Vierstreckensatz: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 5. Juli 2009, 17:54 Uhr

Lernpfad

Vierstreckensatz

1. Station: Erster Vierstreckensatz

Zoll ist eine Längeneinheit die im Alltag häufig zu finden ist, z.B. bei Laptops, Computern und Fernsehern.

Um sich die Größe besser vorstellen zu können, soll die Einheit Zoll in Zentimeter umgerechnet werden.

Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten:

die algebraische Berechnung
oder die geometrische.

Als Bepsiel nehmen wir die Umrechnung von einem 15 Zoll Laptop.

Finde heraus wie du die Aufgabe algebraisch lösen kannst:

Gegeben: Der Laptop hat einen 15 Zoll Bildschirm. 1 Zoll entspricht 2,54 cm.

Gesucht: Umrechnung von 15 Zoll in cm.

Lösung: Berechne in deinem Heft und trage hier deine berechnete Lösung mit Angabe der Einheit (cm) ein!

15 Zoll entsprechen 38,1 cm (Tipp: Berechne mit Hilfe des Dreisatzes).

Im Folgenden wird dir gezeigt, wie du die Aufgabe geometrisch lösen kannst.

Klicke die Schritte nacheinander an:
1. Schritt: Zeichne zwei Halbgeraden mit gemeinsamen Anfangspunkt Z und trage auf diesen Halbgeraden

die Längen 1 cm und 15 cm ab. Benenne die Endpunkte der Strecken mit A und B.

2. Schritt: Verbinde Punkt A mit Punkt B.
3. Schritt: Trage in Z die Strecke [ZA'] mit ZA' = 2,54 cm ab.
4. Schritt: Zeichne eine Parallele durch A' zu [AB].
5. Schritt: Benenne Schnittpunkt mit B'.
6. Schritt: Miss ZB' ab.

Rechnung die dahinter steckt:

Vorrausgesetzt wird dass die Gerade A'B' zu AB parallel ist. Das Dreieck A'ZB' kann somit als das Bild des Dreiecks AZB

mit dem Streckungszentrum Z aufgefasst werden. Der Punkt A wurde also auf den Punkt A' und Punkt B wurde auf Punkt B' abgebildet.

Das Längenverhältnis von Strecken ist wegen der Eigenschaft der Längenverhältnistreue

gleich, so auch ${\overline{ZA}\over\overline{ZA'}}$ = ${\overline{ZB}\over\overline{ZB'}}$ .

Dies bedeutet, dass sich die Abschnitte auf der einen Halbgeraden genauso verhalten, wie die Abschnitte auf der anderen

Halbgeraden. Diesen Satz nennt man den ersten vierstreckensatz

Einsetzen der Werte ergibt: ${\overline{1 Zoll}\over\overline{2,54 cm}}$ = ${\overline{15 Zoll}\over\overline{x cm}}$

x berechnet sich zu 38,1 cm.

2. Station: Erster und zweiter Vierstreckensatz

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-==1. Station: Erster und zweiter Vierstreckensatz==
+==1. Station: Erster Vierstreckensatz==
 [[Bild:Porzelt_Laptop.jpg]]
 :'''Zoll''' ist eine '''Längeneinheit''' die im Alltag häufig zu finden ist, z.B. bei Laptops, Computern und Fernsehern.
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 *Im Folgenden wird dir gezeigt, wie du die Aufgabe '''geometrisch''' lösen kannst.
+<br>
 <div style="border: 2px solid #9c9c9c; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 '''Klicke die Schritte nacheinander an:'''<br>
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 <ggb_applet height="300" width="950" showResetIcon="true" filename="Porzelt_geometrisch.ggb" />
 </div>
-::Wenn AB || A'B' ist, gilt: <math>{\overline{ZA}\over\overline{ZA'}}</math> = <math>{\overline{ZB}\over\overline{ZB'}}</math>.
 <br>
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+:'''Rechnung die dahinter steckt:'''
-::'''Begründung:'''
+:Vorrausgesetzt wird dass die Gerade '''A'B' zu AB parallel''' ist. Das Dreieck A'ZB' kann somit als das Bild des Dreiecks AZB
-::Vorrausgesetzt wird dass die Gerade '''A'B' zu AB parallel''' ist. Das Dreieck A'ZB' kann somit als das Bild des Dreiecks AZB
+:mit dem Streckungszentrum Z aufgefasst werden. Der Punkt A wurde also auf den Punkt A' und Punkt B wurde auf Punkt B' abgebildet.
-::mit dem Streckungszentrum Z aufgefasst werden. Der Punkt A wurde also auf den Punkt A' und Punkt B wurde auf Punkt B' abgebildet.
+:Das Längenverhältnis von Strecken ist wegen der Eigenschaft der '''Längenverhältnistreue'''
-::Das Verhältnis von Strecken ist wegen der Eigenschaft der '''Verhältnistreue'''
+:gleich, so auch <math>{\overline{ZA}\over\overline{ZA'}}</math> = <math>{\overline{ZB}\over\overline{ZB'}}</math>.
-::gleich, so auch <math>{\overline{ZA}\over\overline{AA'}}</math> = <math>{\overline{ZB}\over\overline{BB'}}</math>, oder <math>{\overline{ZA}\over\overline{ZA'}}</math> = <math>{\overline{ZB}\over\overline{ZB'}}</math>.
+:Dies bedeutet, dass sich '''die Abschnitte auf der einen Halbgeraden genauso verhalten, wie die Abschnitte auf der anderen
-::Dies bedeutet, dass sich '''die Abschnitte auf der einen Halbgeraden genauso verhalten, wie die Abschnitte auf der anderen
+:Halbgeraden'''. Diesen Satz nennt man den '''ersten vierstreckensatz'''
-::Halbgeraden (erster Vierstreckensatz)'''.
+:Einsetzen der Werte ergibt: <math>{\overline{1 Zoll}\over\overline{2,54 cm}}</math> = <math>{\overline{15 Zoll}\over\overline{x cm}}</math>
-::Weiterhin gilt aufgrund der Eigenschaft der Verhältnistreue:
+:x berechnet sich zu 38,1 cm.
-::<math>{\overline{ZA}\over\overline{ZA'}}</math> = <math>{\overline{AB}\over\overline{A'B'}}</math>
-::Dass heißt, dass sich '''die Längen der Abschnitte auf den Parallelen wie die vom Schnittpunkt aus gemessenen Längen der ::Abschnitte auf einer Geraden verhalten (zweiter Vierstreckensatz)'''.
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-==2. Station: Zusammenfassung==
+==2. Station: Erster und zweiter Vierstreckensatz==
-:Hier siehst du alles noch einmal zusammengefasst. Trage den Kasten bitte in dein Heft ein!

Vierstreckensatz: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 5. Juli 2009, 17:54 Uhr