Die Quadratische Funktion der Form f(x) = (x-d)² + e - Die Scheitelpunktsform: Unterschied zwischen den Versionen
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− | '''Aufgabe:''' <br>Bediene den Schieberegler | + | '''Aufgabe:''' <br>Bediene den Schieberegler e. Welche Veränderungen bewirkt der Faktor e? |
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* Für '''e < 0''' gilt: Verschiebung nach '''unten''', um e Einheiten in Richtung der y-Achse | * Für '''e < 0''' gilt: Verschiebung nach '''unten''', um e Einheiten in Richtung der y-Achse | ||
* Der '''Scheitelpunkt''' liegt bei S <math>(0\!\,|\!\,e)</math> | * Der '''Scheitelpunkt''' liegt bei S <math>(0\!\,|\!\,e)</math> | ||
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Version vom 30. Juli 2009, 09:34 Uhr
Lernpfad
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Bis jetzt haben wir die Normalparabel f(x) = x² kennen gelernt. Dazu kam dann der Parameter a als Vorfaktor, welcher die Parabel in Richtung der y-Achse gestreckt oder gestaucht hat und sie zusätzlich bei negativen Werten an der x-Achse spiegelt.
In diesem Lernpfad wollen wir uns mit zwei weiteren Parametern beschäftigen.
Zunächst betrachten wir den Parameter e, welcher zur Normalparabel dazuaddiert wird.
Die quadratische Funktion schaut dann wie folgt aus:
f(x) = x² + e
Bearbeite das folgende Arbeitsblatt und entdecke die Eigenschaften des Parameters e!
Für die quadratische Funktion f(x)x² + e gilt:
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Nun folgen einige Aufgaben, um das gerade erlernte Wissen zu vertiefen.
1. Aufgabe: Zuordnung
Du siehst in der Grafik 5 verschiedene quadratische Funktionen. Ermittle zu den vorgegebenen Graphen die Funktionsgleichung:
2. Aufgabe:
Bestimme die Funktionsgleichung mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte:
a) S
b) S
c) S
d) S
e) S
Lösung:
Das war bestimmt kein Problem! Man musste ja lediglich den y-Wert ablesen, da er den Wert von e angibt!
a) f(x)x² + 4,7 b) f(x)x² - 23 c) f(x)x² - 2,5 d) f(x)x² e) f(x)x² + 13
3. Aufgabe:
Nun hast du die Funktionsgleichung gegeben. Finde den zugehörigen Scheitelpunkt S.
a) f(x)x² + 5,2 b) f(x)x² - 3 c) f(x)x² d) f(x)3 + x²
Hilfe:
Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen, aber überlege erst selbst, es ist nicht schwer!
Lösung:
Der x-Wert ist immer 0, denn die Parabel wird nur nach oben oder unten verschoben. Den y-Wert kann man gut ablesen, denn er ist identisch dem Wert von e!
a) S
b) S
c) S
d) S
4. Aufgabe: Zuordnung
Die Punkte A, B, C, D, E und F liegen auf der Parabel f(x) = 2,5 + x². Ordne die fehlenden Koordinaten zu!!
A | B | C | D | E | F |
2 | 0,5 | 3 | 3,5 | 11,5 | 6,5 |
Nachdem du jetzt Parameter e kennst, wollen wir uns nun mit dem Parameter d beschäftigen, der wie folgt in die quadratische Funktion integriert wird:
f(x) = (x - d)²
Um die Eigenschaften des Parameters d zu erlernen, bediene in der Grafik den Schieberegler d und löse im Anschluss den Lückentext.
Die blaue Parabel ist abhängig vom Parameter d und die schwarz-gestrichelte Linie stellt die Normalparabel dar.
Um deine Ergebnisse zu überprüfen musst du mit gehaltener linker Maustaste über das graue Feld ziehst, damit wird das Ergebnis sichtbar!! Aber nicht mogeln!
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Für die quadratische Funktion f(x)(x - d)² gilt:
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Achtung!
- Für d > 0 mit einer Verschiebung nach rechts liegt die Gleichung der Form f(x) = (x – d)² vor.
Beispiel: f(x) = (x - 5)² → Es steht zwar -5 aber es wurde die positive Zahl 5 in die Gleichung eingesetzt
- Für d < 0 mit einer Verschiebung nach links liegt die Gleichung der Form f(x) = (x + d)² vor.
Beispiel: f(x) = (x + 5)² → Es steht zwar +5 aber es wurde die negative Zahl -5 in die Gleichung eingesetzt und daher ergibt sich für -5: f(x) = (x - d)² = (x - (-5))² = (x + 5)
Ebenso wie beim Parameter e, folgen nun wieder einige Aufgaben, um auch die Eigenschaften des Parameters d zu vertiefen.
1. Aufgabe: Zuordnung
Du siehst in der Grafik 5 verschiedene quadratische Funktionen. Ordne jedem Graph die richtige Funktionsgleichung durch "drag and drop" zu:
Hilfe:
Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen!
