Berechnungen von Wahrscheinlichkeiten und relative Häufigkeit: Unterschied zwischen den Versionen

Aus DMUW-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
K
K
Zeile 1: Zeile 1:
 +
__NOTOC__
 
= <span style="color:#00CD00">Aufgabe 1</span> =
 
= <span style="color:#00CD00">Aufgabe 1</span> =
  

Version vom 28. September 2009, 17:10 Uhr

Aufgabe 1

Das nachstehende Kreuzworträtsel soll dir helfen, dich an einige Begriffe zu erinnern.
Beim Klick auf die Ziffern im Kreuzworträtsel öffnet sich ein Eingabefeld zum Eintragen.
absolute Bei 100maligen Würfeln wird 18 mal eine 6 gewürfelt. 18 bezeichnet man dann als ... Häufigkeit.
relative Bei 100maligen Würfeln wird 18 mal eine 6 gewürfelt. Den Quotienten aus 6 und 18 bezeichnet man dann als ... Häufigkeit.
Ergebnis Jeder mögliche Ausgang eines Zufallsexperimentes heißt ...?
Ergebnisraum Die Menge aller Ergebnisse heißt...?
Ereignis Es wird ein klassischer Würfel geworfen und anschließend darauf geachtet, ob die Augenzahl gerade ist. "Augenzahl gerade" wird als ... bezeichnet.
Ereignisraum Die Menge aller Ereignisse bezeichnet man als ...
Laplace Beim Würfeln ist es gleich wahrscheinlich eine 1; 2; 3; 4; 5 oder 6 zu erhalten. Solche Experimente werden als ...-Experiment bezeichnet.


Aufgabe 2

Die relative Häufigkeit lässt sich durch den Quotienten QuotientrelativeHäufigkeit.PNG bestimmen.
a) In diesem Triplett findest du zusammengehörende relative Häufigkeiten als Bruch, Dezimalzahl und Prozentangabe.
Finde diese Triplette:
\frac{2}{5} 0{,}4 40%
\frac{12}{25} 0{,}48 48%
\frac{3}{8} 0{,}375 37{,}5%
\frac{11}{50} 0{,}22 22%
\frac{7}{100} 0{,}07 7%
\frac{1}{4} 0{,}25 25%
\frac{9}{10} 0{,}9 90%
b) Berechne zu den nachfolgenden Experimenten die relative Häufigkeit. Kreuze die richtige Antwort an.
Es können auch mehrere Antworten richtig sein.

Es wird 20mal gewürfelt, davon fällt 5 mal eine 1. Was ist die relative Häufigkeit von der Augenzahl 1? (!\frac{9}{10}) (!20%) (!0{,}5) (25%) (0{,}25) (\frac{1}{4})

Eine Münze wird 10 mal geworfen. Es fällt 7 mal Zahl. Was ist die relative Häufigkeit von Zahl? (\frac{7}{10}) (0{,}7) (70%) (!7%) (!\frac{3}{5}) (!0{,}07)

Ein Reißnagel wird 30 mal geworfen, davon landet er 12 mal auf dem Kopf. Wie groß ist die dazugehörige relative Häufigkeit? (\frac{2}{5}) (0{,}4) (40%) (!12%) (!\frac{6}{15}) (!0{,}3)

Es wird 50 mal gewürfelt, 32 mal liegt eine gerade Augenzahl oben. Wie groß ist die relative Häufigkeit von der geraden Augenzahl? (\frac{16}{25}) (0{,}64) (64%) (!\frac{7}{32}) (!0{,}32) (!50%)

Eine Münze wird 100 mal geworfen, wobei 41 mal Zahl fällt. Wie groß ist die relative Häufigkeit für das Werfen von Wappen? (\frac{59}{100}) (0{,}59) (59%) (!41%) (!0{,}4) (!\frac{3}{8})


Aufgabe 3

Gewinnchancen vorhersagen mithilfe von Baumdiagrammen

Es sind drei Würfel gegeben, die durch die nachfolgenden Netze gezeigt werden:
Würfelnetze.png
Du Spielst nun mit deinem Banknachbarn "Die höhere Augenzahl gewinnt".
Jeder würfelt einmal, der mit der höheren Augenzahl gewinnt.
a) In folgenden Tabellen sind die Ergebnisse eures Spiels zusammengefasst.
Berechne die zugehörigen relativen Häufigkeiten und fasse dann die Ergebnisse zusammen:
Blaugrüntabelle.PNG Blaugelbtabelle.PNG Grüngelbtabelle.PNG

Im Spiel Blau gegen Grün:

Die relative Häufigkeit, dass Grün gewinnt, beträgt \frac{7}{10} und dass blau gewinnt \frac{3}{10}.

Im Spiel Blau gegen Gelb:

Die relative Häufigkeit für einen Sieg für Blau ist 75% und für einen Sieg für Gelb ist die relative Häufigkeit 0{,}25.

Im Spiel Grün gegen Gelb:

Die relative Häufigkeit für den Fall, dass Grün gewinnt, beträgt \frac{7}{20} und für den Fall, dass Gelb gewinnt beträgt die relative Häufigkeit 65%.

Als Ergebnis lässt sich daher zusammenfassen:

Grün schlägt Blau.

Blau schlägt Gelb.

Gelb schlägt Grün.

b) Ist es besser als Erster oder als Zweiter einen Würfel auszuwählen?
Um diese Frage zu beantworten hilft dir das Wissen aus Teilaufgabe a).

