Die Quadratische Funktion der Form f(x) = (x - xs)² + ys - Die Scheitelpunktsform: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Lernpfad-M|<big>'''Die Quadratische Funktion der Form f(x)<math>=</math>(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>  -  Die Scheitelpunktsform'''</big>
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Version vom 20. August 2009, 09:06 Uhr

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Lernpfad

Die Quadratische Funktion der Form "f(x)=(x - xs)2 + ys" - Die Scheitelpunktsform


In diesem Lernpfad lernst du die Scheitelpunktsform kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad

  • Der Parameter ys stellt sich vor
  • Übungen zum Parameter ys
  • Der Parameter xs stellt sich vor
  • Übungen zum Parameter xs
  • Zusammenführung der Parameter ys und xs zur Scheitelpunktsform
  • Aufgaben zur Scheitelpunktsform



Im letzten Lernpfad hast du die quadratische Funktion "f(x) = x2" kennen gelernt.

In diesem Lernpfad wollen wir uns mit zwei weiteren Parametern beschäftigen.

Bevor wir beginnen, wollen wir noch einen neuen Begriff einführen, welcher später häufiger verwendet wird.

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Die quadratische Funktion "f(x)=x2" ist eine spezielle Parabel. Von ihr aussgehend werden alle Veränderungen betrachtet und man nennt sie deshalb Normalparabel



STATION 1: Der Parameter ys stellt sich vor


Zunächst betrachten wir den Parameter ys, welcher zur quadratischen Funktion "f(x) = x2" dazuaddiert wird. Die quadratische Funktion schaut dann wie folgt aus: 

                                    f(x) = x2 + ys


Bearbeite das folgende Arbeitsblatt und entdecke die Eigenschaften vom Parameter ys!

Quadratische Funktion f(x)=x2+ ys Hinweise, Aufgabe und Lückentext:

Hinweise:
* In der Grafik ist die Normalparabel schwarz-gestrichelt eingezeichnet und die von ys abhängige, quadratische Funktion blau
* Bediene den schwarzen Schieberegler ys mit gehaltener linker Maustaste, er verändert den Wert von ys
* Ziehe im Lückentext die möglichen Lösungen ebenfalls mit gehaltener linker Maustaste in die richtigen Felder.

Aufgabe:
Bediene den Schieberegler ys. Welche Veränderungen bewirkt er?

Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:

Der Parameter ys verschiebt die Normalparabel auf der y-Achse. Dabei bleibt die verschobene Parabel kongruent zur Normalparabel.
Ist der Parameter ys positiv, so wird die Parabel um y Einheiten in Richtung der y-Achse nach oben verschoben.
Ist der Parameter ys hingegen negativ, so wird die Parabel um y Einheiten in Richtung der y-Achse nach unten verschoben.
Der Scheitelpunkt der Parabel befindet sich auf der y-Achse, genauer gesagt bei Punkt [0; ys]. Zudem ist die y-Achse die Symmetrieachse der Parabel.


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Für die quadratische Funktion f(x)=x² + ys gilt:

  • Der Graph entsteht aus der Normalparabel durch eine Verschiebung um y Einheiten auf der y-Achse → Der Graph ist kongruent zur Normalparabel
  • Für ys > 0 gilt: Verschiebung nach oben, um y Einheiten in Richtung der y-Achse
  • Für ys < 0 gilt: Verschiebung nach unten, um y Einheiten in Richtung der y-Achse
  • Der Scheitelpunkt liegt bei S (0; ys)
  • Die y-Achse ist Symmetrieachse


Es folgen nun einige Aufgaben, um das gerade erlernte Wissen zu vertiefen.



STATION 2: Übungen zum Parameter ys



1. Aufgabe: Zuordnung

Du siehst in der Grafik 5 verschiedene quadratische Funktionen. Ermittle zu den vorgegebenen Graphen die passende Funktionsgleichung.


Parabele1.jpg Parabele2.jpg Parabele3.jpg Parabele4.jpg Parabele5.jpg
y= x2 + 2,5 y= x2 + 1,5 y= x2 y= x2 - 3,5 y= x2 - 0,5




















2. Aufgabe:

Bestimme die Funktionsgleichung mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte: Ordne die richtigen Funktionsgleichungen zu!

Scheitelpunkt Funktionsgleichung
1. S (0\!\,|\!\,4,7) y= x2 + 4,7
2. S (0\!\,|\!\,-23) y= x2 - 23
3. S (0\!\,|\!\,-2,5) y= x2 - 2,5
4. S (0\!\,|\!\,0) y= x2
5. S (0\!\,|\!\,13) y= x2 + 13















3. Aufgabe:

Nun hast du die Funktionsgleichung gegeben. Finde den zugehörigen Scheitelpunkt S.

