Abbildung durch zentrische Streckung: Unterschied zwischen den Versionen
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| + | :'''Vielleicht kannst du ihr helfen, indem du ihre Fragen beantwortest:''' | ||
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| + | {Kann eine Streckenlänge ein negatives Vorzeichen haben?} | ||
| + | +nein | ||
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| + | {Wie kann man eine negative Zahl in eine positive Zahl umwandeln, sodass der Wert '''gleich''' bleibt, | ||
| + | sich jedoch aber eine positive Zahl '''nicht''' in eine negative Zahl umwandelt?} | ||
| + | -durch Quadrieren | ||
| + | +mit Hilfe von Betragsstrichen | ||
| + | -durch Multiplikation mit -1 | ||
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| + | </quiz> | ||
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:'''k''' bezeichnet man als den '''Streckungsfaktor'''. Er gibt den Maßstab an, in dem das Bild vergrößert wurde. | :'''k''' bezeichnet man als den '''Streckungsfaktor'''. Er gibt den Maßstab an, in dem das Bild vergrößert wurde. | ||
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==3. Station: Berechnung der Streckenlängen und des Streckungsfaktors== | ==3. Station: Berechnung der Streckenlängen und des Streckungsfaktors== | ||
| − | :Wie ihr in der 2. Station schon herausgefunden habt ist die Bildstrecke |k|-mal so lang wie die Urbildstrecke | + | :Wie ihr in der 2. Station schon herausgefunden habt ist die Bildstrecke |k|-mal so lang wie die Urbildstrecke |
:Geometrisch bedeutet dies: <span style="text-decoration: overline;">ZP'</span> = |k| ∙ <span style="text-decoration: overline;">ZP</span> | :Geometrisch bedeutet dies: <span style="text-decoration: overline;">ZP'</span> = |k| ∙ <span style="text-decoration: overline;">ZP</span> | ||
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Version vom 1. Juli 2009, 11:03 Uhr
 Lernpfad
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1. Station: Ähnlichkeitsabbildung
- Hier siehst du Panto mit einer Taschenlampe. Schalte die Taschenlampe ein, dann leuchtet
- sie direkt auf einen grünen Strohhalm. An der Wand entsteht dabei ein Schatten.
- Verschiebe Panto näher an den Strohhalm heran, oder weiter von dem Strohhalm weg.
- Lies die folgenden Beobachtungen konzentriert durch und hake die richtigen Aussagen ab:
Wie ändert sich der Schatten durch das Verschieben? (Je näher Panto mit der Taschenlampe auf den Strohhalm leuchtet, desto größer ist der Schatten.) (!Je näher Panto mit der Taschenlampe auf den Strohhalm leuchtet, desto kleiner ist der Schatten.) (Je weiter Panto mit der Taschenlampe von dem Strohhalm entfernt ist, desto kleiner ist der Schatten.) (!Je weiter Panto mit der Taschenlampe von dem Strohhalm entfernt ist, desto größer ist der Schatten.)
- Lies den Text genau durch. Am Ende wirst du darüber abgefragt.
- Der Strohhalm wird als Urbild und der Schatten als Bild bezeichnet.
- Wie man sieht haben der Strohhalm und der Schatten verschiedene Größen, doch sie sind sich ähnlich.
- Deshalb spricht man von einer Ähnlichkeitsabbildung.
- Die Vergrößerung geht von einem Zentrum, in unserem Beispiel der Taschenlampe, aus. Man spricht hierbei von
- einer zentrischen Streckung. Das Streckungszentrum wird mit Z bezeichnet.
- Urbild, Bild und Streckungszentrum liegen auf den Lichtstrahlen, die von der Taschenlampe ausgehen. Diese
- Lichtstrahlen sind Halbgeraden.
2. Station: Streckungsfaktor
- In dem nächsten Fall ist das Urbild ein Dreieck, dass du zentrisch strecken kannst, indem du an dem Schieberegler ziehst.
- Der Schieberegler durchläuft die positiven Zahlen von k=0 bis k=3.
| Was verändert sich? Orientiere dich dabei an diesen Fragen:
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- Was sind die Unterschiede, wenn du dieses Dreieck zentrisch streckst? Dieses mal durchläuft der
- Schieberegler die negativen Zahlen von k=-3 bis k=0.
| Was verändert sich? Orientiere dich dabei an diesen Fragen:
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- Um herauszufinden was das k bedeutet, musst du dir jetzt bei dieser zentrischen Streckung anschauen, wie
- sich die Streckenlängen verändern, wenn du k veränderst. Dazu musst du dir die Streckenlängen anzeigen lassen.
| Was verändert sich? Orientiere dich dabei an diesen Fragen:
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- Die Werte, die sich aus der Änderung von k ergeben, wurden in zwei Tabellen zusammengefasst.
- In der linken sind die Werte für k von 2 bis 0, in der rechten für k von -2 bis 0.
- Arbeitsauftrag:
- 1. Betrachte zunächst nur die linke Tabelle und stelle eine Vermutung auf, wie sich die Länge von ZB' ändert im Vergleich zur Länge von ZB?
- (Tipp: Betrachte auch den Wert von k!)
- 2. Vergleiche die Zeilen mit der selben Hintergrundfarbe! Was haben sie gemeinsam? Was sind die Unterschiede?
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- Hier kannst du deine Vermutung mit der von Dia vergleichen:
1. 
ist k-mal so lang wie 
.
und bleiben gleich, wenn sich das Vorzeichen von k ändert.
- Dia ist nach ihren Vermutungen total verwirrt. Sie versteht nicht warum die Länge von ZB' gleich bleibt, wenn sich das Vorzeichen von k ändert.
- Vielleicht kannst du ihr helfen, indem du ihre Fragen beantwortest:
- k bezeichnet man als den Streckungsfaktor. Er gibt den Maßstab an, in dem das Bild vergrößert wurde.
3. Station: Berechnung der Streckenlängen und des Streckungsfaktors
- Wie ihr in der 2. Station schon herausgefunden habt ist die Bildstrecke |k|-mal so lang wie die Urbildstrecke
- Geometrisch bedeutet dies: ZP' = |k| ∙ ZP
P'Q' = |k| ∙ PQ
P'Q' = |k| ∙ ZQ - |k| ∙ ZP
P'Q' = |k| ∙ (ZQ - ZP)
P'Q' = |k| ∙ PQ
4. Station: Zusammenfassung
- Schreibe dir diese Zusammenfassung in dein Heft.
Abbildungsvorschrift der zentrischen Streckung
Wenn eine Vergrößerung von einem Zentrum ausgeht, dann spricht man von einer zentrischen Streckung.
Sie wird festgelegt durch Angabe eines Streckungszentrums Z und eines Streckungsfaktors k. (Kurz: )
Der Urpunkt P, der Bildpunkt P' und das Streckungszentrum Z liegen auf einer Geraden.
Es gilt: ZP' = |k| ∙ ZP
Bei |k|>1 liegt eine Vergrößerung, bei 0<|k|<1 eine Verkleinerung vor.
Wenn k=1 ist liegt die Identität vor, bei k= -1 eine Spiegelung.
Für k>0 gilt: Urpunkt und Bildpunkt liegen auf der gleichen Seite von Z.
Für k<0 gilt: Urpunkt und Bildpunkt liegen auf verschiedenen Seiten von Z.
5. Station: Übung
- Das Bild zeigt eine zentrische Streckung.
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