Die Quadratische Funktion der Form f(x) = (x-d)² + e - Die Scheitelpunktsform: Unterschied zwischen den Versionen
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(Station 5 begonnen - Zusammenführung der Parameder d und e) |
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a) S <math>(0\!\,|\!\,5,2)</math> <br> }} | a) S <math>(0\!\,|\!\,5,2)</math> <br> }} | ||
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Der x-Wert ist immer 0, denn die Parabel wird nur nach oben oder unten verschoben. Den y-Wert kann man gut ablesen, denn er ist identisch dem Wert von e! | Der x-Wert ist immer 0, denn die Parabel wird nur nach oben oder unten verschoben. Den y-Wert kann man gut ablesen, denn er ist identisch dem Wert von e! | ||
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Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen! <br> | Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen! <br> | ||
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| <strong> [x-4,5]<sup>2</sup> </strong> || <strong> [x + 2,5]<sup>2</sup> </strong> || <strong> [x + 0]<sup>2</sup> </strong> || <strong> [x - 2]<sup>2</sup> </strong> || <strong> [x - 5]<sup>2</sup> </strong> | | <strong> [x-4,5]<sup>2</sup> </strong> || <strong> [x + 2,5]<sup>2</sup> </strong> || <strong> [x + 0]<sup>2</sup> </strong> || <strong> [x - 2]<sup>2</sup> </strong> || <strong> [x - 5]<sup>2</sup> </strong> | ||
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+ | Bestimme die Funktionsgleichung mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte: | ||
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+ | a) S <math>(2,5\!\,|\!\,0)</math> | ||
+ | b) S <math>(-3\!\,|\!\,0)</math> | ||
+ | c) S <math>(120\!\,|\!\,0)</math> | ||
+ | d) S <math>(0\!\,|\!\,0)</math> | ||
+ | e) S <math>(-7\!\,|\!\,0)</math> | ||
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+ | '''Hilfe:''' <br> | ||
+ | Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen! <br> | ||
+ | {{versteckt| | ||
+ | a) f(x) <math>=</math> (x - 2,5)<sup>2</sup> | ||
+ | }} | ||
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+ | '''Lösung:''' <br> | ||
+ | {{Lösung versteckt| | ||
+ | a) f(x) <math>=</math> (x - 2,5)<sup>2</sup> | ||
+ | b) f(x) <math>=</math> (x + 3)<sup>2</sup> | ||
+ | c) f(x) <math>=</math> (x - 120<sup>2</sup> | ||
+ | d) f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> | ||
+ | e) f(x) <math>=</math> (x + 7)<sup>2</sup> | ||
+ | }} | ||
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+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <big>'''3. Aufgabe:'''</big> | ||
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+ | Zeichne ohne Wertetabelle die Graphen zu folgenden Funktionen. Gib zunächst die Koordinaten des jeweiligen Scheitelpunkts an. | ||
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+ | a) f(x) <math>=</math> (x - 6)<sup>2</sup> | ||
+ | b) f(x) <math>=</math> (x - 2)<sup>2</sup> | ||
+ | c) f(x) <math>=</math> (x + 3,3)<sup>2</sup> | ||
+ | d) f(x) <math>=</math> (x + 5)<sup>2</sup> | ||
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+ | '''Lösung:''' <br> | ||
+ | {{Lösung versteckt| | ||
+ | Die Koordinaten kann man direkt an der Funktionsgleichung ablesen! | ||
+ | a) S <math>(6\!\,|\!\,0)</math> | ||
+ | b) S <math>(2\!\,|\!\,0)</math> | ||
+ | c) S <math>(-3,3\!\,|\!\,0)</math> | ||
+ | d) S <math>(-5\!\,|\!\,0)</math> | ||
+ | Um die Graphen zu zeichnen, musst du die Normalparabel bei Punkt S erstellen | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | [[Bild:Parabelnd.jpg]] | ||
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+ | <div align="center"><big><u>'''STATION 5: Zusammenführung von Parameter e und d zur Scheitelpunktsform'''</u></big></div> | ||
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+ | Bevor wir nun die beiden Parameter e und d zusammenführen, wollen wir nochmal die wichtigsten Eigenschaften wiederholen. Löse dafür die folgende Zuordnung. | ||
+ | Mal sehen wer am wenigstens Versuche braucht, das Quiz ist nicht ganz einfach! | ||