Funktionsgleichung Scheitelpunkt
1. y= x2 + 5,2 S [0; 5,2]
2. y= x2 - 3 S [0; -3]
3. y= x2 S [0; 0]
4. y= 3 + x2 S [0; 3]













4. Aufgabe: Zuordnung

Aufgabe Quadratische Funktion f(x)=x2+ ys
Gegeben sind 5 verschobene Parabeln.
Finde die zugehörigen Punkte, die auf der Parabel liegen.
Achtung, es liegt nur dann ein Punkt auf der Parabel, wenn durch Einsetzen eines x-Wertes der zugehörige y-Wert herauskommt.

Überlege dir rechnerisch, welcher Punkt zu welcher Parabel gehören könnte.
Überprüfe dein Ergebnis mit dem Applet rechts, durch Verschieben der Parabel mit dem Schieberegler.
Verschiebe dafür die Parabel entsprechend der Funktionsgleichung, suche den x-Wert und lies den y-Wert ab.
Als letztes ziehst du die Punkte zu den jeweilgen Funktionsgleichungen und überprüfst dein Ergebnis.

y = x² - 1 y = x² - 5 y = x² + 0 y = x² + 2 y = x² + 4
[3; 8] [3; 4] [2; 4] [1; 3] [2; 8]





STATION 3: Der Parameter xs stellt sich vor


Nachdem du jetzt den Parameter ys kennst, wollen wir uns nun mit dem Parameter xs beschäftigen. Er wird in die quadratische Funktion wie folgt integriert: 

                                       f(x) = (x - xs)2


Um die Eigenschaften vom Parameter xs zu erlernen, bediene den Schieberegler d in der Grafik, er verändert den Wert von xx und löse im Anschluss den Lückentext. Die blaue Parabel ist abhängig vom Parameter d und die schwarz-gestrichelte Parabel ist die Normalparabel. Ziehe anschließend die richtigen Textbausteine mit gehaltender linker Maustaste in die Lücken!

Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:

Der Parameter xs der quadratischen Funktion f(x) = (x - xs)² bewirkt eine Verschiebung der Normalparabel auf der x-Achse. Wie schon bei der Verschiebumg beim Parameter ys, ist die verschoebene Parabel kongruent zur Normalparabel. Mit Hilfe des Schiebereglers d stellt man fest, dass für positive xs-Werte eine Verschiebung um x-Einheiten nach rechts erfolgt. Ist der Wert von d negativ, so wird der Graph um x-Einheiten nach links verschoben.
Aber Achtung! Es wird ein kleines Verwirrspiel getrieben, denn für positive x-Werte lautet die Funktionsgleichung f(x) = [x - xs]. Man macht leicht den Fehler und denkt positiv müsste doch [x + xs]2 heißen. Da jedoch die Ausgangsfunktionsgleichung f(x) = (x - d)2 lautet, entsteht für positive d-Werte eine Differenz in der Klammer. Genau andersherum verhält es sich für negative xs-Werte, dort lautet die Funktionsgleichung f(x) = [x + xs]2. Für den Scheitelpunkt gelten die Koordinaten S [0; xs], denn der x-Wert bleibt immer Null. Als Symmetrieachse ergibt sich daher die Parallelachse zur y-Achse senkrecht zur x-Achse.


Das waren einige wichtige Erkenntnisse, die wir nachfolgend festhalten wollen!


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Für die quadratische Funktion f(x)=(x - xs)2 gilt:

  • Der Graph entsteht aus der Normalparabel durch eine Verschiebung um x Einheiten auf der x-Achse → Der Graph ist kongruent zur Normalparabel
  • Für xs > 0 gilt: Verschiebung nach rechts, um x Einheiten in Richtung der x-Achse
  • Für xs < 0 gilt: Verschiebung nach links, um x Einheiten in Richtung der x-Achse
  • Der Scheitelpunkt liegt bei S [xs;0]
  • Die Symmetrieachse ist die Parallelachse zur y-Achse, senkrecht zur x-Achse

Achtung!

  • Für xs > 0 mit einer Verschiebung nach rechts liegt die Gleichung der Form f(x) = (x – xs)2 vor.

Beispiel: f(x) = (x - 5)2 → Es steht zwar -5 aber es wurde die positive Zahl 5 in die Gleichung eingesetzt

  • Für xs < 0 mit einer Verschiebung nach links liegt die Gleichung der Form f(x) = (x + xs)2 vor.

