Vertiefen und Erweitern zum Flächeninhalt des Dreiecks: Unterschied zwischen den Versionen

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'''''Wie kann man für diese Methode die Flächeninhaltsformel des Dreiecks herleiten??'''''
 
'''''Wie kann man für diese Methode die Flächeninhaltsformel des Dreiecks herleiten??'''''
 
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F<sub>Parallelogramm</sub> =  '''g  <math>\cdot</math>  h<sub>1</sub> '''<br>
 
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Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt: <br>
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F<sub>Parallelogrammk</sub> = '''F<sub>Dreieck</sub>''' <br>
 
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Für die Höhen gilt:
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1.'''Welche Figur ensteht''' bei der Ergänzung? {{Lösung versteckt | Es entsteht ein Rechteck }}
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1.'''Welche Figur ensteht''' bei der Ergänzung?  
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2. Um welchen Punkt werden jeweils die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht? {{Lösung versteckt |Die Teildreiecke werden jeweils um die Seitenmittelpunkte gedreht, dabei dreht man um 180°. Dies ist eine Kongruenzabbildung}}
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2. Um welchen Punkt werden jeweils die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht?  
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3.'''Welche Höhe''' besitzt die erhaltene Figur? {{Lösung versteckt | Die Höhe des Rechtecks entspricht der Höhe des Ausgangsdreiecks}}
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3.'''Welche Höhe''' besitzt die erhaltene Figur?
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Vergleiche Deine Lösungen mit Maja´s Lösungen.[[Bild:Ebert_MotivatorGrün.jpg|50px|right]]
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1. Es ensteht ein Rechteck
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2. Die Teildreiecke werden jeweils um die Seitenmittelpunkte gedreht, dabei dreht man um 180°. Dies ist eine Kongruenzabbildung
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3. Die Höhe des Rechtecks entspricht der Höhe des Ausgangsdreiecks
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4.'''Zeige''', dass die '''Grundseite g der neuen Figur halb so lang '''ist, wie die Grundseite des Dreiecks!<br>
 
4.'''Zeige''', dass die '''Grundseite g der neuen Figur halb so lang '''ist, wie die Grundseite des Dreiecks!<br>
 
Tipp: Ergänze zum Rechteck und beobachte dabei die Teilstrecken s und t <br>
 
Tipp: Ergänze zum Rechteck und beobachte dabei die Teilstrecken s und t <br>
 
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* Die Grundseite des Dreiecks setzt sich zusammen aus:
 
'''g<sub>Dreieck</sub>''' = s + s + t + t <br>
 
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g<sub>Dreieck</sub> = '''2 <math>\cdot</math> s''' + 2<math>\cdot</math> '''t''' = 2 <math>\cdot</math>(s + t)<br>
 
g<sub>Dreieck</sub> = '''2 <math>\cdot</math> s''' + 2<math>\cdot</math> '''t''' = 2 <math>\cdot</math>(s + t)<br>
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* Für die Grundseite des Rechtecks gilt:
 
g<sub>Rechteck</sub>= '''s + t''' <br>
 
g<sub>Rechteck</sub>= '''s + t''' <br>
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*Setzt man g<sub>Rechteck</sub> in die Formel für g<sub>Dreieck</sub> und stellt um, so erhält man:
 
=> g<sub>Rechteck</sub> = '''<math>{1 \over 2}</math> <math>\cdot</math> g<sub>Dreieck</sub>'''
 
=> g<sub>Rechteck</sub> = '''<math>{1 \over 2}</math> <math>\cdot</math> g<sub>Dreieck</sub>'''
 
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*Für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt:
 
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F<sub>Rechteck</sub> =  '''g<sub>Rechteck</sub>'''  <math>\cdot</math> h <br>
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: Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt: <br>
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*Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt: <br>
 
:F<sub>Rechteck</sub> = '''F<sub>Dreieck</sub>''' <br>
 
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: Für die Grundseiten gilt:
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*Für die Grundseiten gilt:
 
:g<sub>Rechteck</sub> = <math>{1 \over 2}</math> <math>\cdot</math> '''g<sub>Dreieck</sub>'''<br>
 
:g<sub>Rechteck</sub> = <math>{1 \over 2}</math> <math>\cdot</math> '''g<sub>Dreieck</sub>'''<br>
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: Einsetzen in Formel für Rechteck: <br>
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*Einsetzen in Flächeninhaltsformel für das Rechteck: <br>
 
:F<sub>Dreieck</sub> = '''<math>{1 \over 2}</math> g<sub>Dreieck</sub> <math>\cdot</math> h'''
 
:F<sub>Dreieck</sub> = '''<math>{1 \over 2}</math> g<sub>Dreieck</sub> <math>\cdot</math> h'''
 
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Version vom 3. August 2009, 12:06 Uhr

Für die ganz Schnellen:

Vertiefen und Erweitern


Du hast nun eine Möglichkeit kennen gelernt, wie man die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herleiten kann. '
Dies ist aber natürlich nicht der einzige Weg.
Versuche die nächsten nachzuvollziehen.
Ebert Motivatoren.jpg






Herleitungsidee 2

Aufgabenstellung:

  1. Welche Figur entsteht?
  2. 'Um welche Punkte werden die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht?'
  3. Welche Höhe besitzt die neue Figur, im Vergleich zum Ursprungsdreieck?
  4. Welche Länge hat Grundseite im Vergleich zur Ausgangsfigur?
  5. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks. Hinweis
Die Längenangaben sind in Zentimetern

Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von 8 (cm²)


Vergleiche Deine Lösungen mit der von Maja:

  1. Es entsteht ein Rechteck
  2. Die Teildreiecke werden um die Seitenmittelpunkte gedreht. Sie werden um 180° gedreht. Es handelt sich also um eine Kongruenzabbildung.
  3. Die Höhe des Rechtecks ist halb so groß wie die Höhe des Ausgangsdreiecks
  4. Die Grundseite ist genauso lang wie die des Ausgangsdreiecks.


