Flächeninhalt ebener Figuren- Teil 2: Unterschied zwischen den Versionen

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# Ziehe am Eckpunkt C und beobachte, wie sich der Flächeninhalt verändert.
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# Welche Eigenschaft besitzt die Linie, auf der sich C bewegt?
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{{Lösung versteckt| C bewegt sich auf der Parallelen zur Grundseite [AB]. Ihr Abstand entspricht der Höhe im Dreieck!}}
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===Höhen im Dreieck===
 
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# Ziehe am Eckpunkt C und beobachte, wie sich der Flächeninhalt verändert.
 
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# Welche Eigenschaft besitzt die Linie, auf der sich C bewegt?
 
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{{Lösung versteckt| C bewegt sich auf der Parallelen zur Grundseite [AB]. Ihr Abstand entspricht der Höhe im Dreieck!}}
 
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===Die Flächeninhaltsformel des Dreiecks===
 
===Die Flächeninhaltsformel des Dreiecks===
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# Verfolge die in der Darstellung angegebenen Schritte 1-3.
 
# Verfolge die in der Darstellung angegebenen Schritte 1-3.
 
# Beobachte was passiert. Hilft uns dieses Modell weiter, die Formel zu finden?
 
# Beobachte was passiert. Hilft uns dieses Modell weiter, die Formel zu finden?
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# Das Dreieck wird durch ein zweites kongruentes Dreieck zum Parallelogramm ergänzt
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# Warum ist dieses zweite Dreieck '''kongruent''' zum ersten?
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# '''Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms'''
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# Wie groß ist der Flächeninhalt '''eines Dreiecks'''?
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:'''Leite daraus die Flächeninhaltsformel für Dreiecke her!''' <br>
 
:'''Leite daraus die Flächeninhaltsformel für Dreiecke her!''' <br>
 
:Bedenke, welche Flächeninhaltsformel Du vor Kurzem erst Kennen gelernt hast
 
:Bedenke, welche Flächeninhaltsformel Du vor Kurzem erst Kennen gelernt hast
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:'''Aufgabenstellung:''' Ergänze die fehlenden Felder in der Rechnung.
 
:'''Aufgabenstellung:''' Ergänze die fehlenden Felder in der Rechnung.
 
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'''F<sub>Parallelogramm</sub>''' = g <math>\cdot</math>  h  <br>
 
'''F<sub>Parallelogramm</sub>''' = g <math>\cdot</math>  h  <br>
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'''<math>{1 \over 2}</math> <math>\cdot</math>  g <math>\cdot</math>  h '''  = F<sub>Dreieck</sub> <br>
 
'''<math>{1 \over 2}</math> <math>\cdot</math>  g <math>\cdot</math>  h '''  = F<sub>Dreieck</sub> <br>
 
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:'''Super! Du hast die Flächeninhaltsformel für Dreiecke gefunden.'''
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:'''Begründe, warum man die Formel auf diesem Wege herleiten kann.'''<br>
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In dem Modell, das für die Herleitung der Flächeninhaltsformel hilfreich war, wurde die '''Ergänzungsgleichheit''' genutzt.
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Man '''ergänzt''' das Dreieck mit einem, zu diesem Dreieck, '''kongruenten zweiten Dreieck''' zu einem '''Parallelogramm'''. Dieses besitzt dieselbe '''Länge''' der Grundseite und dieselbe '''Länge der Höhe''', wie das Ausgangsdreieck. Somit lässt sich Der '''Flächeninhalt''' des Parallelogramms berechnen. Da sich die '''Gesamtfläche des Parallelogramms''' aus den '''zwei Teilflächen''' der zueinander kongruenten '''Dreiecke''' zusammensetzt ist ein Dreieck damit '''halb so groß''' wie das Parallelogramm mit derselben Grundseite und Höhe.
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*'''Begründe mit einem Prinzip, dass Du im ersten Lernpfad kennen gelernt hast, warum man die Formel auf diesem Wege herleiten kann. Gehe hier vom Flächeninhalt des Parallelogramms aus. '''<br>
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*'''Fülle den folgenden Lückentext aus. '''
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:'''Aber nicht nur durch das Prinzip der Ergänzung kann man die Flächeninhaltsformel herleiten Ein ähnliches Prinzip hast Du auch schon kennen gelernt.''' '''Fülle den folgenden Lückentext aus. '''
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'''Zerlegungsgleichheit''' ist das Stichwort!  
 