Beispiel: f(x) = (x + 5)2 → Es steht zwar +5 aber es wurde die negative Zahl -5 in die Gleichung eingesetzt und daher ergibt sich für -5: f(x) = (x - xs)2 = (x - (-5))2 = (x + 5)2


Ebenso wie beim Parameter ys, folgen wieder einige Aufgaben, um auch die Eigenschaften des Parameters xs zu vertiefen.



STATION 4: Übungen zum Parameter xs


1. Aufgabe: Zuordnung

Du siehst in der Grafik 5 verschiedene quadratische Funktionen. Ordne jedem Graph die richtige Funktionsgleichung durch "drag and drop" zu:


Hilfe:
Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen!

Beispiel: Die erste Grafik hat die Funktionsgleichung f(x) = (x + 4,5)2


Parabeld-4,5.jpg Parabeld-2,5.jpg Parabeld0.jpg Parabeld2.jpg Parabeld5.jpg
y= [x - 4,5]2 y= [x + 2,5]2 y= [x + 0]2 y= [x - 2]2 y= [x - 5]2























2. Aufgabe:

Bestimme die Funktionsgleichung mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte: Ordne die richtigen Funktionsgleichungen zu!

Scheitelpunkt Funktionsgleichung
1. S (2,5\!\,|\!\,0) y= [x - 2,5]2
2. S (-3\!\,|\!\,0) y= [x + 3]2
3. S (120\!\,|\!\,0) y= [x - 120]2
4. S (0\!\,|\!\,0) y= x2
5. S (-7\!\,|\!\,0) y= [x + 7]2















3. Aufgabe:

Du siehst im folgendenden Koordinatensystem 3 Parabeln. Man kann diese 3 Parabeln durch bedienen der Schieberegler verschieben. Verschiebe die drei Parabeln so, dass sie den Platz für die folgenden Funktionsgleichungen annehmen. 

     f(x) = (x - 2)2
     f(x) = (x - 5)2
     f(x) = (x + 3)2

Überprüfe dann durch Anklicken des Kontrollkästchens, ob du die Aufgabe richtig gelöst hast. Überdecken die blau-gestrichelten Parabeln deine verschobenen Parabeln, dann hast du alles richtig gemacht.



STATION 5: Zusammenführung der Parameter ys und xs zur Scheitelpunktsform


Bevor wir nun die beiden Parameter ys und xs zusammenführen, wollen wir nochmal die wichtigsten Eigenschaften wiederholen. Löse dafür die folgende Zuordnung. Mal sehen wer am wenigstens Versuche braucht!


Vorgabe Passendes Puzzleteil
1. y= [x - 2]² S [2, 0]; S [xs, 0]
2. Verschiebung nach unten auf der y-Achse y= x² - ys
3. y= x² - 4 S [0, -4]; S [0, -ys]
4. Verschiebung nach links auf der x-Achse y= [x + xs]²
5. y= x² + 2 S [0, 2]; S [0, ys]
6. Verschiebung nach rechts auf der x-Achse y= [x - xs]²
7. Verschiebung nach oben auf der y-Achse y= x² + ys
8. y= [x + 4]² S [-4, 0]; S [-xs, 0]

















Jetzt sind wir an dem Punkt angekommen, an dem wir die Scheitelpunktsform aufstellen können.

Bisher habt ihr in dieser Lerneinheit die Parameter ys und xs einzeln kennen gelernt.

Ziel dieser Lerneinheit war die quadratische Funktion f(x) = (x - xs)2 + ys, in der beide Parameter gleichzeitig vorkommen.

Wie ihr gelernt habt, steht der Parameter ys für den y-Wert im Koordinatensystem und der Parameter xs für den x-Wert.

Genau bei diesem Punkt liegt der Scheitelpunkt der Parabel und man nennt deshalb die quadratische Funktion f(x) = (x - xs)2 + ys die Scheitelpunktsform.

Da sich nicht viel ändert, außer die Kombination der beiden Parameter, sollst du jetzt mit Hilfe der dargestellten Grafik das folgende Kreuzworträtsel lösen.


Quadratische Funktion f(x)=(x - xs)2 + ys Hinweise und Quiz:

Hinweise:
* In der Grafik siehst du die verschobene Normalparabel
* Mit den Schiebereglnern d und e kannst du die Lage der Parabel verändern
* Bediene die Schieberegler und versuche das folgende Quiz zu lösen

Quiz:

Beim Klick auf die Ziffern im Kreuzworträtsel öffnet sich ein Eingabefeld zum Eintragen. Erst wenn das komplette Rätsel ausgefüllt ist, können die Ergebnisse überprüft werden.

