Praktische Grenzen der Berechenbarkeit: Unterschied zwischen den Versionen

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Algorithmus lineare_suche
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Eingabe: Ein Array a der Länge n und ein Objekt x
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Ausgabe true, wenn es ein j, l <= j <= n gibt mit a[j] = x
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j := 1
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        found:=(a[j]=x)
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== Türme von Hanoi ==
 
== Türme von Hanoi ==

Version vom 19. September 2009, 09:06 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Zuordnungsquiz

Ordne den Funktionsnamen die zugehörigen Graphen und Terme zu!

Was bin ich? Exponentialfunktion a \cdot e^x
Was bin ich? a \cdot x Lineare Funktion
Was bin ich? Potenzfunktion a \cdot x^b




Lineare Suche 

Algorithmus lineare_suche
Eingabe: Ein Array a der Länge n und ein Objekt x
Ausgabe true, wenn es ein j, l <= j <= n gibt mit a[j] = x
j := 1
found := (a[j] = x)
while (not found and j<n){
       j:=j+1
       found:=(a[j]=x)
       return found
}

Türme von Hanoi

1. Spielt man dieses Spiel mit nur einer Scheibe, so ist die Anzahl der nötigen Züge trivialerweise Eins, da die eine vorhandene Scheibe lediglich vom linken auf den rechten Stab gesteckt werden muss.
Im Falle von zwei Scheiben ist fast ebenso einfach: Man steckt die kleine Scheibe auf den mittleren Stab, bewegt die große Scheibe auf den rechten Stab und setzt die kleine Scheibe obendrauf. Man benötigt also zwei Züge.

In dieser Animation siehst du die Lösung für den Fall, dass man mit 3 Scheiben spielt.

Häufglöckner Hanoi3.gif

Wie viele Schritte werden benötigt, um den Turm mit 3 Scheiben von der linken auf die rechte Seite zu bringen?

6
7
8

2. Wie viele Schritte werden benötigt, um den Turm mit 4 Scheiben von der linken auf die rechte Seite zu bringen?

Häufglöckner Hanoi4.gif
15
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3. Angenommen n ist die Anzahl der Scheiben, mit denen gespielt wird. Wie verhält sich die Anzahl der benötigten Züge in Abhängigkeit von n?

linear
quadratisch
exponentiell

Punkte: 0 / 0


Aufgabe

f(x)=2^x

g(x)=x^2

h(x) = x \cdot log_2 (x)

i(x) = 2\cdot x

Ab welchem x ist das exponentielle Wachstum schlechter als das Polynomielle?

\begin{matrix} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ f(x) & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 & 128 & 256 & 512\\ g(x) & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 & 49 & 64 & 81\\ h(x) & 0 & 2 & 4,75 & 8 & 11,61 & 15,51 & 19,65 & 24 & 28,53\\ i(x) & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 16 & 18 \end{matrix}

Also ist f(x) schlechter als g(x) für x>4, f(x) schlechter als h(x) für x>2, f(x) schlechter als i(x) für x>2.


Aufgabe

Schachbrett Reiskörner


Aufgabe

Wie viele Knoten hat ein Spielbaum, bei dem jeder Halbzug (das heißt ein Zug von Spieler A oder B) 5 Zugmöglichkeiten hat und ein Spiel nach 60 Halbzügen beendet ist? Kann man diesen Spielbaum auf einer handelsüblichen Festplatte speichern, wenn pro Knoten 1 Byte Speicherplatz benötigt wird?

Für die Speicherung eines solchen Spielbaumes würde man ungefähr 8*10^{35} GB benötigen. Eine Studie von IDC hat für 2008 prognostiziert, dass der weltweit verfügbare Speicherplatz 2,25*10^{21} Bits beträgt. Es ist also nicht möglich einen solchen Spielbaum zu speichern.

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