Satz des Pythagoras: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 15. September 2010, 14:16 Uhr

Lernpfad In diesem Kapitel lernst du den Satz des Pythagoras kennen

Der Satz des Pythagoras funktioniert bei allen Dreiecken mit einem rechten Winkel.
Du bist ja nun schon ein richtiger Dreieck-Experte.
Wie war das noch gleich mit dem rechtwinkligen Dreieck?

In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die längste Seite immer Hypotenuse und die anderen beiden Seiten Katheten. Die Hypotenuse liegt immer gegenüber des 90°-Winkels. Die beiden Katheten schließen immer den 90°-Winkel ein.

In dieser Zeichnung habe ich dir ein rechtwinkliges Dreieck mitgebracht.
Ich habe über jeder Kathete und über der Hypotenuse jeweils ein Quadrat gemalt.
Die Seiten des Quadrats sind immer genauso lang wie die jeweilige Kathete oder Hypotenuse.
Wenn du auf „Abspielen“ drückst, kannst du dir anschauen, wie ich es gezeichnet habe.

Das war leicht, oder?
Die Fläche dieser Quadrate (A) kann man sogar ausrechnen.
Weißt du noch wie das geht? Schauen wir uns doch dazu ein Quadrat einmal genauer an:

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Merke Die Fläche des Quadrats (A) berechnet man mit der Formel Länge mal Breite.

So, jetzt bist du aber endlich soweit, dass du das Geheimnis erfahren darfst.
Pythagoras von Samos hat eine tolle Entdeckung gemacht.
Wenn du dir das nächste rechtwinklige Dreieck ansiehst, kommst du bestimmt selbst darauf.

Ich finde das super! Was hast du denn herausgefunden?
Halt! Verrate es noch nicht.
Versuche es mir doch mit Hilfe der nächsten Aufgabe zu erklären.

Genau! Wenn ich ein rechtwinkliges Dreieck habe und über den Seiten jeweils das Quadrat gemalt habe, dann sind die beiden Kathetenquadrate zusammen immer so groß wie das Hypotenusenquadrat. Aber Vorsicht: Das gilt nur bei einem rechtwinkligen Dreieck. Damit du das noch etwas besser verstehen kannst, möchte ich mit dir zusammen eine kleine Übungsaufgabe machen. Schau sie dir mit mir zusammen einmal an.

1. Du hast ein rechtwinkliges Dreieck gegeben mit Hypotenuse c=5 cm, Kathete a=4 cm und Kathete b=3 cm.
2. Zeichne nun über jeder Seite ein Quadrat.
3. Berechne für jedes Quadrat den Flächeninhalt.
   Zur Erinnerung: A = a²
4. Addiere die Flächen der Quadrate über a und über b (=Kathetenquadrate).
5. Vergleiche dieses Ergebnis mit der Fläche des Quadrates über c.
   (= A₃ = Hypotenusenquadrat)
6. Die Flächen der Kathetenquadrate sind zusammen genauso groß wie das Hypotenusenquadrat.

Der Satz des Pythagoras

Sind a,b,c die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit c als Hypotenuse, so gilt :

a² + b² = c²

In Worten : Die Summe der Quadrate über den Katheten ist gleich dem Quadrat über der Hypotenuse.

Umkehrung: Gilt in einem Dreieck a²+b²=c², dann ist dieses Dreieck rechtwinklig und der rechte Winkel liegt gegenüber von c.

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