(!Es ist besser als Erster zu wählen) (Es ist besser als Zweiter zu wählen)

kurze Erklärung


c) Mithilfe eines Baumdiagramms kannst du ebenfalls herausfinden, welcher Würfel in welcher Kombination die besseren Gewinnchancen hat.
Dazu vergleichst du beispielsweise jeweils eine Fläche des blauen Würfels mit allen sechs Flächen des grünen Würfels:
BeispielBaumdiagrammWürfel.png
In dem Bild erkennt man, dass die blaue Augenzahl 4 gegen die grünen Augenzahlen genau dreimal gewinnt und dreimal verliert.
Ergänze das Baumdiagramm für das Spiel blauer gegen grüner Würfel in deinem Heft.
Wie oft gewinnt der blaue gegen den Grünen Würfel?

Blau gewinnt (12 mal) (!24 mal) (!9 mal)

Kontrolle blauer Würfel gegen grüner Würfel


Aufgabe 4

Zur Erinnerung:
Bei einem Laplace-Experiment gilt für die Wahrscheinlichkeit P eines Ereignisses: Laplaceformel.PNG
Es wird ein Laplace-Würfel zweimal geworfen.
a) Notiere den vollständigen Ergebnisraum dieses Zufallsexperimentes
als kleine Hilfe für dich soll das nachfolgende Baumdiagramm dienen:
Baumdiagrammwuerfeln.png
Hier kannst du vergleichen, ob du alle Elemente des Ergebnisraums gefunden hast:
Ergebnisraum zweimaliges Würfeln

Aus wievielen Elementen besteht der Ergebnisraum also? (36) (!12) (!24) (!48)

Gebe für jedes Ereignis alle zugehörigen möglichen Elemente an und berechne anschließend mithilfe der angegebenen Formel die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses.
b) E1: Die Augensumme ist 4
Kreuze alle Elemente dieses Ereignisses an:

({3;1}) ({2;2}) ({1;3}) (!{4;4}) (!{2;3}) (!{3;2}) (!{1;2}) (!{4;0}) (!{0;4})

Es gibt drei (Trage hier als Wort geschrieben deine herausgefundene Anzahl der Elemente ein) Möglichkeiten mit zwei Würfeln die Augensumme 4 zu erhalten.

Nun kannst du mithilfe der Formel die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses bestimmen:
Kreuze an:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt: (\frac{1}{12}) (!\frac{7}{10}) (!\frac{1}{3}) (!\frac{3}{30})

c) E2: Es wird genau eine 5 gewürfelt
Kreuze alle Elemente dieses Ereignisses an:

({5;1}) ({5;2}) ({5;3}) ({5;4}) ({5;6}) ({1;5}) ({2;5}) ({3;5}) ({4;5}) ({6;5}) (!{5;5}) (!{5;0}) (!{6;1}) (!{4;2}) (!{0;5}) (!{5;7}) (!{2;3}) (!{4;4}) (!{3;2})

Es gibt zehn (Trage hier als Wort geschrieben deine herausgefundene Anzahl der Elemente ein) Möglichkeiten mit zwei Würfeln genau eine 5 zu würfeln.

Nun kannst du wieder mithilfe der Formel die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses bestimmen:
Kreuze an:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt: (\frac{5}{18}) (!\frac{10}{30}) (!\frac{5}{36}) (!\frac{3}{7})


d) E3: Es werden nur gerade Zahlen gewürfelt
Kreuze alle Elemente dieses Ereignisses an:

({2;2}) ({2;4}) ({2;6}) ({4;2}) ({4;4}) ({4;6}) ({6;2}) ({6;4}) ({6;6}) (!{6;5}) (!{4;5}) (!{0;0}) (!{6;8}) (!{4;3}) (!{2;5}) (!{3;2}) (!{2;3}) (!{4;1})

Es gibt neun (Trage hier als Wort geschrieben deine herausgefundene Anzahl der Elemente ein) Möglichkeiten zwei Würfeln so zu werfen, dass nur gerade Zahlen gewürfelt werden.

Nun kannst du wieder mithilfe der Formel die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses bestimmen:
Kreuze an:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt: (\frac{1}{4}) (!\frac{9}{30}) (!\frac{12}{36}) (!\frac{9}{10})


e) E4: Es wird mindestens eine 6 gewürfelt
Kreuze alle Elemente dieses Ereignisses an:

({1;6}) ({2;6}) ({3;6}) ({4;6}) ({5;6}) ({6;6}) ({6;1}) ({6;2}) ({6;3}) ({6;4}) ({6;5}) (!{1;2}) (!{2;4}) (!{3;3}) (!{4;5}) (!{5;2}) (!{2;3}) (!{4;1}) ({4;2})

Es gibt elf (Trage hier als Wort geschrieben deine herausgefundene Anzahl der Elemente ein) Möglichkeiten mindestens eine 6 zu würfeln.

Nun kannst du wieder mithilfe der Formel die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses bestimmen:
Kreuze an:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt: (\frac{11}{36}) (!\frac{1}{2}) (!\frac{11}{30}) (!\frac{1}{13})


\Leftarrow Zurück
Von „http://dmuw.zum.de/index.php?title=Lernpfade/Digitaler_Test_zur_Stochastik_der_Sekundarstufe_1/Berechnungen_von_Wahrscheinlichkeiten_und_relative_Häufigkeit&oldid=6342“