem einen tiefsten Punkt im Koordinatenursprung bei Punkt S (0|0).
Dieser Punkt wird als Scheitelpunkt S oder kurz Scheitel bezeichnet.


Nuvola apps kig.png   Merke

Die quadratische Funktion:

  • Der Graph ist eine Parabel
  • Der Graph hat eine nicht konstante Steigung
  • Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse und nach oben geöffnet
  • Der Graph hat einen tiefsten Punkt
  • Der tiefste Punkt heißt Scheitelpunkt S, oder kurz Scheitel
  • Der Scheitelpunkt liegt im Koordinatenursprung bei Punkt S(0\!\,|\!\,0)


STATION 2: Die Funktionsvorschrift der quadratischen Funktion



Bisher haben wir uns nur den Graph und die Eigenschaften der quadratischen Funktion angeschaut, aber was für eine Funktionsvorschrift verbirgt sich dahinter? Diesmal bekommst du zuerst das Ergebnis vorgestellst, welches du dir in der anschließenden Aufgabe näher betrachten sollst.


Nuvola apps kig.png   Merke

Die quadratische Funktion besitzt die Funktionsgleichung der Form: 

                 f(x)=x2

Dabei gilt: jeder y-Wert ergibt sich aus dem Quadrat des x-Wertes.
Außerdem gilt: f(x) = y



Aufgabe:

Du siehst hier zwei Koordinatensysteme. In jedem Koordinatensystem sind mehrere Punkte eingezeichnet. Diese Punkte kannst du mit gehaltener linker Maustaste nach oben oder unten verschieben. Des Weiteren gibt es jeweils das Kontrollkästchen "Graph anzeigen", mit dem du nach bearbeiten der Aufgabe dein Ergebnis überprüfen kannst.

Verschiebe die Punkte so, dass sie genau auf dem Graph der jeweiligen Funktion liegen würden und überprüfe dann dein Ergebnis durch Anklicken des Kontrollkästchens. Liegen deine Punkte alle auf dem Graph, so hast du die Aufgabe korrekt gelöst.

Beginne zunächst mit der linearen Funktion "f(x) = x" und überlege dir dann, wo die Punkte der quadratischen Funktion "f(x) = x²" liegen.

Lineare Funktion Quadratische Funktion


STATION 3: Besondere Eigenschaft der quadratischen Funktion


KNIFFELAUFGABE:

In dieser Aufgabe soll eine voher gezeigte Eigenschaft genauer betrachtet werden. Löse dafür die kleine Kniffelaufgabe. Keine Angst, sie ist nicht schwer.

Überprüfe, welche der folgenden Aussagen richtig oder falsch ist und finde das richtige Ergebnis für "x = 3".

Betrachtet werden soll natürlich die quadratische Funktion "f(x) = x2".


Vorgabe Richtig/Falsch Begründung
1. -f[x]= f[x] falsch
weil -9 \not= 9
2. f[-x]= f[x] richtig
weil 9 = 9
3. -f[x]= f[-x] falsch
weil -9 \not= 9
4. -f[-x]= f[x] falsch
weil -9 \not= 9

Was sagt dir dieses Ergebnis? (!Nichts) (Das Ergebnis zeigt die Symmetrieeigenschaft der quadratischen Funktion) (Jedem x-Wert, egal ob positiv oder negativ, wird der gleiche y-Wert zugeordnet)























Nuvola apps kig.png   Merke

Aufgrund der Symmetrieeigenschaft der quadratischen Funktion gilt: 

             f(-x)=f(x), da (-x)2=(x)2

Begründung: Jedem x-Wert, egal ob positiv oder negativ, wird der gleiche y-Wert zugeordnet.


Hier ist die Einführung der quadratischen Funktion "f(x) = x2" abgeschlossen.
In den folgenden Lerneinheiten wird dann mit dieser Funktion gearbeitet. Neue Parameter werden die Parabel verändern, aber siehe selbst!!

Von „http://dmuw.zum.de/index.php?title=Lernpfade/Quadratische_Funktionen/Die_Quadratische_Funktion_stellt_sich_vor&oldid=32059“