Abschwächung der Gruppendefinition: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 25. November 2018, 17:47 Uhr
Aussage
Sei 
eine Halbgruppe (d.h. Zweistellige Verknüpfung + Abgeschlossenheit + Assoziativität). Hat G rechtsinverse Elemente 
und ein rechtsneutrales Element 
. Dann sind die rechtsinversen Elemente auch linksinvers und das rechtsneutrale Element auch linksneutral.
Beweis
Die Aussage enthält zwei Teilaussagen, die wir nacheinander beweisen:
1. Die rechtsinversen Elemente sind auch linksinvers.
2. Ein rechtsneutrales Element ist auch linksneutral.
Aspekte
- An gewissen Stellen in den Umformungen sind Klammern weggelassen worden. Denn wir wissen, dass die Verknüpfung assoziativ ist. Es gilt also:
- Man kann dann induktiv zeigen, dass für ein "Produkt" endlich vieler Faktoren
- jede Klammerung, auf dasselbe Element abgebildet wird. Für ein Produkt ist jede Klammerung äquivalent zu jeder anderen.
- Wir verwerden in den einzelnen Schritten sowohl, dass es ein rechtsneutrales Element existiert, als auch, dass rechtsinverse Element existieren. Ebenso die Assoziativität. Alle drei Vorraussetzungen werden verwendet.
- Falls eine Halbgruppe ein linksneutrales Element und linksinverse Elemente enthält, kann analog gefolgert werden, dass ein linksneutrales Element auch rechtsneutral ist und, dass die linksinversen Elemente auch rechtsinvers sind.
- Da links- und rechtsinvers in einer Gruppe zusammenfällt. Fassen wir diese Eigenschaften zusammen und sagen: Es existieren inverse Elemente.
- Im zweiten Teil der Aussage (2) verwenden wir, dass ein rechtsinverses Element auch linksinvers ist. Deswegen ist es gut und Absicht, dass wir zuerst (1) bewiesen haben.
- G hat rechtsinverse Element, d.h. zu jedem Element
existiert ein Element aus G, welches wir mit bezeichnen und für dieses gilt: 
. ist ein Element aus G. D.h. auch für dieses Element ein rechtsinverses Element geben. Dieses bezeichnen wir mit 
. Es stellt sich heraus, dass 
Zum Beweis
ist auch ein Element aus G, weil die Verknüpfung 
wieder nach G abbildet (innere Verknüpfung). Also muss es auch ein inverses Element zu geben. Es stellt sich heraus, dass 
ist. Zum Beweis