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+ | <big>'''Memory-Puzzle:'''</big> | ||
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+ | <div class="memo-quiz"> | ||
+ | {| | ||
+ | |- | ||
+ | | Für e > 0: Verschiebung nach oben auf der y-Achse || f(x) = x² + e | ||
+ | |- | ||
+ | | Für e < 0: Verschiebung nach unten auf der y-Achse || f(x) = x² - e | ||
+ | |- | ||
+ | | Für d > 0: Verschiebung nach rechts auf der x-Achse || f(x) = (x - d)² | ||
+ | |- | ||
+ | | Für d < 0: Verschiebung nach links auf der x-Achse || f(x) = (x+d)² | ||
+ | |- | ||
+ | | f(x) = x² + 2 || S (0, 2) | ||
+ | S (0, e) | ||
+ | |- | ||
+ | | f(x) = x² - 4 || S (0, -4) | ||
+ | S (0, -e) | ||
+ | |- | ||
+ | | f(x) = (x - 2)² || S (2, 0) | ||
+ | S (e, 0) | ||
+ | |- | ||
+ | | f(x) = (x+4)² || S (-4, 0) | ||
+ | S (-e, 0) | ||
+ | |} | ||
+ | </div> | ||
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+ | Jetzt sind wir an einem Punkt angekommen, an dem wir die Scheitelpunktsform aufstellen können. | ||
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+ | Bisher habt ihr in dieser Lerneinheit die Parameter e und d einzeln kennen gelernt. | ||
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+ | Ziel dieser Lerneinheit war die quadratische Funktion f(x) = (x-d)² + e, in der beide Parameter gleichzeitig vorkommen. | ||
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+ | Wie ihr gelernt habt, steht der Parameter e für den y-Wert im Koordinatensystem und der Parameter d für den x-Wert. | ||
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+ | Genau bei diesem Punkt liegt der Scheitelpunkt der Parabel und man nennt deshalb die quadratische Funktion f(x) = (x - d)² + e die Scheitelpunktsform. | ||
+ | |||
+ | Da sich nicht viel ändert, außer die Kombination der Parameter e und d, sollst du jetzt mit Hilfe der dargestellten Grafik das folgende Kreuzworträtsel lösen. | ||
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+ | {| {{Prettytable}} | ||
+ | |- style="background-color:#8DB6CD" | ||
+ | ! Quadratische Funktion f(x)<math>=</math>(x-d)<sup>2</sup>+ e !! Aufgabe und Quiz: | ||
+ | |- | ||
+ | | <ggb_applet height="500" width="350" showResetIcon="true" filename="VerschiebenParameterdunde.ggb" /> || | ||
+ | '''Hinweise:''' <br>* In der Grafik ist die Normalparabel schwarz-gestrichelt eingezeichnet und die von e abhängige quadratische Funktion blau <br>* Bediene den schwarzen Schieberegler e mit der linken Maustaste, er verändert den Wert von e <br>* Ziehe im Lückentext die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die richtigen Felder. | ||
+ | <br> | ||
+ | |||
+ | '''Quiz:''' <br> | ||
+ | |||
+ | Beim Klick auf die Ziffern im Kreuzworträtsel öffnet sich ein Eingabefeld zum Eintragen. | ||
+ | <div class="kreuzwort-quiz"> | ||
+ | {| | ||
+ | |- | ||
+ | | Scheitelpunkt || Wie nennt man den Punkt S(d, e) der Parabel? | ||
+ | |- | ||
+ | | Scheitelpunktsform || Wie nennt man die Funktionsgleichung der FORM f(x) = (x - d)² + e? | ||
+ | |- | ||
+ | | Symmetrieachse || Welche Achse stellt der Punkt x = d dar? | ||
+ | |- | ||
+ | | Normalparabel || Zu welcher Parabel sind die verschobenen Parabeln kongruent? | ||
+ | |- | ||
+ | | Unten || In welche Richtung wird die Parabel f(x) = (x - 3)² - 4 verschoben? | ||
+ | |- | ||
+ | | x-Achse || Auf welcher Achse bewirkt der Parameter d eine Verschiebung? | ||
+ | |- | ||
+ | | Ebene || Die Parameter d und e bewirken eine Verschiebung der Normalparabel in der... | ||
+ | |- | ||
+ | | y-Achse || Auf welcher Achse bewirkt der Parameter e eine Verschiebung? | ||
+ | |- | ||
+ | | Zwei || Um wie viel Einheiten wir die Funktion f(x) = (x-5)² + 2 nach oben verschoben? | ||
+ | </div> | ||
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Version vom 16. Juli 2009, 16:35 Uhr
Lernpfad
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Bis jetzt haben wir die Normalparabel f(x) = x² kennen gelernt. Dazu kam dann ein Parameter a als Vorfaktor, welcher die Parabel in Richtung der y-Achse gestreckt oder gestaucht hat und sie zusätzlich bei negativen Werten an der x-Achse spiegelt.
