Vertiefen und Erweitern zum Flächeninhalt des Dreiecks: Unterschied zwischen den Versionen

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===Vertiefen und Erweitern===
 
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:'''Du hast nun eine Möglichkeit kennen gelernt, wie man die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herleiten kann.  
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:Dies ist aber natürlich nicht der einzige Lösungsansatz. <br>
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:'''Im nächsten Abschnitt lernst Du weitere kennen. '''
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:Versuche die Lösungsideen nachzuvollziehen und bearbeite die Aufgabenstellungen. Leite daraus jeweils algebraisch die Flächeninhaltsformel für Dreiecke her.'''
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====Herleitungsidee 2====
 
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#Wie erhält man die Figur? <br>
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#Um welche Punkte werden die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht?<br>
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#'''Welche Höhe''' besitzt die neue Figur, '''im Vergleich''' zum Ursprungsdreieck?<br>
 
#'''Welche Höhe''' besitzt die neue Figur, '''im Vergleich''' zum Ursprungsdreieck?<br>
 
#'''Welche Länge hat Grundseite im Vergleich zur Ausgangsfigur?
 
#'''Welche Länge hat Grundseite im Vergleich zur Ausgangsfigur?
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#Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks. '''Die Längenangaben sind in Zentimetern''':
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Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von '''8 (cm²)'''
 
Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von '''8 (cm²)'''
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*'''Maja und Nils berechnen den Flächeninhalt des grünen Dreiecks.'''  
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*'''Sie schreiben ihre Lösungswege auf. Welcher Lösungsweg passt zu den Überlegungsfiguren?'''
 
*'''Sie schreiben ihre Lösungswege auf. Welcher Lösungsweg passt zu den Überlegungsfiguren?'''
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*Nils rechnet so: F<sub>Dreieck</sub> = ( 8 <math>\cdot</math> 3 ): 2= 12 gehört zur '''Skizze I'''
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*Nils rechnet so: F<sub>Dreieck</sub> = ( 8 <math>\cdot</math> 3 ): 2= 12 . Das gehört zur '''Skizze I'''
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*Maja rechnet so: F<sub>Dreieck</sub> = 8 <math>\cdot</math> ( 3 : 2 ) = 8 <math>\cdot</math> 1,5 = 12 gehört zur '''Skizze II'''
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*Maja rechnet so: F<sub>Dreieck</sub> = 8 <math>\cdot</math> ( 3 : 2 ) = 8 <math>\cdot</math> 1,5 = 12 : Das gehört zur '''Skizze II'''
 
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{ Um '''welchen Punkt''' wird das kleine Teildreieck gedreht? }
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+Seitenmittelpunkt M<sub>2</sub>  
 
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-Seitenmittelpunkt M<sub>b</sub>
 
-Seitenmittelpunkt M<sub>b</sub>
 
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{ Um wieviel Grad wird es gedreht? }
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{ Welche '''Höhe''' besitzt die '''neue Figur''' im Vergleich zum Dreieck. Sie ist... }
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-genauso groß, wie die des Ausgangsdreiecks.
 
-genauso groß, wie die des Ausgangsdreiecks.
 
+halb so groß, wie die des Ausgangsdreiecks.  
 
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Bist du sicher, dass Du den Hinweis brauchst??{{ versteckt | Es wurde die zur Grundseite parallele Strecke zwischen den Seitenmittelpunkten  eingezeichnet. }}
 
Bist du sicher, dass Du den Hinweis brauchst??{{ versteckt | Es wurde die zur Grundseite parallele Strecke zwischen den Seitenmittelpunkten  eingezeichnet. }}
  
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'''6.''' '''Wieentsteht diese Figur? ''' <br> Du kannst das bestimmt ohne Hinweis lösen, oder? {{ versteckt | Das Parallelogramm ensteht durch Zerlegung des großen Dreiecks in ein kleines Teildreieck und ein Trapez. Durch Drehen des kleinen Teildreiecks ergänzt man das Trapez zum Parallelogramm. Damit ist klar, dass es sich um eine Kongruenzabbildung handelt}}
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'''6.''' '''''Wie entsteht diese Figur? ''''' <br> '''Du kannst das bestimmt ohne Hinweis lösen, oder?''' {{ versteckt | Das Parallelogramm ensteht durch Zerlegung des großen Dreiecks in ein kleines Teildreieck und ein Trapez. Durch Drehen des kleinen Teildreiecks ergänzt man das Trapez zum Parallelogramm. Damit ist klar, dass es sich um eine Kongruenzabbildung handelt}}
  
 
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'''Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, wenn h<sub>2</sub>= 4cm  und c= 4cm ist '''
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'''''Berechne den Flächeninhalt des <span style="color: green">Dreiecks ABC</span>, wenn <span style="color: blue">h<sub>2</sub>= 4cm</span> und <span style="color: red">c= 4cm</span> ist '''''
 
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Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC ist: '''16 (cm²)'''
 
Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC ist: '''16 (cm²)'''
 
