Vertiefen und Erweitern zum Flächeninhalt des Dreiecks: Unterschied zwischen den Versionen

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#'''Welche Höhe''' besitzt die neue Figur, '''im Vergleich''' zum Ursprungsdreieck?<br>
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#'''Welche <u>Höhe besitzt die neue Figur</u>, im <u>Vergleich</u> zum Ursprungsdreieck? '''<br>
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#'''Welche Länge hat Grundseite im Vergleich zur Ausgangsfigur?
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#'''Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.''' Hinweis {{versteckt|Die Längenangaben sind in Zentimetern}}
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#'''Berechne den <span style="color: blue">Flächeninhalt des Dreiecks.</span>''' Hinweis {{versteckt|Die Längenangaben sind in Zentimetern}}
 
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Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von '''8 (cm²)'''
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Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von '''8 (Zahl eintragen)'''cm²
 
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'''Vergleiche Deine Lösungen mit der von Maja:'''
 
'''Vergleiche Deine Lösungen mit der von Maja:'''
 
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#Es entsteht ein Rechteck
 
#Es entsteht ein Rechteck
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#Die Teildreiecke werden um die Seitenmittelpunkte gedreht. Sie werden um 180° gedreht. Es handelt sich also um eine Kongruenzabbildung.
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#Die Teildreiecke werden um die Mittelpunkte der Seiten a und b gedreht. Sie werden um 180° gedreht. Es handelt sich also um eine Kongruenzabbildung.
 
#Die Höhe des Rechtecks ist halb so groß wie die Höhe des Ausgangsdreiecks
 
#Die Höhe des Rechtecks ist halb so groß wie die Höhe des Ausgangsdreiecks
 
#Die Grundseite ist genauso lang wie die des Ausgangsdreiecks.}}
 
#Die Grundseite ist genauso lang wie die des Ausgangsdreiecks.}}
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*Sie schreiben ihre Lösungswege auf. Welcher Lösungsweg passt zu den Überlegungsfiguren?
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*Sie schreiben ihre Lösungswege auf. Welcher Lösungsweg passt zu den Skizzen?
 
*Nils rechnet so: F<sub>Dreieck</sub> = ( 8 <math>\cdot</math> 3 ): 2= 12 . Das gehört zur '''Skizze I'''
 
*Nils rechnet so: F<sub>Dreieck</sub> = ( 8 <math>\cdot</math> 3 ): 2= 12 . Das gehört zur '''Skizze I'''
 
*Maja rechnet so: F<sub>Dreieck</sub> = 8 <math>\cdot</math> ( 3 : 2 ) = 8 <math>\cdot</math> 1,5 = 12 : Das gehört zur '''Skizze II'''
 
*Maja rechnet so: F<sub>Dreieck</sub> = 8 <math>\cdot</math> ( 3 : 2 ) = 8 <math>\cdot</math> 1,5 = 12 : Das gehört zur '''Skizze II'''
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'''Aufgabenstellung:''' '''''Kreuze die richtigen Antworten an:'''''
 
'''Aufgabenstellung:''' '''''Kreuze die richtigen Antworten an:'''''
  
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{ '''Um ''welchen Punkt'' wird das kleine Teildreieck gedreht?''' }
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{ '''Um ''welchen Punkt'' wird das Teildreieck gedreht?''' }
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+Seitenmittelpunkt M<sub>2</sub>  
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+Mittelpunkt M<sub>a</sub> der Seite a
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-Seitenmittelpunkt M<sub>b</sub>
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-Mittelpunkt M<sub>b</sub> der Seite b
 
-Eckpunkt C
 
-Eckpunkt C
  
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-360°
 
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{ '''Welche ''Höhe'' besitzt die ''neue Figur'' im Vergleich zum Dreieck. Sie ist...''' }
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{ '''Welche <span style="color: blue">Höhe</span> besitzt die <u>neue Figur</u> im Vergleich zum Dreieck ABC? Sie ist...''' }
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-genauso groß, wie die des Ausgangsdreiecks.
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-genauso groß, wie die des Dreiecks ABC
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+halb so groß, wie die des Ausgangsdreiecks.
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+halb so groß, wie die des Dreiecks ABC
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-doppelt s groß, wie die des Ausgangsdreiecks.
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-doppelt s groß, wie die des Dreiecks ABC
  
 
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'''''Berechne den Flächeninhalt des <span style="color: green">Dreiecks ABC</span>, wenn <span style="color: blue">h<sub>2</sub>= 4cm</span>  und <span style="color: red">c= 4cm</span> ist '''''
 
