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| − | Bild: Dreieck-Männchen
| + | Hallo! |
| − | „Hallo! Vielleicht kennst du mich noch. Mein Name ist __________!“ Antworten: Kreis, Viereck, DREIECK
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| − | Ich möchte dir gerne etwas über mich erzählen. Ich hoffe du kannst dich noch daran erinnern. Ich habe drei Seiten und drei Eckpunkte.
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| − | Blöderweise ist in der Zeichnung noch nichts beschriftet. Du darfst mir gerne dabei helfen?
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| − | Klicke dazu die Punkte und die Seitenbezeichnungen an und ziehe sie an die richtigen Stellen im Dreieck. Wenn du fertig bist drücke auf „prüfen“.
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| − | Geogebra-Datei: Dreieck bei dem man die Beschriftung selber einsetzen kann.
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| − | Hast du es geschafft? Super, jetzt kenne ich mich wieder etwas besser aus.
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| − | Die Ecke, die der Seite a gegenüberliegt heißt A,
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| − | die Ecke, die der Seite b gegenüberliegt heißt B,
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| − | die Ecke, die der Seite c gegenüberliegt heißt C.
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| − | Aber irgendetwas fehlt noch? Hatte ich nicht noch _______(KNELIW)? Antwort: WINKEL
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| − | Winkel! Ein komisches Wort, oder? Aber ihre Bezeichnungen sind noch komischer: α, β und γ. Aus welcher Sprache stammen denn diese Buchstaben?
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| − | Ankreuzen:
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| − | a)Chinesisch b)Afrikanisch c)Griechisch d)Deutsch Antwort: c) Griechisch
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| − | Prima! Wenn du nun die Lücken auch noch richtig ausfüllen kannst, bist du ein richtiger Winkel-Experte!
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| − | Lückentext: Der Winkel an der Ecke A heißt α und wird gebildet von den Seiten b und c.
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| − | Der Winkel an der Ecke B heißt β und wird gebildet von den Seiten a und c.
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| − | Der Winkel an der Ecke C heißt γ und wird gebildet von den Seiten a und b.
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| − | Jeweils A, B, C ...α,β,γ....b und c, a und c, a und b sollen die Schüler einsetzen.
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| − | Ich sehe schon, du hast in der Schule gut aufgepasst. Zur Sicherheit kannst du dir ein komplett beschriftetes Dreieck hier noch einmal ansehen.
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| − | Bild: beschriftetes Dreieck mit Seiten-, Winkel- und Eckpunktbezeichnungen.
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| − | Wie du ja schon weißt kann ich ein Dreieck aus unterschiedlich großen Winkeln und Seiten bilden. Jedes Mal entsteht ein anderes Dreieck. Du kennst sie sicher noch alle?
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| − | Memory: Versuche durch Anklicken herauszufinden, welches Dreieck zu welcher Beschreibung passt.
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| − | Lösung: (Bild+Definition)
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| − | gleichschenkliges Dreieck: zwei Seiten(zwei Schenkel) sind gleich lang
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| − | spitzwinkliges Dreieck: alle drei Winkel <(kleiner als) 90°
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| − | stumpfwinkliges Dreieck: ein Winkel >(größer als) 90°
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| − | gleichseitiges Dreieck: alle drei Seitensind gleich lang alle drei Winkel sind gleich groß (60°)
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| − | rechtwinkliges Dreieck: ein Winkel beträgt genau 90°
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| − | Toll! Du hast es wirklich noch gewusst. Hier kannst du dir die Beschreibungen noch einmal genau ansehen.
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| − | gleichschenkliges Dreieck: zwei Seiten(zwei Schenkel) sind gleich lang
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| − | spitzwinkliges Dreieck: alle drei Winkel <(kleiner als) 90°
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| − | stumpfwinkliges Dreieck: ein Winkel >(größer als) 90°
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| − | gleichseitiges Dreieck: alle drei Seitensind gleich lang alle drei Winkel sind gleich groß (60°)
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| − | rechtwinkliges Dreieck: ein Winkel beträgt genau 90°
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| − | Versuche doch einmal die nächste Aufgabe zu lösen.
| + | In diesem Lernpfad lernst du den Satz des Pythagoras kennen. |
| − | Geogebra-Datei: Dreieck in einem Koordinatensystem, bei dem man einen Punkt verschieben kann.
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| − | Verschiebe den Punkt C so, dass ein rechtwinkliges Dreieck entsteht. Welchen x-Wert hat der Punkt C?