Scheitelpunkt Wie nennt man den Punkt S(xs, ys) der Parabel?
Scheitelpunktsform Wie nennt man die FORM der Funktionsgleichung f(x) = (x - xs)² + ys?
Symmetrieachse Wie nennt man die Achse, für die x = ys gilt?
Normalparabel Zu welcher Parabel sind die verschobenen Parabeln kongruent?
Unten In welche Richtung auf der x-Achse wird die Parabel f(x) = (x - 3)² - 4 verschoben?
x-Achse Auf welcher Achse bewirkt der Parameter xs eine Verschiebung?
Ebene Die Parameter xs und ys bewirken eine Verschiebung der Normalparabel in der...
y-Achse Auf welcher Achse bewirkt der Parameter ys eine Verschiebung?
Zwei Um wie viel Einheiten wir die Funktion f(x) = (x-5)² + 2 nach oben verschoben?




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Für die quadratische Funktion f(x)=(x - xs)2 + ys gilt:

  • Die Parameter xs und ys bewirken eine Verschiebung der Normalparabel in der Ebene → Der Graph von f ist kongruent zur Normalparabel
  • Man erhält den Graph von f durch verschieben der Normalparabel um x Einheiten entlang der x-Achse und um y Einheiten entlang der y-Achse
  • Der Scheitelpunkt der Parabel ist S [xs; ys]
  • Die Symmetrieachse hat die Gleichung x = ys



STATION 6: Aufgaben zur Scheitelpunktsform


1. Aufgabe: Multiple Choice

Kreuze alle richtigen Aussagen an!

f(x) = (x - 5)2 - 3 (!Die Parabel ist nach rechts und nach oben verschoben)(!Die Parabel hat den Scheitelpunkt S [-3, 5])(Die Parabel hat den Scheitelpunkt S [5, -3]) (!Die Parabel ist nach unten geöffnet) (Die Parabel ist nach rechts und nach unten verschoben)

f(x) = 5 + (x + 12)2 (!Es liegt keine Parabel vor) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach oben verschoben) (!Die Parabel ist um 12 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 12 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel liegt oberhalb der x-Achse) (!Die Parabel hat keine Symmetrieachse)

f(x) = x2 + 3 (!Die Parabel ist eine um 3 Einheiten nach links verschobene Normalparabel) (Die Parabel hat den Scheitelpunkt [0, 3]) (Die Symmetrieachse der Parabel ist die y-Achse) (!Die Parabel ist um eine Einheit nach rechts verschoben) (Die Parabel ist nach oben geöffnet)

f(x) =-5 + (x - 6)2 (!Die Funktionsgleichung ist keine quadratische Funktion) (!Die Parabel ist um 5 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel ist um 6 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten verschoben) (! Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten und um 6 Einheiten nach links veschoben)


































2. Aufgabe:

Gegeben ist der Scheitelpunkt S einer verschobenen Normalparabel. Finde zum jeweiligen Scheitelpunkt die richtige Funktionsvorschrift:

Scheitelpunkt Funktionsgleichung
1. S (2\!\,|\!\,-5) y= [x - 2]2 - 5
2. S (-3\!\,|\!\,-3) y= [x + 3]2 + 3
3. S (4\!\,|\!\,8) y= [x - 4]2 - 8
4. S (5\!\,|\!\,-2) y= [x - 5]2 - 2













3. Aufgabe-Zuordnung:

Finde die richtige Funktionsvorschrift für die Graphen!

Parabel1lo.jpg Parabel1ro.jpg Parabel1ru.jpg Parabel1lu.jpg
y= [x + 3]2 + 4 y= [x - 3]2 + 2 y= [x - 1]2 - 5 y= [x + 5]2 - 1





















4. Aufgabe: KNIFFELAUFGABE:

Zum Abschluss dieser Lektion noch eine kleine Aufgabe zum Nachdenken.
Gegeben ist die Funktion f(x) = (x + 3)2 + 1,5 und die Punkte W, X, T und P. Welche der folgenden Punkte liegt auf dem Graphen? 

     a)	W (0\!\,|\!\,1) 
     b)	X (0\!\,|\!\,10,5) 
     c)	T (-1\!\,|\!\,2) 
     d)	P (-3\!\,|\!\,1,5)

Überprüfe rechnerisch, welcher der Punkte auf der Parabel liegt.

Hilfe:

Setze den x-Wert in die Gleichung ein, wenn du den vorgegebenen y-Wert erhälst, dann liegt der Punkt auf der Parabel

Bediene nun noch den Schieberegler um den Graphen an die richtige Stelle zu positionieren. Mit dem Anklicken des Kontrollkästchens "Punkte" an, erkennst du, welche Punkte auf der Parabel liegen.


Prima!

Damit kennst du nun die Parameter xs und ys, welche für die Verschiebung der Parabel in der Ebene verantwortlich sind.

In der nächsten Lerneinheit lernst du dann Normalform kennen.

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