'''''Berechne den Flächeninhalt des <span style="color: green">Dreiecks ABC</span>, wenn <span style="color: blue">h<sub>2</sub>= 4cm</span>  und <span style="color: red">c= 4cm</span> ist '''''
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
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Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC ist: '''8 (cm²)'''
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Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC ist: '''8 (Zahl eintragen)'''cm²
 
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'''''Berechne den Flächeninhalt des <span style="color:green">Dreiecks M<sub>2</sub> M<sub>b</sub>  C</span>. Überlege, welche Länge die <span style="color: red">Strecke [ M<sub>2</sub> M<sub>b</sub>]</span> besitzt.'''''<br>
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'''''Berechne den Flächeninhalt des <span style="color:green">Dreiecks M<sub>2</sub> M<sub>b</sub>  C</span>. Überlege, welche Länge die <span style="color: red">Strecke [ M<sub>a</sub> M<sub>b</sub>]</span> besitzt.'''''<br>
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
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Der Flächeninhalt des Dreiecks M<sub>2</sub> M<sub>b</sub> C ist '''2(cm²)'''
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Der Flächeninhalt des Dreiecks M<sub>a</sub>M<sub>b</sub>C ist '''2(Zahl eintragen)'''cm²
 
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'''''Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.'''''  
 
'''''Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.'''''  
 
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Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist: '''8(cm²)'''
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Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist: '''8(Zahl eintragen)'''cm²
 
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  |<ggb_applet height="450" width="580" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVertiefungsaufgabe3neu.ggb"/>|| '''Aufgabenstellung:'''
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  |<ggb_applet height="450" width="580" showResetIcon="true" filename="Ebert_4.Herleitung.ggb"/>||  
  
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1.'''Welche Figur ensteht''' bei der Ergänzung?  
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#'''Welche Figur ensteht'''? <br>
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2. Um welchen Punkt werden jeweils die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht?  
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# '''Um welche <span style="color: red">Punkte</span> werden jeweils die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht? '''
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3.'''Welche Höhe''' besitzt die erhaltene Figur?  
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#'''<span style="color: green">Welche Höhe</span> besitzt die erhaltene Figur?''' <br>
  
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Vergleiche Deine Lösungen mit Maja´s Lösungen.[[Bild:Ebert_MotivatorGrün.jpg|50px|right]]
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*'''''Vergleiche Deine Lösungen mit Maja´s Lösungen.'''''[[Bild:Ebert_MotivatorGrün.jpg|50px|right]]
 
{{Lösung versteckt |  
 
{{Lösung versteckt |  
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1. Es ensteht ein Rechteck
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1. Es ensteht ein Rechteck<br>
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2. Die Teildreiecke werden jeweils um die Seitenmittelpunkte gedreht, dabei dreht man um 180°. Dies ist eine Kongruenzabbildung
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2. Die Teildreiecke werden jeweils um die Seitenmittelpunkte gedreht, dabei dreht man um 180°. Dies ist eine Kongruenzabbildung<br>
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3. Die Höhe des Rechtecks entspricht der Höhe des Ausgangsdreiecks
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3. Die Höhe des Rechtecks entspricht der Höhe des Ausgangsdreiecks.
 
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4.'''Zeige''', dass die '''Grundseite g der neuen Figur halb so lang '''ist, wie die Grundseite des Dreiecks!<br>
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'''4. Zeige, dass die Grundseite g der neuen Figur <u>halb so lang</u> ist, wie die Grundseite des Dreiecks!'''<br>
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Tipp: Ergänze zum Rechteck und beobachte dabei die Teilstrecken s und t <br>
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<u>Tipp:</u>''' Ergänze zum Rechteck und beobachte dabei die Teilstrecken <span style="color: orange">s</span> und <span style="color: purple">t</span> '''<br>
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
* Die Grundseite des Dreiecks setzt sich zusammen aus:  
 
* Die Grundseite des Dreiecks setzt sich zusammen aus:  

Version vom 3. August 2009, 14:57 Uhr

Für die ganz Schnellen:

Vertiefen und Erweitern


Du hast nun eine Möglichkeit kennen gelernt, wie man die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herleiten kann. '
Dies ist aber natürlich nicht der einzige Weg.
Versuche die nächsten nachzuvollziehen.
Ebert Motivatoren.jpg






Herleitungsidee 2
  1. Welche Figur entsteht?
  2. Um welche Punkte werden die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht?
  3. Welche Höhe besitzt die neue Figur, im Vergleich zum Ursprungsdreieck?
  4. Welche Länge hat die Grundseite c im Vergleich zur Ausgangsfigur?
  5. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks. Hinweis [Anzeigen]

Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von (Zahl eintragen)cm²


Vergleiche Deine Lösungen mit der von Maja: [Lösung anzeigen]