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| − | Da du ja ein echter Dreieck-Experte zu sein scheinst, möchte ich dir gerne einen Freund vorstellen. Er ist auch ein Dreieck-Experte, aber für ein ganz bestimmtes Dreieck.
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| − | Bild: Männchen
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| − | „Hallo! Ich bin Dimitros Pythagoras und komme aus Griechenland. Ich bin genauso wie du ein Dreieck-Experte. Aber mein Lieblingsdreieck ist das rechtwinklige Dreieck.
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| − | Bild: rechtwinkliges Dreieck
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| − | Ich habe da etwas sehr interessantes herausgefunden. Aber bevor ich dir mein Geheimnis verrate, muss ich wissen, ob du überhaupt dafür geeignet bist!“
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| − | Wie du sicher noch weißt, haben die Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck ganz besondere Namen. Kannst du dich noch an ihre Namen erinnern?
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| − | Ankreuzen:
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| − | a)Kanten und Hypophyse b) Karteien und Hypothalamus c) Katheten und Hypotenuse Antwort: c)
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| − | Glänzend! Weißt du auch noch, wo welche Seite im rechtwinkligen Dreieck liegt?
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| − | Geogebra-Datei: rechtwinkliges Dreieck ohne Bezeichnungen. Schüler müssen richtige Bezeichnungen einfügen. Lösung: Kathete, Hypotenuse, Kathete
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| − | Mir fällt hier etwas auf! Siehst du es auch?
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| − | Versuche doch mal den Lückentext auszufüllen.
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| − | Lückentext: In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die längste Seite immer Hypotenuse und die anderen beiden Seiten Katheten. Die Hypotenuse liegt immer gegenüber des 90°-Winkels. Die beiden Katheten schließen immer den 90°-Winkel ein. (fette Wörter sind eigentlich die Lücken)
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| − | Ich glaube du bist so langsam bereit mein Geheimnis zu erfahren. Eine Kleinigkeit musst du aber vorher noch wissen.
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| − | In dieser Zeichnung habe ich dir ein rechtwinkliges Dreieck mitgebracht. Ich habe über jeder Kathete und über der Hypotenuse jeweils ein Quadrat gemalt. Die Seiten des Quadrats sind immer genauso lang wie die jeweilige Kathete oder Hypotenuse. Wenn du auf „Play“ drückst, kannst du dir anschauen, wie ich es gezeichnet habe.
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| − | Geogebra-Datei: rechtwinkliges Dreieck mit Quadraten über Seiten. Animation mit Abspielmodus.
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| − | Das war leicht, oder?
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| − | Die Fläche dieser Quadrate (=A) kann man sogar ausrechnen. Weißt du noch wie das geht?
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| − | Bild: Quadrat mit Seitenbezeichnungen a.
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| − | Die Fläche des Quadrats (=A) berechnet man mit der Formel Länge mal Breite. Erinnerst du dich noch an die mathematische Schreibweise?
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| − | Ankreuzen:
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| − | a) A = a+a+a+a = 4ˑa b) A = aˑa = a² c) A = a:b:c Lösung: b)
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| − | So, jetzt bist du aber endlich soweit, dass du mein Geheimnis erfahren darfst.
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| − | Ich habe eine tolle Entdeckung gemacht. Wenn du dir das nächste rechtwinklige Dreieck ansiehst, kommst du bestimmt selbst darauf.
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| − | Dynageo-Datei „Pyth-4-Puzzle2“: Verschiebe den Punkt C und schaue dir an, was mit den Flächen passiert!
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| − | Ich finde das super! Was hast du denn herausgefunden?
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| − | Halt! Verrate es noch nicht. Versuche es mir doch mit Hilfe der nächsten Aufgabe zu erklären.
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| − | Es ist egal wo sich der Punkt C befindet. Wenn ich die Flächen über den beiden Katheten addiere, dann sind sie zusammen immer...
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| − | Ankreuzen:
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| − | a) Größer als die Fläche über der Hypotenuse.
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| − | b) Genauso groß wie die Fläche über der Hypotenuse.
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| − | c) Kleiner als die Fläche über der Hypotenuse.
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| − | Genau! Wenn ich ein rechtwinkliges Dreieck habe und über den Seiten jeweils das Quadrat gemalt habe, dann sind die beiden Kathetenquadrate zusammen immer so groß wie das Hypotenusenquadrat.
| + | Bevor wir damit beginnen kannst du ein paar Grundlagen wiederholen. |
| − | Aber Vorsicht: Das gilt nur bei einem rechtwinkligen Dreieck.
