Flächeninhalt ebener Figuren- Teil 2: Unterschied zwischen den Versionen

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# Verfolge die in der Darstellung angegebenen Schritte 1-3
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# Beobachte was passiert. Hilft uns dieses Modell weiter, die Formel zu finden?
 
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Super! Du hast die Flächeninhaltsformel für Dreiecke gefunden.
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'''Begründe,''' warum man die Formel auf diesem Wege herleiten kann.<br>
 
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In dem Modell, das für die Herleitung der Flächeninhaltsformel hilfreich war, wurde die '''Ergänzungsgleichheit''' genutzt.
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Man '''ergänzt''' das Dreieck mit einem, zu diesem Dreieck, '''kongruenten zweiten Dreieck''' zu einem '''Parallelogramm'''. Dieses besitzt dieselbe '''Länge''' der Grundseite und dieselbe '''Länge der Höhe''', wie das Ausgangsdreieck. Somit lässt sich Der '''Flächeninhalt''' des Parallelogramms berechnen. Da sich die '''Gesamtfläche des Parallelogramms''' aus den '''zwei Teilflächen''' der zueinander kongruenten '''Dreiecke''' zusammensetzt ist ein Dreieck damit '''halb so groß''' wie das Parallelogramm mit derselben Grundseite und Höhe.
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:'''Aber nicht nur durch das Prinzip der Ergänzung kann man die Flächeninhaltsformel herleiten Ein ähnliches Prinzip hast Du auch schon kennen gelernt.''' '''Fülle den folgenden Lückentext aus. '''
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'''Zerlegungsgleichheit''' ist das Stichwort!  
 
'''Zerlegungsgleichheit''' ist das Stichwort!  
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Diese '''Halbierung''' zerlegt das Parallelogramm in '''zwei kongruente Dreiecke''', die jeweils den '''gleichen ''' Flächeninhalt besitzen und deren '''Gesamtflächeninhalt''', also dem des Parallelogramms entspricht. Ein Dreieck ist damit '''halb(4 geteilt durch 2)''' so groß wie ein Parallelogramm mit derselben '''Grundseite''' und '''Höhe (vier Buchstaben)'''.
 
Diese '''Halbierung''' zerlegt das Parallelogramm in '''zwei kongruente Dreiecke''', die jeweils den '''gleichen ''' Flächeninhalt besitzen und deren '''Gesamtflächeninhalt''', also dem des Parallelogramms entspricht. Ein Dreieck ist damit '''halb(4 geteilt durch 2)''' so groß wie ein Parallelogramm mit derselben '''Grundseite''' und '''Höhe (vier Buchstaben)'''.
 
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Mit dem '''Prinzip der Ergänzungsgleichheit''' geht man von dem '''unbekannten Flächeninhalt (Dreieck) '''aus und versucht die Figur geeignet zu ergänzen , um sich die '''bekannte Flächeninhaltsformel (des Parallelogramms)'''zu nutze zu machen.
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Beim '''Prinzip der Zerlegungsgleichheit''' geht man von einer bereits bekannten Flächeninhaltsformel (Parallelogramm) aus und versucht durch geeignete Zerlegung, die '''unbekannte Formel zu ermitteln.'''
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Version vom 3. Juli 2009, 13:22 Uhr

Flächeninhalt Dreieck

Einstieg

Vorüberlegungen: Dem Dreieck auf der Spur

1. Teil: Wie ändert sich der Flächeninhalt?


 Aufgabenstellung:

Ziehe am Eckpunkt C des Dreiecks ABC. Beobachte, wie sich der Flächeninhalt verändert.

  1. Wann wird der Flächeninhalt größer?
  2. Wann wird der Flächeninhalt kleiner?
  3. Wann ändert sich der Flächeninhalt kaum, bzw. gar nicht?
  4. Auf welcher Linie musst Du C bewegen, damit der Flächeninhalt gleich bleibt?


Lösung

2. Teil: TITEL

Aufgabenstellung:
  1. Ziehe am Eckpunkt C und beobachte, wie sich der Flächeninhalt verändert.
  2. Welche Eigenschaft besitzt die Linie, auf der sich C bewegt?

Lösung:


Die Flächeninhaltsformel des Dreiecks


Mathematik scheint manchmal wie Zauberei...Warum?? Das erfährst Du im nächsten Abschnitt.

Fast wie Zauberei! Zweimal Unbekannt = Bekannt?


Wir wollen die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herausfinden.
Doch, wie könnte man das nur machen?
In diesem Applet siehst Du das Dreieck ABC. Bearbeite die nebenstehende Aufgabenstellung.

Aufgabenstellung:
  1. Verfolge die in der Darstellung angegebenen Schritte 1-3.
  2. Beobachte was passiert. Hilft uns dieses Modell weiter, die Formel zu finden?