Ebert Motivatoren.jpg
  • Maja und Nils berechnen den Flächeninhalt des grünen Dreiecks.
Ebert Rechenbeispiel.jpg
  • Sie schreiben ihre Lösungswege auf. Welcher Lösungsweg passt zu den Skizzen?
  • Nils rechnet so: FDreieck = ( 8 \cdot 3 ): 2= 12 . Das gehört zur                    
  • Maja rechnet so: FDreieck = 8 \cdot ( 3 : 2 ) = 8 \cdot 1,5 = 12 : Das gehört zur                    

Skizze ISkizze II














Suche Dir aus den nächsten beiden Herleitungen eine aus und bearbeite diese

Herleitungsidee 3

Aufgabenstellung: Kreuze die richtigen Antworten an:

1. Welche Figur ensteht? Es ensteht ein...

Paralellogramm
Rechteck
Trapez
Dreieck

2. Um welchen Punkt wird das Teildreieck gedreht?

Mittelpunkt Ma der Seite a
Mittelpunkt Mb der Seite b
Eckpunkt C

3. Um wieviel Grad wird es gedreht?

90°
180°
120°
360°

4. Welche Höhe besitzt die neue Figur im Vergleich zum Dreieck ABC? Sie ist...

genauso groß, wie die des Dreiecks ABC
halb so groß, wie die des Dreiecks ABC
doppelt s groß, wie die des Dreiecks ABC

Punkte: 0 / 0


5. Wie entsteht diese Figur?
Du kannst das bestimmt ohne Hinweis lösen, oder? [Anzeigen]

6. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, wenn h2= 4cm und c= 4cm ist

Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC ist: (Zahl eintragen)cm²

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks M2 Mb C. Überlege, welche Länge die Strecke [ Ma Mb] besitzt.

Der Flächeninhalt des Dreiecks MaMbC ist (Zahl eintragen)cm²

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.

Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist: (Zahl eintragen)cm²



Wie kann man für diese Methode die Flächeninhaltsformel des Dreiecks herleiten??

  • Es gilt:

FParallelogramm =                    

  • Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt:

FParallelogrammk =                    

  • Für die Höhen gilt:
                    =                     \cdot h2
  • Einsetzen in Formel für Parallelogramm:
FDreieck =                    

FDreieck{1 \over 2} g \cdot h2{1 \over 2}g \cdot h1h1


Ebert MotivatorRot.jpg Wie Du siehst, ähneln sich diese beiden Herleitungsideen 2 und 3:

  • In der ersten Variante zerlegt man das Dreieck geeignet und ergänzt zum Rechteck mit gleicher Grundseite und halber Höhe...
Ebert Herleitung2.jpg
  • und in der zweiten Variante zerlegt man das Dreieck und ergänzt zu einem Parallelogramm mit gleicher Länge der Grundseite und halber Höhe
Ebert Herleitung3.jpg











Herleitungsidee 4
  1. Welche Figur ensteht?
  2. Um welche Punkte werden jeweils die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht?
  3. Welche Höhe besitzt die erhaltene Figur?
  • Vergleiche Deine Lösungen mit Maja´s Lösungen.
    Ebert MotivatorGrün.jpg

[Lösung anzeigen]


4. Zeige, dass die Grundseite g der neuen Figur halb so lang ist, wie die Grundseite des Dreiecks!
Tipp: Ergänze zum Rechteck und beobachte dabei die Teilstrecken s und t

  • Die Grundseite des Dreiecks setzt sich zusammen aus:

                    = s + s + t + t
Vereinfachen liefert: gDreieck =                     + 2\cdot                     = 2 \cdot(s + t)

  • Für die Grundseite des Rechtecks gilt:

gRechteck=                    

  • Setzt man gRechteck in die Formel für gDreieck und stellt um, so erhält man:

=> gRechteck =                    

t{1 \over 2} \cdot gDreiecks + t2 \cdot sgDreieck


Wie kann man daraus die Flächeninhaltsformel für das Dreieck berechnen?
  • Für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt:

FRechteck =                     \cdot h

  • Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt:
FRechteck =                    
  • Für die Grundseiten gilt:
gRechteck = {1 \over 2} \cdot                    
  • Einsetzen in Flächeninhaltsformel für das Rechteck:
FDreieck =                    

{1 \over 2} gDreieck \cdot hgRechteckgDreieckFDreieck



Ebert Maja.jpg
Ebert Lob3.jpg

Wow! Maja und Nils sind stolz auch Dich. Du hast nun auch den 3. Lernpfad erfolgreich bearbeitet!!'








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Übungsaufgaben zur Flächenberechnung am Dreieck

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