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| − | Damit du das noch etwas besser verstehen kannst, möchte ich mit dir zusammen eine kleine Übungsaufgabe machen. Schau sie dir mit mir zusammen einmal an.
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| − | Geogebra-Datei: Animation, die die Zeichnung zur Aufgabe zeigt. Zu jedem Schritt kann muss man einmal klicken.
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| − | Aufgabe:
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| − | 1. Du hast ein rechtwinkliges Dreieck gegeben mit Hypotenuse c=5 cm, Kathete a=4 cm und Kathete b=3 cm.
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| − | 2. Zeichne nun über jeder Seite ein Quadrat.
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| − | 3. Berechne für jedes Quadrat den Flächeninhalt. Zur Erinnerung: A = a²
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| − | Quadrat über a: A₁ = a² = aˑa = 4 cm ˑ 4 cm = 16 cm²
| + | Du kannst auch direkt einsteigen. |
| − | Quadrat über b: A₂ = b² = bˑb = 3 cm ˑ 3 cm = 9 cm²
| + | |
| − | Quadrat über c: A₃ = c² = cˑc = 5 cm ˑ 5 cm = 25 cm²
| + | |
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| − | 4. Addiere die Flächen der Quadrate über a und über b (=Kathetenquadrate):
| + | Abschließend kannst du ein wenig üben. |
| − | | + | |
| − | A₁ + A₂ = 16 cm² + 9 cm² = 25 cm²
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| − | | + | |
| − | 5. Vergleiche dieses Ergebnis mit der Fläche des Quadrates über c (= A₃ = Hypotenusenquadrat)
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| − | A₁ + A₂ = 25 cm²
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| − | | + | |
| − | A₃ = 25 cm²
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| − | 6. Die Flächen der Kathetenquadrate sind zusammen genauso groß wie das Hypotenusenquadrat.
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| − | Und? Bist du schon auf mein Geheimnis gekommen? Überprüfe doch deine Gedanken mal mit meinen.
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| − | Wenn die Flächen der Kathetenquadrate (A₁ und A₂) zusammen so groß sind wie das Hypotenusenquadrat ( A₃), dann kann man sagen:
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| − | a) A₁ + A₂ = A₃ b) A₃ + A₁ = A₂ c) A₁ – A₂ = A₃ Lösung: a)
| + | |
| − | Nun bist du schon ganz nahe dran. Ersetze nur noch die Flächen A₁, A₂ und A₃ durch ihre Formeln:
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| − | Zuordnen:
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| − | A₁ = a²
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| − | A₂ = b²
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| − | A₃ = c²
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| − | | + | |
| − | A₁ + A₂ = A₃ → a² + b² = c²
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| − | Super! Du hast mein Geheimnis gelüftet. Diesen mathematischen Satz habe ich herausgefunden. Er heißt deshalb auch
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| − | Der Satz des Pythagoras: a² + b² = c²
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| − | Aber was kannst du damit anfangen? Ich zeige es dir!
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| − | Du hast sicher Lust mit mir eine Pythagoras-Aufgabe zu rechnen. Schau dir das mal an!
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| − | Du hast ein rechtwinkliges Dreieck gegeben, beim dem du die Seiten a = 3 cm und b = 1,5 cm kennst. Berechne nun mit Hilfe des Satz des Pythagoras die Seite c.
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| − | Bild: rechtwinkliges Dreieck mit Seitenlängen a, b und c.
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| − | Gerechnet wird so:
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| − | 1. Formel aufstellen:
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| − | a² + b² = c²
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| − | 2. Gegebene Längenangaben in die Formel einsetzen.
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| − | (3 cm)² + (1,5 cm)² = c²
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| − | 3. Gleichung berechnen.
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| − | (3 cm)² + (1,5 cm)² = c²
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| − | 9 cm² + 2,25 cm² = c²
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| − | 11,25 cm² = c² → c = √ 11,25 cm² = 3.35410196624969 cm ≈ 3,35 cm
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| − | Antwort: Die Länge der Seite c beträgt 3,35 cm.
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| − | War doch gar nicht so schwer, oder?
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| − | Du kannst dir bestimmt denken, was gegeben sein muss, wenn man den Satz des Satz des Pythagoras anwenden möchte?
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| − | Ankreuzen:
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| − | Welchen Satz kannst du aus der Pythagoras-Aufgabe ableiten?
