Die Quadratische Funktion der Form f(x) = (x-d)² + e - Die Scheitelpunktsform: Unterschied zwischen den Versionen
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* Für '''e > 0''' gilt: Verschiebung nach '''oben''', um e Einheiten in Richtung der y-Achse | * Für '''e > 0''' gilt: Verschiebung nach '''oben''', um e Einheiten in Richtung der y-Achse | ||
* Für '''e < 0''' gilt: Verschiebung nach '''unten''', um e Einheiten in Richtung der y-Achse | * Für '''e < 0''' gilt: Verschiebung nach '''unten''', um e Einheiten in Richtung der y-Achse | ||
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* Die y-Achse ist die '''Symmetrieachse''' | * Die y-Achse ist die '''Symmetrieachse''' | ||
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* Als Symmetrieachse ergibt sich daher die Parallelachse zur y-Achse senkrecht zur <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x-Achse</u>. | * Als Symmetrieachse ergibt sich daher die Parallelachse zur y-Achse senkrecht zur <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x-Achse</u>. | ||
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+ | Für die quadratische Funktion '''f(x)<math>=</math>(x - d)²''' gilt: | ||
+ | * Der Graph entsteht aus der Normalparabel durch eine '''Verschiebung''' um '''d Einheiten''' auf der x-Achse → Der Graph ist '''kongruent''' zur Normalparabel | ||
+ | * Für '''d > 0''' gilt: Verschiebung nach '''rechts''', um d Einheiten in Richtung der x-Achse | ||
+ | * Für '''d < 0''' gilt: Verschiebung nach '''links''', um d Einheiten in Richtung der x-Achse | ||
+ | * Der '''Scheitelpunkt''' liegt bei S <math>(d\!\,|\!\,0)</math> | ||
+ | * Die '''Symmetrieachse''' ist die Parallelachse zur y-Achse, senkrecht zur x-Achse | ||
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+ | '''Achtung!''' | ||
+ | * Für '''d > 0''' mit einer Verschiebung nach rechts liegt die Gleichung der Form f(x) = (x – d)² vor. | ||
+ | Beispiel: f(x) = (x - 5)² → Es steht zwar -5 aber es wurde die positive Zahl 5 in die Gleichung eingesetzt | ||
+ | * Für '''d < 0''' mit einer Verschiebung nach links liegt die Gleichung der Form f(x) = (x + d)² vor. | ||
+ | Beispiel: f(x) = (x + 5)² → Es steht zwar +5 aber es wurde die negative Zahl -5 in die Gleichung eingesetzt und daher ergibt sich für -5: f(x) = (x - d)² = (x - (-5))² = (x + 5) | ||
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+ | Ebenso wie beim Parameter e, folgen nun wieder einige Aufgaben, um auch die Eigenschaften des Parameters d zu vertiefen. | ||
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+ | Du siehst in der Grafik 5 verschiedene quadratische Funktionen. | ||
+ | Ordne jedem Graph die richtige Funktionsgleichung durch "drag and drop" zu: | ||
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+ | '''Hilfe:''' <br> | ||
+ | Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen! <br> | ||
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+ | Beispiel: t(x) <math>=</math> (x + 4,5)² | ||
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Version vom 16. Juli 2009, 11:40 Uhr
Lernpfad
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Bis jetzt haben wir die Normalparabel f(x) = x² kennen gelernt. Dazu kam dann ein Parameter a als Vorfaktor, welcher die Parabel in Richtung der y-Achse gestreckt oder gestaucht hat und sie zusätzlich bei negativen Werten an der x-Achse spiegelt.
Nun wollen wir uns mit zwei weiteren Parametern beschäftigen.
Zunächst betrachten wir den Parameter e, welcher zur Normalparabel addiert wird.
Die quadratische Funktion schaut dann wie folgt aus:
f(x) = x² + e
Bearbeite das folgende Arbeitsblatt und entdecke die Eigenschaften des Parameters e!
Für die quadratische Funktion f(x)x² + e gilt:
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Nun folgen einige Aufgaben, um das gerade erlernte Wissen zu vertiefen.
1. Aufgabe: Zuordnung
Du siehst in der Grafik 5 verschiedene quadratische Funktionen. Ermittle zu den vorgegebenen Graphen die Funktionsgleichung:
2. Aufgabe:
Bestimme die Funktionsgleichung mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte:
a) S
b) S
c) S
d) S
e) S
Lösung:
Das war bestimmt kein Problem! Man musste ja lediglich den y-Wert ablesen, da er den Wert von e angibt!
a) f(x)x² + 4,7 b) f(x)x² - 23 c) f(x)x² - 2,5 d) f(x)x² e) f(x)x² + 13
3. Aufgabe:
Nun hast du die Funktionsgleichung gegeben. Finde den zugehörigen Scheitelpunkt S.
a) f(x)x² + 5,2 b) f(x)x² - 3 c) f(x)x² d) f(x)3 + x²
Hilfe:
Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen, aber überlege erst selbst, es ist nicht schwer!
Lösung:
Der x-Wert ist immer 0, denn die Parabel wird nur nach oben oder unten verschoben. Den y-Wert kann man gut ablesen, denn er ist identisch dem Wert von e!
a) S
b) S
c) S
d) S
4. Aufgabe: Zuordnung
Die Punkte A, B, C, D, E und F liegen auf der Parabel f(x) = 2,5 + x². Ordne die fehlenden Koordinaten zu!!
A | B | C | D | E | F |
2 | 0,5 | 3 | 3,5 | 11,5 | 6,5 |
Nachdem du jetzt Parameter e kennst, wollen wir uns nun mit dem Parameter d beschäftigen, der wie folgt in die quadratische Funktion integriert wird:
f(x) = (x - d)²
Um die Eigenschaften des Parameters d zu erlernen, bediene in der Grafik den Schieberegler d und löse im Anschluss den Lückentext.
Die blaue Parabel ist abhängig vom Parameter d und die schwarz-gestrichelte Linie stellt die Normalparabel dar.
Um deine Ergebnisse zu überprüfen musst du mit gehaltener linker Maustaste über das graue Feld ziehst, damit wird das Ergebnis sichtbar!! Aber nicht mogeln!
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Für die quadratische Funktion f(x)(x - d)² gilt:
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Achtung!
- Für d > 0 mit einer Verschiebung nach rechts liegt die Gleichung der Form f(x) = (x – d)² vor.
Beispiel: f(x) = (x - 5)² → Es steht zwar -5 aber es wurde die positive Zahl 5 in die Gleichung eingesetzt
- Für d < 0 mit einer Verschiebung nach links liegt die Gleichung der Form f(x) = (x + d)² vor.
Beispiel: f(x) = (x + 5)² → Es steht zwar +5 aber es wurde die negative Zahl -5 in die Gleichung eingesetzt und daher ergibt sich für -5: f(x) = (x - d)² = (x - (-5))² = (x + 5)
Ebenso wie beim Parameter e, folgen nun wieder einige Aufgaben, um auch die Eigenschaften des Parameters d zu vertiefen.
1. Aufgabe: Zuordnung
Du siehst in der Grafik 5 verschiedene quadratische Funktionen. Ordne jedem Graph die richtige Funktionsgleichung durch "drag and drop" zu:
Hilfe:
Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen!
Beispiel: t(x) (x + 4,5)²