'''Zerlegungsgleichheit''' ist das Stichwort!  
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Ausgehend vom '''Parallelogramm''' lässt sich die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herleiten, indem man ein Parallelogramm geeignet halbiert. Man halbiert hier dies entlang einer '''Diagonalen'''.
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Die Flächeninhaltsformel für Dreiecke lässt sich herleiten, indem man ein '''Parallelogramm''' geeignet halbiert. Man halbiert dies entlang seiner '''Diagonalen'''. <br>
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Diese '''Halbierung''' zerlegt das Parallelogramm in '''zwei kongruente Dreiecke''', die jeweils den '''gleichen ''' Flächeninhalt besitzen und deren '''Gesamtflächeninhalt''', also dem des Parallelogramms entspricht. Ein Dreieck ist damit '''halb(4 geteilt durch 2)''' so groß wie ein Parallelogramm mit derselben '''Grundseite''' und '''Höhe (vier Buchstaben)'''.
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Diese '''Halbierung''' zerlegt das Parallelogramm in '''zwei kongruente Dreiecke''', die jeweils den '''gleichen ''' Flächeninhalt besitzen und deren '''Gesamtflächeninhalt''' dem des Parallelogramms entspricht. Ein Dreieck ist damit '''halb''' so groß wie ein Parallelogramm mit derselben Grundseite und '''Höhe '''.
 
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[[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg]] Wie Du siehst gibt es '''mehrere Ansatzmöglichkeiten''', um ein Problem, wie die Suche nach der Flächeninhaltsformel zu lösen.
 
  
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Mit dem '''<span style="color: green ">Prinzip der Ergänzungsgleichheit</span>''' geht man von dem '<span style="color: green">'''unbekannten Flächeninhalt (Dreieck) '''</span> aus und versucht die Figur geeignet zu ergänzen , um sich die <span style="color: green">'''bekannte Flächeninhaltsformel (des Parallelogramms)'''</span>zu nutze zu machen.
 
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Beim <span style="color: green">'''Prinzip der Zerlegungsgleichheit'''</span> geht man von einer bereits bekannten Flächeninhaltsformel (Parallelogramm) aus und versucht durch geeignete Zerlegung, die '''unbekannte Formel zu ermitteln.'''
 
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Den <span style="color:#EE0000 ">Flächeninhalt des Dreiecks</span> berechnet man durch
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:::::::::::<br> F<sub>Dreieck</sub> = <math>{1 \over 2} \cdot g \cdot h</math> <br>
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mit <span style="color:#EE0000 ">'''g als Grundseite'''</span> und <span style="color:#EE0000 ">'''h als der dazugehörigen Höhe'''.
 
mit <span style="color:#EE0000 ">'''g als Grundseite'''</span> und <span style="color:#EE0000 ">'''h als der dazugehörigen Höhe'''.
 
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:Dies ist aber natürlich nicht der einzige Lösungsansatz. <br>
 
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:'''Im nächsten Abschnitt lernst Du weitere kennen. '''
 
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:Versuche die Lösungsideen nachzuvollziehen und bearbeite die Aufgabenstellungen. Leite daraus jeweils algebraisch die Flächeninhaltsformel für Dreiecke :her.'''
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:Versuche die Lösungsideen nachzuvollziehen und bearbeite die Aufgabenstellungen. Leite daraus jeweils algebraisch die Flächeninhaltsformel für Dreiecke her.'''
 