Ebert Motivatoren.jpg
  • Maja und Nils berechnen den Flächeninhalt des grünen Dreiecks.
Ebert Rechenbeispiel.jpg
  • Sie schreiben ihre Lösungswege auf. Welcher Lösungsweg passt zu den Überlegungsfiguren?
  • Nils rechnet so: FDreieck = ( 8 \cdot 3 ): 2= 12 . Das gehört zur Skizze I
  • Maja rechnet so: FDreieck = 8 \cdot ( 3 : 2 ) = 8 \cdot 1,5 = 12 : Das gehört zur Skizze II














Suche Dir aus den nächsten beiden Herleitungen eine aus und bearbeite diese

Herleitungsidee 3

Aufgabenstellung: Kreuze die richtigen Antworten an:

1. Welche Figur ensteht? Es ensteht ein...

Paralellogramm
Rechteck
Trapez
Dreieck

2. Um welchen Punkt wird das kleine Teildreieck gedreht?

Seitenmittelpunkt M2
Seitenmittelpunkt Mb
Eckpunkt C

3. Um wieviel Grad wird es gedreht?

90°
180°
120°
360°

4. Welche Höhe besitzt die neue Figur im Vergleich zum Dreieck. Sie ist...

genauso groß, wie die des Ausgangsdreiecks.
halb so groß, wie die des Ausgangsdreiecks.
doppelt s groß, wie die des Ausgangsdreiecks.

Punkte: 0 / 0


5. Wie entsteht diese Figur?
Du kannst das bestimmt ohne Hinweis lösen, oder?

Das Parallelogramm ensteht durch Zerlegung des großen Dreiecks in ein kleines Teildreieck und ein Trapez. Durch Drehen des kleinen Teildreiecks ergänzt man das Trapez zum Parallelogramm. Damit ist klar, dass es sich um eine Kongruenzabbildung handelt

6. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, wenn h2= 4cm und c= 4cm ist

Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC ist: 8 (cm²)

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks M2 Mb C. Überlege, welche Länge die Strecke [ M2 Mb] besitzt.

Der Flächeninhalt des Dreiecks M2 Mb C ist 2(cm²)

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.

Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist: 8(cm²)



Wie kann man für diese Methode die Flächeninhaltsformel des Dreiecks herleiten??

  • Es gilt:

FParallelogramm = g \cdot h1

  • Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt:

FParallelogrammk = FDreieck

  • Für die Höhen gilt:
h1 = {1 \over 2} \cdot h2
  • Einsetzen in Formel für Parallelogramm:
FDreieck = {1 \over 2} g \cdot h2


Ebert MotivatorRot.jpg Wie Du siehst, ähneln sich diese beiden Herleitungsideen 2 und 3:

  • In der ersten Variante zerlegt man das Dreieck geeignet und ergänzt zum Rechteck mit gleicher Grundseite und halber Höhe...
Ebert Herleitung2.jpg
  • und in der zweiten Variante zerlegt man das Dreieck und ergänzt zu einem Parallelogramm mit gleicher Länge der Grundseite und halber Höhe
Ebert Herleitung3.jpg











Herleitungsidee 4

 Aufgabenstellung:

1.Welche Figur ensteht bei der Ergänzung? 2. Um welchen Punkt werden jeweils die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht? 3.Welche Höhe besitzt die erhaltene Figur?

Vergleiche Deine Lösungen mit Maja´s Lösungen.
Ebert MotivatorGrün.jpg

1. Es ensteht ein Rechteck 2. Die Teildreiecke werden jeweils um die Seitenmittelpunkte gedreht, dabei dreht man um 180°. Dies ist eine Kongruenzabbildung 3. Die Höhe des Rechtecks entspricht der Höhe des Ausgangsdreiecks


4.Zeige, dass die Grundseite g der neuen Figur halb so lang ist, wie die Grundseite des Dreiecks!
Tipp: Ergänze zum Rechteck und beobachte dabei die Teilstrecken s und t

  • Die Grundseite des Dreiecks setzt sich zusammen aus:

gDreieck = s + s + t + t
Vereinfachen liefert: gDreieck = 2 \cdot s + 2\cdot t = 2 \cdot(s + t)

  • Für die Grundseite des Rechtecks gilt:

gRechteck= s + t

  • Setzt man gRechteck in die Formel für gDreieck und stellt um, so erhält man:

=> gRechteck = {1 \over 2} \cdot gDreieck


Wie kann man daraus die Flächeninhaltsformel für das Dreieck berechnen?
  • Für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt:

FRechteck = gRechteck \cdot h

  • Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt:
FRechteck = FDreieck
  • Für die Grundseiten gilt:
gRechteck = {1 \over 2} \cdot gDreieck
  • Einsetzen in Flächeninhaltsformel für das Rechteck:
FDreieck = {1 \over 2} gDreieck \cdot h



Ebert Maja.jpg
Ebert Lob3.jpg

Wow! Maja und Nils sind stolz auch Dich. Du hast nun auch den 3. Lernpfad erfolgreich bearbeitet!!'








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Übungsaufgaben zur Flächenberechnung am Dreieck

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