Nun wollen wir uns mit zwei weiteren Parametern beschäftigen.
Zunächst betrachten wir den Parameter e, welcher zur Normalparabel addiert wird.
Die quadratische Funktion schaut dann wie folgt aus:
f(x) = x² + e
Bearbeite das folgende Arbeitsblatt und entdecke die Eigenschaften des Parameters e!
Für die quadratische Funktion f(x)x² + e gilt:
|
Nun folgen einige Aufgaben, um das gerade erlernte Wissen zu vertiefen.
1. Aufgabe: Zuordnung
Du siehst in der Grafik 5 verschiedene quadratische Funktionen. Ermittle zu den vorgegebenen Graphen die Funktionsgleichung:
2. Aufgabe:
Bestimme die Funktionsgleichung mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte:
a) S
b) S
c) S
d) S
e) S
Lösung:
Das war bestimmt kein Problem! Man musste ja lediglich den y-Wert ablesen, da er den Wert von e angibt!
a) f(x)x² + 4,7 b) f(x)x² - 23 c) f(x)x² - 2,5 d) f(x)x² e) f(x)x² + 13
3. Aufgabe:
Nun hast du die Funktionsgleichung gegeben. Finde den zugehörigen Scheitelpunkt S.
a) f(x)x² + 5,2 b) f(x)x² - 3 c) f(x)x² d) f(x)3 + x²
Hilfe:
Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen, aber überlege erst selbst, es ist nicht schwer!
Lösung:
Der x-Wert ist immer 0, denn die Parabel wird nur nach oben oder unten verschoben. Den y-Wert kann man gut ablesen, denn er ist identisch dem Wert von e!
a) S
b) S
c) S
d) S
4. Aufgabe: Zuordnung
Die Punkte A, B, C, D, E und F liegen auf der Parabel f(x) = 2,5 + x². Ordne die fehlenden Koordinaten zu!!
A | B | C | D | E | F |
2 | 0,5 | 3 | 3,5 | 11,5 | 6,5 |
Nachdem du jetzt Parameter e kennst, wollen wir uns nun mit dem Parameter d beschäftigen, der wie folgt in die quadratische Funktion integriert wird:
f(x) = (x - d)²
Um die Eigenschaften des Parameters d zu erlernen, bediene in der Grafik den Schieberegler d und löse im Anschluss den Lückentext.
Die blaue Parabel ist abhängig vom Parameter d und die schwarz-gestrichelte Linie stellt die Normalparabel dar.
Um deine Ergebnisse zu überprüfen musst du mit gehaltener linker Maustaste über das graue Feld ziehst, damit wird das Ergebnis sichtbar!! Aber nicht mogeln!
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Für die quadratische Funktion f(x)(x - d)² gilt:
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Achtung!
- Für d > 0 mit einer Verschiebung nach rechts liegt die Gleichung der Form f(x) = (x – d)² vor.
