Potenzfunktionen

Potenzfunktionen

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Hier eine Aufgabe, die bereits Mathematik aus verschiedenen Bereichen verbindet und Prüfungsaufgaben ähnelt.

Aufgabe mit einer Hyperbel

Gegeben ist die Funktion f ,mit$y=3 \cdot x^{-1} -4 (\mathbb{G}=\mathbb{R^+}\times\mathbb{R})$

• Ermittle die nach y aufgelöste Gleichung der Umkehrfunktion f^-1 zu f.

1. Entscheide welche Gleichung die Richtige ist

	f-1: $y=\frac{x+4}{3}$
	f-1: $y=\frac{3}{x+4}$
	f-1: $y=\frac{\frac{1}{3}}{x-4}$

Punkte: 0 / 0

• Gib die Wertemenge der Funktion an.

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Falls du keine Idee zur Wertemenge oder auch Definitionsmenge hast, erstelle erst die Zeichnung!

1.

$\mathbb{W}=\{y|y>$}

Punkte: 0 / 0

• Tabellarisiere f für $x \in \{0,5; 1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ und zeichne den Graphen in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: $1 LE = 1 cm; -3 \leq x \leq 7; -11 \leq y \leq 3$

Ordne den x-Werten die passenden Funktionswerte zu!

x	0,5	1	2	3	4	5	6
y	2,00	-1,00	-2,50	-3,00	-3,25	-3,40	-3,50

Hier ist ein Applet zur anschaulichen Darstellung

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• Die Punkte $C_n(x|3 \cdot x^{-1}-4)$ auf dem Graphen f sind zusammen mit den Punkten A(-2|-2) und B(1|-10) jeweils die Eckpunkte von Dreiecken ABC_n.

Zeichne das Dreieck ABC₁ für x=1 und das Dreieck ABC₂ für x=4 in das Koordinatensystem ein.

• Unter den Dreiecken ABC_n gibt es ein gleichschenkliges Dreieck ABC₃ mit der Basis [AB]. Zeichne dieses Dreieck in das Koordinatensystem ein und berechne die Koordinaten des Punktes C₃.

1.

C3(|)

Punkte: 0 / 0

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KONSTRUKTION:

• Mittelsenkrechte über [AB] errichten, denn alle Punkte dieser Linie haben die gleiche Entfernung zu A und zu B.
• C₃ ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und dem Funktionsgraphen von f.

RECHNUNG:

• Steigung der Geraden AB ausrechnen $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
• Steigung der Mittelsenkrechten mit $m_1 \cdot m_2=-1$ ermittlen
• Mittelpunkt von [AB] berechnen $(M(\frac{x_B+x_A}{2}|\frac{y_B+y_A}{2}))$
• Gleichung der Mittelsenkrechten ermitteln und mit f(x) schneiden (Gesamte Gleichung mit x durchmultiplizieren)

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• Es gibt ein x für das ein Dreieck ABC₄ den Flächeninhalt $(6\sqrt{2}+5)$ FE besitzt. Berechne dieses x.

[Teilergebnis: $A(x)=(4,5 \cdot x^{-1} +4x+5) FE$]

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Flächenberechnung Dreieck

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