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'''Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks M<sub>2</sub> M<sub>b</sub>  C. Überlege, welche Länge die Strecke [ M<sub>2</sub> M<sub>b</sub>] besitzt.'''<br>
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'''''Berechne den Flächeninhalt des <span style="color:green">Dreiecks M<sub>2</sub> M<sub>b</sub>  C</span>. Überlege, welche Länge die <span style="color: red">Strecke [ M<sub>2</sub> M<sub>b</sub>]</span> besitzt.'''''<br>
 
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Der Flächeninhalt des Dreiecks M<sub>2</sub> M<sub>b</sub>  C ist '''4(cm²)'''
 
Der Flächeninhalt des Dreiecks M<sub>2</sub> M<sub>b</sub>  C ist '''4(cm²)'''
 
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'''Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.'''  
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Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist: '''16(cm²)'''
 
Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist: '''16(cm²)'''
 
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'''Wie kann man für diese Methode die Flächeninhaltsformel des Dreiecks berechnen??'''
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'''''Wie kann man für diese Methode die Flächeninhaltsformel des Dreiecks herleiten??'''''
 
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F<sub>Parallelogramm</sub> =  '''g  <math>\cdot</math>  h<sub>2</sub> '''<br>
 
F<sub>Parallelogramm</sub> =  '''g  <math>\cdot</math>  h<sub>2</sub> '''<br>
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'''Wie Du siehst, ähneln sich diese beiden Herleitungsideen 2 und 3: <br>
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'''''Wie Du siehst, ähneln sich diese beiden Herleitungsideen 2 und 3:'''''' <br>
 
In der '''ersten Variante''' zerlegt man das Dreieck geeignet und ergänzt zum Rechteck  mit gleicher Grundseite und halber Höhe...<br>  
 
In der '''ersten Variante''' zerlegt man das Dreieck geeignet und ergänzt zum Rechteck  mit gleicher Grundseite und halber Höhe...<br>  
 
und in der '''zweiten Variante''' zerlegt man das Dreieck und ergänzt zu einem Parallelogramm mit '''gleicher Länge der Grundseite und halber Höhe'''.'''   
 
und in der '''zweiten Variante''' zerlegt man das Dreieck und ergänzt zu einem Parallelogramm mit '''gleicher Länge der Grundseite und halber Höhe'''.'''   
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:  '''Wir haben für die Hilfsfigur, deren Flächeninhalt man kennt das Ausgangsdreieck so zerlegt, dass die Höhe halbiert und die Länge der Grundseite gleich beibehalten wird. <br>
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:  '''''Wir haben für die Hilfsfigur, deren Flächeninhalt man kennt das Ausgangsdreieck so zerlegt, dass die Höhe halbiert und die Länge der Grundseite gleich beibehalten wird.''''' <br>
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: Wie Du ahnst gibt es noch eine weitere Möglichkeit:'''
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: '''''Wie Du ahnst gibt es noch eine weitere Möglichkeit:'''''
  
 
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Wow! Maja und Nils sind stolz auch Dich. Du hast den 3. Lernpfad erfolgreich bearbeitet!!
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Für absolute Profis gibt es hier noch einen 4 Lernpfad.
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'''''Für absolute Profis gibt es hier noch einen 4 Lernpfad.
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Da kannst Du zeigen, was in dir steckt!
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Da kannst Du zeigen, was in dir steckt!'''''
 
[[Benutzer:Anja Ebert/Aufgabensammlung zur Flächeninhaltsberechnung| Hier geht es zum 4. Lernpfad]]
 
[[Benutzer:Anja Ebert/Aufgabensammlung zur Flächeninhaltsberechnung| Hier geht es zum 4. Lernpfad]]

Version vom 16. Juli 2009, 11:35 Uhr

Für die ganz Schnellen:

Vertiefen und Erweitern


Du hast nun eine Möglichkeit kennen gelernt, wie man die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herleiten kann. '
Dies ist aber natürlich nicht der einzige Lösungsansatz.
Im nächsten Abschnitt lernst Du weitere kennen.
Versuche die Lösungsideen nachzuvollziehen und bearbeite die Aufgabenstellungen. Leite daraus jeweils algebraisch die Flächeninhaltsformel für Dreiecke her.


Herleitungsidee 2

Aufgabenstellung:

  1. Welche Figur entsteht?
  2. Wie erhält man die Figur?
  3. 'Um welche Punkte werden die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht?'
  4. Welche Höhe besitzt die neue Figur, im Vergleich zum Ursprungsdreieck?
  5. Welche Länge hat Grundseite im Vergleich zur Ausgangsfigur?
  6. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks. Hinweis
Die Längenangaben sind in Zentimetern

Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von 8 (cm²)


Vergleiche Deine Lösungen mit der von Maja:

  1. Es entsteht ein Rechteck
  2. Durch Zerlegung des Ursprungsdreiecks und Ergänzung
  3. Die Teildreiecke werden um die Seitenmittelpunkte gedreht. Sie werden um 180° gedreht. Es handelt sich also um eine Kongruenzabbildung.
  4. Die Höhe des Rechtecks ist halb so groß, wie die Höhe des Ausgangsdreiecks
  5. Die Grundseite ist genauso lang, wie die des Ausgangsdreiecks.