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====Herleitungsidee 2====
 
====Herleitungsidee 2====
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Tipp: Ergänze zum Rechteck und beobachte dabei die Teilstrecken s und t <br>
 
Tipp: Ergänze zum Rechteck und beobachte dabei die Teilstrecken s und t <br>
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
<div class="lueckentext-quiz">
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'''g<sub>Dreieck</sub>''' = s + s + t+ t <br>
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'''g<sub>Dreieck</sub>''' = s + s + t + t <br>
 
g<sub>Dreieck</sub> = '''2 <math>\cdot</math> s''' + 2<math>\cdot</math> '''t''' = 2 <math>\cdot</math>(s + t)<br>
 
g<sub>Dreieck</sub> = '''2 <math>\cdot</math> s''' + 2<math>\cdot</math> '''t''' = 2 <math>\cdot</math>(s + t)<br>
 
g<sub>Rechteck</sub>= '''s + t''' <br>
 
g<sub>Rechteck</sub>= '''s + t''' <br>
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===Übung===
 
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:In dieser Tabelle sind einige Maße von verschiedenen Dreiecken angegeben, andere Maße fehlen. <br>
 
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:'''Arbeitsauftrag:'''
 
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:<br> Berechne die fehlenden Werte und fülle die Lücken aus.
 
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<div class="lueckentext-quiz">
 
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{| {{Prettytable}}
 
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|- style="background-color:#8DB6CD"
 
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! Dreieck !! Seite a !! Seite b !! Seite c  !!  ha !!    hb    !!    hc !! Flächeninhalt
 
−
|-
 
−
| A              ||4 cm  || '''3,16cm'''  || '''4,24cm''' ||    3cm      ||  3,79cm  || 2,83cm || '''6cm²'''
 
−
|-
 
−
|B              ||4 cm  || 4,12cm  || 5cm  ||    '''4cm'''    ||  '''3,88cm'''    || '''3,2cm''' || 6cm²
 
−
|-
 
−
| C              ||5 cm  || '''4,47 cm''' ||  5cm    ||  4 cm  || 4,47cm || '''4cm''' || '''10cm²'''
 
−
|-
 
−
| D              || 6cm  || 5  cm  ||    '''5cm'''  ||  4cm    ||  '''4,8 cm'''    || 4,8cm  || '''12cm²'''
 
−
|-
 
−
|  E            ||  '''6cm'''  ||  5,83cm || '''3,16cm''' ||3cm  || 3,09cm || 5,69cm ||9 cm²
 
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|}
 
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====Weitere Übungsaufgaben findest Du unterm dem folgenden Link:====
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Version vom 10. Juli 2009, 18:36 Uhr

Flächeninhalt Dreieck

Einstieg

Ebert MotivatorDreieck.jpg


Vorüberlegungen: Dem Dreieck auf der Spur

1. Teil: Wie ändert sich der Flächeninhalt?


Aufgabenstellung:
  • Ziehe beliebig am Eckpunkt C des Dreiecks ABC. Beobachte, wie sich der Flächeninhalt verändert.
  • Zeige für die Fragen die vier Geraden an und variiere wieder den Eckpunkt C.

1. Wann wird der Flächeninhalt größer?

je weiter weg man C von der Geraden AB bewegt.
je weiter weg man C zur Geraden AB bewegt.

2. Auf welcher Geraden musst Du C bewegen, damit der Flächeninhalt gleich bleibt?

C wird auf der Senkrechten zur Geraden AB bewegt
C wird auf der Parallelen zur Geraden AB bewegt
C wird auf der grünen Geraden bewegt

Punkte: 0 / 0

kein Punkt: Schaue Dir die Animation genauer an
1 Punkt: Das hast Du schon gut gelöst!
2 Punkte:Das hast Du sehr gut gemacht! Du kannst jetzt mit dem nächsten Abschnitt fortfahren!


