Abschwächung der Gruppendefinition: Unterschied zwischen den Versionen
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+ | *An gewissen Stellen in den Umformungen sind Klammern weggelassen worden. Denn wir wissen, dass die Verknüpfung assoziativ ist. Es gilt also: | ||
− | + | :Man kann dann induktiv zeigen, dass für ein "Produkt" endlich vieler Faktoren | |
+ | :jede Klammerung, auf dasselbe Element abgebildet wird. Für ein Produkt ist jede Klammerung äquivalent zu jeder anderen. <br/> | ||
+ | *Wir verwerden in den einzelnen Schritten sowohl, dass es ein rechtsneutrales Element existiert, als auch, dass rechtsinverse Element existieren. Ebenso die Assoziativität. Alle drei Vorraussetzungen werden verwendet. <br/> | ||
− | == | + | *Falls eine Halbgruppe ein linksneutrales Element und linksinverse Elemente enthält, kann analog gefolgert werden, dass ein linksneutrales Element auch rechtsneutral ist und, dass die linksinversen Elemente auch rechtsinvers sind. <br/> |
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+ | *Da links- und rechtsinvers in einer Gruppe zusammenfällt. Fassen wir diese Eigenschaften zusammen und sagen: Es existieren inverse Elemente. <br/> | ||
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+ | *Im zweiten Teil der Aussage (2) verwenden wir, dass ein rechtsinverses Element auch linksinvers ist. Deswegen ist es gut und Absicht, dass wir zuerst (1) bewiesen haben. <br/> | ||
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+ | *G hat rechtsinverse Element, d.h. zu jedem Element <math> x \in G </math> existiert ein Element aus G, welches wir mit <math> x^{-1} </math> bezeichnen und für dieses gilt: <math> x \cdot x^{-1} = e </math>. <math> x^{-1} </math> ist ein Element aus G. D.h. auch für dieses Element ein rechtsinverses Element geben. Dieses bezeichnen wir mit <math> (x^{-1})^-1 </math>. Es stellt sich heraus, dass <math> (x^{-1})^-1 = x </math> [[Doppelte Inversion eines Gruppenelements|Zum Beweis]] <br/> | ||
− | + | *<math> a \cdot b </math> ist auch ein Element aus G, weil die Verknüpfung <math> \cdot </math> wieder nach G abbildet (innere Verknüpfung). Also muss es auch ein inverses Element zu <math> a \cdot b </math> geben. Es stellt sich heraus, dass <math> (a \cdot b)^{-1} = b^{-1} \cdot a^{-1} </math> ist. [[Shoes and Socks|Zum Beweis]] <br/> |
Version vom 25. November 2018, 18:41 Uhr
Aussage
Sei eine Halbgruppe (d.h. Zweistellige Verknüpfung + Abgeschlossenheit + Assoziativität). Hat G rechtsinverse Elemente
und ein rechtsneutrales Element
. Dann sind die rechtsinversen Elemente auch linksinvers und das rechtsneutrale Element auch linksneutral.
Beweis
Die Aussage enthält zwei Teilaussagen, die wir nacheinander beweisen:
1. Die rechtsinversen Elemente sind auch linksinvers.
2. Ein rechtsneutrales Element ist auch linksneutral.
Aspekte
- An gewissen Stellen in den Umformungen sind Klammern weggelassen worden. Denn wir wissen, dass die Verknüpfung assoziativ ist. Es gilt also:
- Man kann dann induktiv zeigen, dass für ein "Produkt" endlich vieler Faktoren
- jede Klammerung, auf dasselbe Element abgebildet wird. Für ein Produkt ist jede Klammerung äquivalent zu jeder anderen.
- Wir verwerden in den einzelnen Schritten sowohl, dass es ein rechtsneutrales Element existiert, als auch, dass rechtsinverse Element existieren. Ebenso die Assoziativität. Alle drei Vorraussetzungen werden verwendet.
- Falls eine Halbgruppe ein linksneutrales Element und linksinverse Elemente enthält, kann analog gefolgert werden, dass ein linksneutrales Element auch rechtsneutral ist und, dass die linksinversen Elemente auch rechtsinvers sind.
- Da links- und rechtsinvers in einer Gruppe zusammenfällt. Fassen wir diese Eigenschaften zusammen und sagen: Es existieren inverse Elemente.
- Im zweiten Teil der Aussage (2) verwenden wir, dass ein rechtsinverses Element auch linksinvers ist. Deswegen ist es gut und Absicht, dass wir zuerst (1) bewiesen haben.
- G hat rechtsinverse Element, d.h. zu jedem Element
existiert ein Element aus G, welches wir mit
bezeichnen und für dieses gilt:
.
ist ein Element aus G. D.h. auch für dieses Element ein rechtsinverses Element geben. Dieses bezeichnen wir mit
. Es stellt sich heraus, dass
Zum Beweis
ist auch ein Element aus G, weil die Verknüpfung
wieder nach G abbildet (innere Verknüpfung). Also muss es auch ein inverses Element zu
geben. Es stellt sich heraus, dass
ist. Zum Beweis