  • Maja und Nils berechnen den Flächeninhalt des grünen Dreiecks.
Ebert Rechenbeispiel.jpg
  • Sie schreiben ihre Lösungswege auf. Welcher Lösungsweg passt zu den Überlegungsfiguren?
  • Nils rechnet so: FDreieck = ( 8 \cdot 3 ): 2= 12 . Das gehört zur Skizze I
  • Maja rechnet so: FDreieck = 8 \cdot ( 3 : 2 ) = 8 \cdot 1,5 = 12 : Das gehört zur Skizze II

Herleitungsidee 3

Aufgabenstellung: Kreuze die richtigen Antworten an:

1. Welche Figur ensteht? Es ensteht ein...

Paralellogramm
Rechteck
Trapez
Dreieck

2. Um welchen Punkt wird das kleine Teildreieck gedreht?

Seitenmittelpunkt M2
Seitenmittelpunkt Mb
Eckpunkt C

3. Um wieviel Grad wird es gedreht?

90°
180°
120°
360°

4. Welche Höhe besitzt die neue Figur im Vergleich zum Dreieck. Sie ist...

genauso groß, wie die des Ausgangsdreiecks.
halb so groß, wie die des Ausgangsdreiecks.
doppelt s groß, wie die des Ausgangsdreiecks.

Punkte: 0 / 0


5. Wie wurde das Dreieck zerlegt?

Bist du sicher, dass Du den Hinweis brauchst??

Es wurde die zur Grundseite parallele Strecke zwischen den Seitenmittelpunkten eingezeichnet.

6. Wie entsteht diese Figur?
Du kannst das bestimmt ohne Hinweis lösen, oder?

Das Parallelogramm ensteht durch Zerlegung des großen Dreiecks in ein kleines Teildreieck und ein Trapez. Durch Drehen des kleinen Teildreiecks ergänzt man das Trapez zum Parallelogramm. Damit ist klar, dass es sich um eine Kongruenzabbildung handelt

7. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, wenn h2= 4cm und c= 4cm ist

Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC ist: 16 (cm²)

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks M2 Mb C. Überlege, welche Länge die Strecke [ M2 Mb] besitzt.

Der Flächeninhalt des Dreiecks M2 Mb C ist 4(cm²)

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.

Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist: 16(cm²)



Wie kann man für diese Methode die Flächeninhaltsformel des Dreiecks herleiten??

FParallelogramm = g \cdot h2
Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt:
FParallelogrammk = FDreieck
Für die Höhen gilt:

h2 = {1 \over 2} \cdot h
Einsetzen in Formel für Parallelogramm:
FDreieck = {1 \over 2} g \cdot h


Ebert MotivatorRot.jpg Wie Du siehst, ähneln sich diese beiden Herleitungsideen 2 und 3:'
In der ersten Variante zerlegt man das Dreieck geeignet und ergänzt zum Rechteck mit gleicher Grundseite und halber Höhe...
und in der zweiten Variante zerlegt man das Dreieck und ergänzt zu einem Parallelogramm mit gleicher Länge der Grundseite und halber Höhe.

Herleitungsidee 4





Wir haben für die Hilfsfigur, deren Flächeninhalt man kennt das Ausgangsdreieck so zerlegt, dass die Höhe halbiert und die Länge der Grundseite gleich beibehalten wird.
Wie Du ahnst gibt es noch eine weitere Möglichkeit:
Aufgabenstellung:

1.Welche Figur ensteht bei der Ergänzung?

Es entsteht ein Rechteck

2. Um welchen Punkt werden jeweils die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht?

Die Teildreiecke werden jeweils um die Seitenmittelpunkte gedreht, dabei dreht man um 180°. Dies ist eine Kongruenzabbildung

3.Welche Höhe besitzt die erhaltene Figur?

Die Höhe des Rechtecks entspricht der Höhe des Ausgangsdreiecks

4.Zeige, dass die Grundseite g der neuen Figur halb so lang ist, wie die Grundseite des Dreiecks!
Tipp: Ergänze zum Rechteck und beobachte dabei die Teilstrecken s und t

gDreieck = s + s + t + t
gDreieck = 2 \cdot s + 2\cdot t = 2 \cdot(s + t)
gRechteck= s + t
=> gRechteck = {1 \over 2} \cdot gDreieck


Wie kann man daraus die Flächeninhaltsformel für das Dreieck berechnen?

FRechteck = gRechteck \cdot h

Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt:
FRechteck = FDreieck
Für die Grundseiten gilt:
gRechteck = {1 \over 2} \cdot gDreieck
Einsetzen in Formel für Rechteck:
FDreieck = {1 \over 2} gDreieck \cdot h



Ebert Maja.jpg

Ebert Lob3.jpg

Wow! Maja und Nils sind stolz auch Dich. Du hast nun auch den 3. Lernpfad erfolgreich bearbeitet!!'







Für absolute Profis gibt es hier noch einen 4 Lernpfad. Da kannst Du zeigen, was in dir steckt! Hier geht es zum 4. Lernpfad

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