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| − | a) Sind in einem rechtwinkligen Dreieck die Längen von 2 Seiten bekannt, kann man die Länge der dritten Seite berechnen.
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| − | b) Ist in einem rechtwinkligen Dreieck die Länge von 1 Seite bekannt, kann man die Länge der anderen beiden Seiten berechnen.
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| − | c) In einem rechtwinkligen Dreieck müssen alle Seitenlängen bekannt sein, wenn man mit ihnen etwas ausrechnen möchte.
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| − | Antwort: a)
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| − | Prima! Ich sehe schon, du hast mein Geheimnis verstanden.
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| − | Sind in einem rechtwinkligen Dreieck die Längen von 2 Seiten bekannt, kann man die Länge der dritten Seite berechnen.
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| − | Was aber machst du, wenn folgende Seiten bei einem Dreieck gegeben sind:
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| − | Gegeben: Seite a = 4 cm und Seite c = 5 cm
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| − | Gesucht: Seite b?
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| − | a) Ich kann die Aufgabe nicht rechnen.
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| − | b) Ich muss die Formel umstellen.
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| − | c) Ich vertausche einfach die Buchstaben.
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| − | Antwort: b)
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| − | Richtig! Du musst die Formel umstellen. Ich zeige dir, wie das geht.
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| − | Gegeben: Seite a = 4 cm und Seite c = 5 cm
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| − | Gesucht: Seite b?
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| − | Bild: rechtwinkliges Dreieck mit Seitenangaben
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| − | Lösung:
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| − | a² + b² = c²
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| − | Ich möchte, dass „b²“ alleine auf einer Seite steht. Dazu bringe ich „a²“ auf die rechte Seite mit „–a²“. Ich rechne also auf beiden Seiten „-a²“!
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| − | a² + b² -a² = c² - a²
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| − | Auf der linken Seite fällt nun alles weg außer das „b²“, da „a²-a²“ ja „null“ ergibt. Alles andere kann ich nicht weiter ausrechnen und lasse es stehen.
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| − | b² = c² - a²
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| − | Und schon hast du die Formel so umgestellt, dass du die Seite b berechnen kannst, wenn du die Seiten a und c gegeben hast.
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| − | Genauso funktioniert das auch mit der Seite a.
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| − | Du erhälst dann die Formel: a² = c² - b²
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| − | Fassen wir die Formeln, die du gerade durch das Umstellen herausgefunden hast, noch einmal zusammen.
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| − | a² = c² - b²
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| − | b² = c² - a²
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| − | c² = a² + b²
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| − | Versuche doch mal das Puzzle richtig zu legen!
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| − | Puzzle: a² = c² - b² b² = c² - a² c² = a² + b²
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| − | Schau dir die Formeln noch einmal genau an. Sie sind sehr wichtig und werden dir bei der Berechnung im Dreieck noch sehr nützlich sein.
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| − | Mehr kann ich dir zu meinem Geheimnis leider nicht mehr erzählen.
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| − | Aber ich denke, du wirst mir bei der Lösung der folgenden Aufgabe noch helfen können, oder?
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| − | Gegeben ist ein Dreieck mit den Seitenlängen c = 5cm und a = 4 cm. Berechnen sie die Seitenlänge b.
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| − | Bild: rechtwinkliges Dreieck mit Seitenlängen.
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| − | Welche Pythagorasformel muss ich hier anwenden?
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| − | a) a² = c² - b²
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| − | b) b² = c² - a²
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| − | c) c² = a² + b²
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| − | Lösung: b)
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| − | Welcher Rechenweg erscheint dir richtig?
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| − | a) b² = c² - a²
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| − | b² = (5cm)² - (4cm)²
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| − | b² = 25 cm² - 16 cm²
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| − | b² = 9 cm²
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| − | Antwort: Die Seite b ist 9 cm lang.
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| − | b) b² = c² - a²
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| − | b² = (5cm)² - (4cm)²
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| − | b² = 25 cm² - 16 cm²
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| − | b² = 9 cm² → b = √ 9 cm² = 3 cm
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| − | Antwort: Die Seite b ist 3 cm lang.
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| − | c) b² = c² - a²
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| − | b² = (5cm)² - (4cm)²
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| − | b² = 5 cm² - 4 cm²
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| − | b² = 1 cm²
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| − | Antwort: Die Seite b ist 1 cm lang.
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| − | Antwort: b)
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| − | Super! Ich glaube, du bist jetzt wirklich ein Pythagoras-Experte.
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