Beispiel: f(x) = (x - 5)² → Es steht zwar -5 aber es wurde die positive Zahl 5 in die Gleichung eingesetzt
- Für d < 0 mit einer Verschiebung nach links liegt die Gleichung der Form f(x) = (x + d)² vor.
Beispiel: f(x) = (x + 5)² → Es steht zwar +5 aber es wurde die negative Zahl -5 in die Gleichung eingesetzt und daher ergibt sich für -5: f(x) = (x - d)² = (x - (-5))² = (x + 5)
Ebenso wie beim Parameter e, folgen nun wieder einige Aufgaben, um auch die Eigenschaften des Parameters d zu vertiefen.
1. Aufgabe: Zuordnung
Du siehst in der Grafik 5 verschiedene quadratische Funktionen. Ordne jedem Graph die richtige Funktionsgleichung durch "drag and drop" zu:
Hilfe:
Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen!
Beispiel: Die erste Grafik hat die Funktionsgleichung f(x) (x + 4,5)²
2. Aufgabe:
Bestimme die Funktionsgleichung mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte:
a) S b) S c) S d) S e) S
Hilfe:
Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen!
a) f(x) (x - 2,5)2
Lösung:
a) f(x) (x - 2,5)2 b) f(x) (x + 3)2 c) f(x) (x - 1202 d) f(x) x2 e) f(x) (x + 7)2
3. Aufgabe:
Zeichne ohne Wertetabelle die Graphen zu folgenden Funktionen. Gib zunächst die Koordinaten des jeweiligen Scheitelpunkts an.
a) f(x) (x - 6)2 b) f(x) (x - 2)2 c) f(x) (x + 3,3)2 d) f(x) (x + 5)2
Lösung:
Die Koordinaten kann man direkt an der Funktionsgleichung ablesen!
a) S b) S c) S d) S
Um die Graphen zu zeichnen, musst du die Normalparabel bei Punkt S erstellen
Bevor wir nun die beiden Parameter e und d zusammenführen, wollen wir nochmal die wichtigsten Eigenschaften wiederholen. Löse dafür die folgende Zuordnung.
Mal sehen wer am wenigstens Versuche braucht, das Quiz ist nicht ganz einfach!
Memory-Puzzle:
Für e > 0: Verschiebung nach oben auf der y-Achse | f(x) = x² + e |
Für e < 0: Verschiebung nach unten auf der y-Achse | f(x) = x² - e |
Für d > 0: Verschiebung nach rechts auf der x-Achse | f(x) = (x - d)² |
Für d < 0: Verschiebung nach links auf der x-Achse | f(x) = (x+d)² |
f(x) = x² + 2 | S (0, 2)
S (0, e) |
f(x) = x² - 4 | S (0, -4)
S (0, -e) |
f(x) = (x - 2)² | S (2, 0)
S (e, 0) |
f(x) = (x+4)² | S (-4, 0)
S (-e, 0) |
Jetzt sind wir an einem Punkt angekommen, an dem wir die Scheitelpunktsform aufstellen können.
Bisher habt ihr in dieser Lerneinheit die Parameter e und d einzeln kennen gelernt.
Ziel dieser Lerneinheit war die quadratische Funktion f(x) = (x-d)² + e, in der beide Parameter gleichzeitig vorkommen.
Wie ihr gelernt habt, steht der Parameter e für den y-Wert im Koordinatensystem und der Parameter d für den x-Wert.
Genau bei diesem Punkt liegt der Scheitelpunkt der Parabel und man nennt deshalb die quadratische Funktion f(x) = (x - d)² + e die Scheitelpunktsform.
Da sich nicht viel ändert, außer die Kombination der Parameter e und d, sollst du jetzt mit Hilfe der dargestellten Grafik das folgende Kreuzworträtsel lösen.
Quadratische Funktion f(x)(x-d)2+ e | Aufgabe und Quiz: | ||||||||||||||||||
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Hinweise: Quiz: Beim Klick auf die Ziffern im Kreuzworträtsel öffnet sich ein Eingabefeld zum Eintragen.
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