2. Teil:Der Flächeninhalt bleibt gleich!

Aufgabenstellung:
  1. Ziehe am Eckpunkt C und beobachte, wie sich der Flächeninhalt verändert.
  2. Welche Eigenschaft besitzt die Linie, auf der sich C bewegt?

C bewegt sich auf der Parallelen zur Grundseite [AB]. Ihr Abstand entspricht der Höhe im Dreieck!


Höhen im Dreieck



Auch hier darfst Du wieder konstruieren.



Öffne wieder die Geogebra Datei durch Klick auf den Button. Konstruiere eine Höhe im dem vorgegebenen Dreieck, nach folgender Aufgabenstellung:
  1. Zeichne vom Punkt C aus eine senkrechte Gerade zur gegenüberliegenden Seite c des Dreiecks.
  2. Schneide wieder diese Gerade mit der Seite c.
  3. Blende die Gerade aus!
  4. Konstruiere eine Strecke zwischen dem erhaltenen Schnittpunkt und der Ecke C.


Sehr schön! Was Du konstruiert hast ist eine Höhe des Dreiecks vom Eckpunkt C aus, auf die gegenüberliegende Seite.

5. Bewege den Eckpunkt C nach Links und Rechts. Was passiert mit der Höhe?


Bewegt man den Eckpunkt C so weit, dass ein Basiswinkel (nicht der Winkel am Eckpunkt C) größer als 90° wird, so liegt die Höhe außerhalb des Dreiecks! Dies ist in stumpfwinkligen Dreiecken der Fall!


So löst man das Problem:
  1. Konstruiere eine Gerade durch A und B
  2. Zeichne eine Senkrechte vom Punkt C zu dieser Geraden!
  3. Schneide diese Senkrechte Gerade mit der Geraden durch AB. Blende die Senkrechte Gerade wieder aus.
  4. Verbinde den erhaltenen Schnittpunkt mit C


Was Du nun konstruiert hast, ist wieder eine Höhe vom Eckpunkt C aus. Doch diese kann auch außerhalb liegen!! Teste dies durch Bewegen von C!!



Zusammenfassung



Auch die Eigenschaften der Höhen im Dreieck solltest du wissen. Daher wurden sie hier zusammengefasst. Wenn Du möchtest, kannst Du den Merkkasten in Dein Heft übrtragen.


Ebert MotivatorMerke.jpg
  • Die Höhe im Dreieck ist der Abstand von einem Eckpunkt des Dreiecks zur gegenüberliegenden Seite.
  • Die Punkte D,E,F nennt man Höhenfußpunkte
Beispiel:
Ebert HöheDreieck.jpg


Hier siehst Du eine Tabelle mit den Bezeichnungen für das Dreieck aus dem obigen Bild.
Füge die passenden Bezeichnungen in der Tabelle ein
Grundlinien Länge der Grundlinien Höhen zu den Grundlinien Länge der Höhen
[AB] c [CE] hc
[BC] a [AD] ha
[AC] b [BF] hb



  • In der Konstruktionsaufgabe hast Du einen Spezialfall Kennen gelernt:
  • Im stumpfwinkligen Dreieck liegen zwei Höhen außerhalb des Dreiecks.
  • Die Höhe ist hier der Abstand vom Eckpunkt zur Geraden durch die beiden anderen Eckpunkte des Dreiecks.
Ebert SpezialfallHöhenDreieck.jpg


  • Die Höhen im Dreieck schneiden sich in einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt.






Die Flächeninhaltsformel des Dreiecks


Mathematik scheint manchmal wie Zauberei...Warum?? Das erfährst Du im nächsten Abschnitt.


Fast wie Zauberei! Zweimal Unbekannt = Bekannt?

Wir wollen die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herausfinden.
Doch, wie könnte man das nur machen?
In diesem Applet siehst Du das Dreieck ABC. Bearbeite die nebenstehende Aufgabenstellung.