Beispiel: Die erste Grafik hat die Funktionsgleichung f(x) (x + 4,5)²
2. Aufgabe:
Bestimme die Funktionsgleichung mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte:
a) S b) S c) S d) S e) S
Hilfe:
Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen!
a) f(x) (x - 2,5)2
Lösung:
a) f(x) (x - 2,5)2 b) f(x) (x + 3)2 c) f(x) (x - 1202 d) f(x) x2 e) f(x) (x + 7)2
3. Aufgabe:
Zeichne ohne Wertetabelle die Graphen zu folgenden Funktionen. Gib zunächst die Koordinaten des jeweiligen Scheitelpunkts an.
a) f(x) (x - 6)2 b) f(x) (x - 2)2 c) f(x) (x + 3,3)2 d) f(x) (x + 5)2
Lösung:
Die Koordinaten kann man direkt an der Funktionsgleichung ablesen!
a) S b) S c) S d) S
Um die Graphen zu zeichnen, musst du die Normalparabel bei Punkt S erstellen
Bevor wir nun die beiden Parameter e und d zusammenführen, wollen wir nochmal die wichtigsten Eigenschaften wiederholen. Löse dafür die folgende Zuordnung.
Mal sehen wer am wenigstens Versuche braucht, das Quiz ist nicht ganz einfach!
Memory-Puzzle:
Für e > 0: Verschiebung nach oben auf der y-Achse | f(x) = x² + e |
Für e < 0: Verschiebung nach unten auf der y-Achse | f(x) = x² - e |
Für d > 0: Verschiebung nach rechts auf der x-Achse | f(x) = (x - d)² |
Für d < 0: Verschiebung nach links auf der x-Achse | f(x) = (x+d)² |
f(x) = x² + 2 | S (0, 2)
S (0, e) |
f(x) = x² - 4 | S (0, -4)
S (0, -e) |
f(x) = (x - 2)² | S (2, 0)
S (e, 0) |
f(x) = (x+4)² | S (-4, 0)
S (-e, 0) |
Jetzt sind wir an einem Punkt angekommen, an dem wir die Scheitelpunktsform aufstellen können.
Bisher habt ihr in dieser Lerneinheit die Parameter e und d einzeln kennen gelernt.
Ziel dieser Lerneinheit war die quadratische Funktion f(x) = (x-d)² + e, in der beide Parameter gleichzeitig vorkommen.
Wie ihr gelernt habt, steht der Parameter e für den y-Wert im Koordinatensystem und der Parameter d für den x-Wert.
Genau bei diesem Punkt liegt der Scheitelpunkt der Parabel und man nennt deshalb die quadratische Funktion f(x) = (x - d)² + e die Scheitelpunktsform.
Da sich nicht viel ändert, außer die Kombination der Parameter e und d, sollst du jetzt mit Hilfe der dargestellten Grafik das folgende Kreuzworträtsel lösen.
Quadratische Funktion f(x)(x-d)2+ e | Aufgabe und Quiz: | ||||||||||||||||||
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Hinweise: Quiz: Beim Klick auf die Ziffern im Kreuzworträtsel öffnet sich ein Eingabefeld zum Eintragen.
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Für die quadratische Funktion f(x)(x - d)2 + e gilt:
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1. Aufgabe: Multiple Choice
Kreuze alle richtigen Aussagen an!
f(x) (x-5)2 - 3 (!Die Parabel ist noch rechts und nach oben verschoben)(!Die Parabel hat den Scheitelpunkt S [-3, 5])(Die Parabel hat den Scheitelpunkt S [5, -3]) (!Die Parabel ist nach unten geöffnet) (Die Parabel ist nach rechts und nach unten verschoben)
f(x) 5 + (x + 12)2 (!Es liegt keine Parabel vor) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach oben verschoben) (!Die Parabel ist um 12 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 12 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel liegt oberhalb der x-Achse) (!Die Parabel hat keine Symmetrieachse)
f(x) x2 + 3 (!Die Parabel ist eine um 3 Einheiten nach links verschobene Normalparabel) (Die Parabel hat den Scheitelpunkt [0, 3]) (Die Symmetrieachse der Parabel ist die y-Achse) (!Die Parabel ist um eine Einheit nach rechts verschoben) (Die Parabel ist nach oben geöffnet)
f(x) -5 + (x-6)2 (!Die Funktionsgleichung ist keine quadratische Funktion) (!Die Parabel ist um 5 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel ist um 6 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten verschoben) (! Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten und um 6 Einheiten nach links veschoben)
2. Aufgabe:
Gegeben ist der Scheitelpunkt S einer verschobenen Normalparabel. Stelle mit Hilfe des Scheitelpunkts S die Funktionsgleichung auf!
a) S (2, -5) b) S (-3 , -3) c) S (4, 8) d) S (5, -2)
Hilfe:
Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen!
Beispiel: Für den Scheitelpunkt S lautet die Funktionsvorschrift: f(x) (x - 12)2 + 24
Lösung:
Die Funktionsgleichung wird in allgemeiner Scheitelpunktsform aufgestellt. Die Werte für den Parameter d und e werden direkt an den Koordinaten vom Scheitelpunkt abgelesen.
a) f(x) (x - 2)2 - 5 b) f(x) (x + 3)2 - 3 c) f(x) (x - 4)2 + 8 d) f(x) (x - 5)2 - 2
3. Aufgabe-Zuordnung:
Finde die richtige Funktionsvorschrift für die Graphen!
4. Aufgabe: KNIFFELAUFGABE:
Zum Abschluss dieser Lektion noch eine kleine Aufgabe zum Nachdenken. Gegeben ist die Funktion f(x) = (x + 3)² + 1,5 und die Punkte W, X , T und P. Welche der folgenden Punkte liegt auf dem Graphen?
a) W b) X c) T d) P
Lösung:
Prima!
Damit kennst du nun alle Parameter, welche die quadratische Funktion beeinflussen können.
In der nächsten Lerneinheit führen wir dann die Parameter a, d und e zusammen und lernen die Normalform kennen.