Leite daraus die Flächeninhaltsformel für Dreiecke her!
Bedenke, welche Flächeninhaltsformel Du vor Kurzem erst Kennen gelernt hast
Aufgabenstellung: Ergänze die fehlenden Felder in der Rechnung.
Gesucht: FDreieck

FDreieck = ??

FParallelogramm = g \cdot h
FParallelogramm = FDreieck + FDreieck
FParallelogramm = 2 \cdot FDreieck
g \cdot h = 2 \cdot FDreieck
{1 \over 2} \cdot g \cdot h = FDreieck


Super! Du hast die Flächeninhaltsformel für Dreiecke gefunden.


Begründe, warum man die Formel auf diesem Wege herleiten kann.

In dem Modell, das für die Herleitung der Flächeninhaltsformel hilfreich war, wurde die Ergänzungsgleichheit genutzt. Man ergänzt das Dreieck mit einem, zu diesem Dreieck, kongruenten zweiten Dreieck zu einem Parallelogramm. Dieses besitzt dieselbe Länge der Grundseite und dieselbe Länge der Höhe, wie das Ausgangsdreieck. Somit lässt sich Der Flächeninhalt des Parallelogramms berechnen. Da sich die Gesamtfläche des Parallelogramms aus den zwei Teilflächen der zueinander kongruenten Dreiecke zusammensetzt ist ein Dreieck damit halb so groß wie das Parallelogramm mit derselben Grundseite und Höhe.






Aber nicht nur durch das Prinzip der Ergänzung kann man die Flächeninhaltsformel herleiten Ein ähnliches Prinzip hast Du auch schon kennen gelernt. Fülle den folgenden Lückentext aus.


Zerlegungsgleichheit ist das Stichwort! Ausgehend vom Parallelogramm lässt sich die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herleiten, indem man ein Parallelogramm geeignet halbiert. Man halbiert hier dies entlang einer Diagonalen. Diese Halbierung zerlegt das Parallelogramm in zwei kongruente Dreiecke, die jeweils den gleichen Flächeninhalt besitzen und deren Gesamtflächeninhalt, also dem des Parallelogramms entspricht. Ein Dreieck ist damit halb(4 geteilt durch 2) so groß wie ein Parallelogramm mit derselben Grundseite und Höhe (vier Buchstaben).





Wie Du siehst gibt es mehrere Ansatzmöglichkeiten, um ein Problem, wie die Suche nach der Flächeninhaltsformel zu lösen.


Mit dem Prinzip der Ergänzungsgleichheit geht man von dem unbekannten Flächeninhalt (Dreieck) aus und versucht die Figur geeignet zu ergänzen , um sich die bekannte Flächeninhaltsformel (des Parallelogramms)zu nutze zu machen.
Beim Prinzip der Zerlegungsgleichheit geht man von einer bereits bekannten Flächeninhaltsformel (Parallelogramm) aus und versucht durch geeignete Zerlegung, die unbekannte Formel zu ermitteln.



Zusammenfassung



Übertrage den roten Merkkasten in dein Heft, damit Du die Flächeninhaltsformel für Dreiecke auch Zuhause nachschauen kannst:

Merke:
Den Flächeninhalt des Dreiecks berechnet man durch:

FDreieck = {1 \over 2} \cdot g \cdot h
mit g als Grundseite und h als der dazugehörigen Höhe.


Vertiefen und Erweitern


Du hast nun eine Möglichkeit kennen gelernt, wie man die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herleiten kann. Dies ist aber natürlich nicht der einzige Lösungsansatz.
Im nächsten Abschnitt lernst Du weitere kennen. Versuche die Lösungsideen nachzuvollziehen und bearbeite die Aufgabenstellungen. Leite daraus jeweils algebraisch die Flächeninhaltsformel für Dreiecke her.

Herleitungsidee 2

Aufgabenstellung:

  1. Wie wurde das Dreieck zerlegt?
  2. Welche Figur ensteht?
  3. Wie erhält man die Figur?
  4. Um welche Punkte werden die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht?
  5. Welche Höhe besitzt die neue Figur, im Vergleich zum Ursprungsdreieck?
  6. Welche Länge besitzt ihre Grundseite?

</div>

Aufgabenstellung:
  1. Wie wurde das Dreieck zerlegt?
  2. Welche Figur ensteht bei der Ergänzung?
  3. Wie entsteht diese Figur?
  4. Um welchen Punkt wird das kleine Teildreieck gedreht? Um wieviel Grad wird es gedreht?
  5. Welche Höhe besitzt die neue Figur im Vergleich zum Dreieck
Aufgabenstellung:
  1. Wie wurde das Dreieck zerlegt?
  2. Welche Figur ensteht bei der Ergänzung?
  3. Um welchen Punkt werden jeweils die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht?
  4. Welche Höhe besitzt die erhaltene Figur?
  5. Zeige, dass die Grundseite der neuen Figur halb so lang ist, wie die Grundseite des Dreiecks!
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