Aufgabenstellung:
  1. Verfolge die in der Darstellung angegebenen Schritte 1-3.
  2. Beobachte was passiert. Hilft uns dieses Modell weiter, die Formel zu finden?
  3. Das Dreieck wird durch ein zweites kongruentes Dreieck zum Parallelogramm ergänzt
  4. Warum ist dieses zweite Dreieck kongruent zum ersten?
  5. Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms
  6. Wie groß ist der Flächeninhalt eines Dreiecks?


Leite daraus die Flächeninhaltsformel für Dreiecke her!
Bedenke, welche Flächeninhaltsformel Du vor Kurzem erst Kennen gelernt hast

Aufgabenstellung: Ergänze die fehlenden Felder in der Rechnung.

Gesucht: FDreieck = ??

FParallelogramm = g \cdot h
FParallelogramm = FDreieck + FDreieck
FParallelogramm = 2 \cdot FDreieck
g \cdot h = 2 \cdot FDreieck
{1 \over 2} \cdot g \cdot h = FDreieck


Super! Du hast die Flächeninhaltsformel für Dreiecke gefunden.



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  • Begründe mit einem Prinzip, dass Du im ersten Lernpfad kennen gelernt hast, warum man die Formel auf diesem Wege herleiten kann. Gehe hier vom Flächeninhalt des Parallelogramms aus.
  • Fülle den folgenden Lückentext aus.

Zerlegungsgleichheit ist das Stichwort! Die Flächeninhaltsformel für Dreiecke lässt sich herleiten, indem man ein Parallelogramm geeignet halbiert. Man halbiert dies entlang seiner Diagonalen.
Diese Halbierung zerlegt das Parallelogramm in zwei kongruente Dreiecke, die jeweils den gleichen Flächeninhalt besitzen und deren Gesamtflächeninhalt dem des Parallelogramms entspricht. Ein Dreieck ist damit halb so groß wie ein Parallelogramm mit derselben Grundseite und Höhe .






Zusammenfassung



Übertrage den roten Merkkasten in dein Heft, damit Du die Flächeninhaltsformel für Dreiecke auch Zuhause nachschauen kannst:

Ebert MotivatorMerke.jpg Den Flächeninhalt des Dreiecks berechnet man durch

FDreieck = {1 \over 2} \cdot g \cdot h

mit g als Grundseite und h als der dazugehörigen Höhe.


Ebert MerkbildDreieck.jpg

Übung

Für die ganz Schnellen:

Vertiefen und Erweitern


Du hast nun eine Möglichkeit kennen gelernt, wie man die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herleiten kann.
Dies ist aber natürlich nicht der einzige Lösungsansatz.
Im nächsten Abschnitt lernst Du weitere kennen.
Versuche die Lösungsideen nachzuvollziehen und bearbeite die Aufgabenstellungen. Leite daraus jeweils algebraisch die Flächeninhaltsformel für Dreiecke her.


Herleitungsidee 2

Aufgabenstellung:
1.Wie wurde das Dreieck zerlegt?

Man zeichnet die Mittelparallele des Dreiecks zur Grundseite ein und schneidet diese mit der Höhe zu dieser Grundseite.

2.Welche Figur ensteht?

Es entsteht ein Rechteck


3.Wie erhält man die Figur?

Durch Zerlegung des Ursprungsdreiecks und Ergänzung


5.Um welche Punkte werden die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht?

Die Teildreiecke werden um die Seitenmittelpunkte gedreht. Sie werden um 180° gedreht. Es handelt sich also um eine Kongruenzabbildung.


6.Welche Höhe besitzt die neue Figur, im Vergleich zum Ursprungsdreieck?

Die Höhe des Rechtecks ist halb so groß, wie die Höhe des Ausgangsdreiecks


7.Welche Länge besitzt ihre Grundseite?

Die Grundseite ist genauso lang, wie die des Ausgangsdreiecks.



Wie kann man für diese Methode die Flächeninhaltsformel des Dreiecks berechnen??
FRechteck = g \cdot h2
Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt:
FRechteck = FDreieck
Für die Höhen gilt:
h2 = {1 \over 2} \cdot h1
Einsetzen in Formel für Rechteck:
FDreieck = {1 \over 2} g \cdot h1



Herleitungsidee 3





 Aufgabenstellung:

1. Wie wurde das Dreieck zerlegt?

Es wurde die zur Grundseite parallele Strecke zwischen den Seitenmittelpunkten eingezeichnet.

2.Welche Figur ensteht bei der Ergänzung?

Es enstekt ein Paralellogramm

3.Wie entsteht diese Figur?

Das Parallelogramm ensteht durch Zerlegung des großen Dreiecks in ein kleines Teildreieck und ein Trapez. Durch Drehen des kleinen Teildreiecks ergänzt man das Trapez zum Parallelogramm

4. Um welchen Punkt wird das kleine Teildreieck gedreht? Um wieviel Grad wird es gedreht?

Das kleine Teildreieck wird um 180 ° um einen Seitenmittelpunkt gedreht.Damit ist klar, dass es sich um eine Kongruenzabbildung handelt.

5. Welche Höhe besitzt die neue Figur im Vergleich zum Dreieck

Die Höhe des Parallelogramms ist halb so groß, wie die des Ausgangsdreiecks. Das Paralellogramm besitzt aber die gleiche Länge der Grundseite


Wie kann man für diese Methode die Flächeninhaltsformel des Dreiecks berechnen??
FParallelogramm = g \cdot h2
Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt:
FParallelogrammk = FDreieck
Für die Höhen gilt:
h2 = {1 \over 2} \cdot h
Einsetzen in Formel für Parallelogramm:
FDreieck = {1 \over 2} g \cdot h


Ebert MotivatorMerke.jpg
Wie Du siehst, ähneln sich diese beiden Herleitungsideen:
In der ersten Variante zerlegt man das Dreieck geeignet und ergänzt zum Rechteck mit gleicher Grundseite und halber Höhe...
und in der zweiten Variante zerlegt man das Dreieck und ergänzt zu einem Parallelogramm mit gleicher Länge der Grundseite und halber Höhe.

Herleitungsidee 4





Wir haben für die Hilfsfigur, deren Flächeninhalt man kennt das Ausgangsdreieck so zerlegt, dass die Höhe halbiert und die Länge der Grundseite gleich beibehalten wird.
Wie Du ahnst gibt es noch eine weitere Möglichkeit:
Aufgabenstellung:

1.Welche Figur ensteht bei der Ergänzung?

Es entsteht ein Rechteck

2. Um welchen Punkt werden jeweils die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht?

Die Teildreiecke werden jeweils um die Seitenmittelpunkte gedreht, dabei dreht man um 180°. Dies ist eine Kongruenzabbildung

3.Welche Höhe besitzt die erhaltene Figur?

Die Höhe des Rechtecks entspricht der Höhe des Ausgangsdreiecks

4.Zeige, dass die Grundseite g der neuen Figur halb so lang ist, wie die Grundseite des Dreiecks!
Tipp: Ergänze zum Rechteck und beobachte dabei die Teilstrecken s und t

gDreieck = s + s + t + t
gDreieck = 2 \cdot s + 2\cdot t = 2 \cdot(s + t)
gRechteck= s + t
=> gRechteck = {1 \over 2} \cdot gDreieck


Wie kann man daraus die Flächeninhaltsformel für das Dreieck berechnen?

FRechteck = gRechteck \cdot h

Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt:
FRechteck = FDreieck
Für die Grundseiten gilt:
gRechteck = {1 \over 2} \cdot gDreieck
Einsetzen in Formel für Rechteck:
FDreieck = {1 \over 2} gDreieck \cdot h







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