Die Quadratische Funktion der Form f(x) = (x-d)² + e - Die Scheitelpunktsform
Lernpfad
|
Bis jetzt haben wir die Normalparabel f(x) = x² kennen gelernt. Dazu kam dann ein Parameter a als Vorfaktor, welcher die Parabel in Richtung der y-Achse gestreckt oder gestaucht hat und sie zusätzlich bei negativen Werten an der x-Achse spiegelt.
Nun wollen wir uns mit zwei weiteren Parametern beschäftigen.
Zunächst betrachten wir den Parameter e, welcher zur Normalparabel addiert wird.
Die quadratische Funktion schaut dann wie folgt aus:
f(x) = x² + e
Bearbeite das folgende Arbeitsblatt und entdecke die Eigenschaften des Parameters e!
Für die quadratische Funktion f(x)x² + e gilt:
|
Nun folgen einige Aufgaben, um das gerade erlernte Wissen zu vertiefen.
1. Aufgabe: Zuordnung
Du siehst in der Grafik 5 verschiedene quadratische Funktionen. Ermittle zu den vorgegebenen Graphen die Funktionsgleichung:
2. Aufgabe:
Bestimme die Funktionsgleichung mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte:
a) S
b) S
c) S
d) S
e) S
Lösung:
Das war bestimmt kein Problem! Man musste ja lediglich den y-Wert ablesen, da er den Wert von e angibt!
a) f(x)x² + 4,7 b) f(x)x² - 23 c) f(x)x² - 2,5 d) f(x)x² e) f(x)x² + 13
3. Aufgabe:
Nun hast du die Funktionsgleichung gegeben. Finde den zugehörigen Scheitelpunkt S.
a) f(x)x² + 5,2 b) f(x)x² - 3 c) f(x)x² d) f(x)3 + x²
Hilfe:
Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen, aber überlege erst selbst, es ist nicht schwer!
Lösung:
Der x-Wert ist immer 0, denn die Parabel wird nur nach oben oder unten verschoben. Den y-Wert kann man gut ablesen, denn er ist identisch dem Wert von e!
a) S
b) S
c) S
d) S
4. Aufgabe: Zuordnung
Die Punkte A, B, C, D, E und F liegen auf der Parabel f(x) = 2,5 + x². Ordne die fehlenden Koordinaten zu!!
A | B | C | D | E | F |
2 | 0,5 | 3 | 3,5 | 11,5 | 6,5 |
Nachdem du jetzt Parameter e kennst, wollen wir uns nun mit dem Parameter d beschäftigen, der wie folgt in die quadratische Funktion integriert wird:
f(x) = (x - d)²
Um die Eigenschaften des Parameters d zu erlernen, bediene in der Grafik den Schieberegler d und löse im Anschluss den Lückentext.
Die blaue Parabel ist abhängig vom Parameter d und die schwarz-gestrichelte Linie stellt die Normalparabel dar.
Um deine Ergebnisse zu überprüfen musst du mit gehaltener linker Maustaste über das graue Feld ziehst, damit wird das Ergebnis sichtbar!! Aber nicht mogeln!
|
Für die quadratische Funktion f(x)(x - d)² gilt:
|
Achtung!
- Für d > 0 mit einer Verschiebung nach rechts liegt die Gleichung der Form f(x) = (x – d)² vor.
Beispiel: f(x) = (x - 5)² → Es steht zwar -5 aber es wurde die positive Zahl 5 in die Gleichung eingesetzt
- Für d < 0 mit einer Verschiebung nach links liegt die Gleichung der Form f(x) = (x + d)² vor.
Beispiel: f(x) = (x + 5)² → Es steht zwar +5 aber es wurde die negative Zahl -5 in die Gleichung eingesetzt und daher ergibt sich für -5: f(x) = (x - d)² = (x - (-5))² = (x + 5)
Ebenso wie beim Parameter e, folgen nun wieder einige Aufgaben, um auch die Eigenschaften des Parameters d zu vertiefen.
1. Aufgabe: Zuordnung
Du siehst in der Grafik 5 verschiedene quadratische Funktionen. Ordne jedem Graph die richtige Funktionsgleichung durch "drag and drop" zu:
Hilfe:
Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen!
Beispiel: Die erste Grafik hat die Funktionsgleichung f(x) (x + 4,5)²
2. Aufgabe:
Bestimme die Funktionsgleichung mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte:
a) S b) S c) S d) S e) S
Hilfe:
Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen!
a) f(x) (x - 2,5)2
Lösung:
a) f(x) (x - 2,5)2 b) f(x) (x + 3)2 c) f(x) (x - 1202 d) f(x) x2 e) f(x) (x + 7)2
3. Aufgabe:
Zeichne ohne Wertetabelle die Graphen zu folgenden Funktionen. Gib zunächst die Koordinaten des jeweiligen Scheitelpunkts an.
a) f(x) (x - 6)2 b) f(x) (x - 2)2 c) f(x) (x + 3,3)2 d) f(x) (x + 5)2
Lösung:
Die Koordinaten kann man direkt an der Funktionsgleichung ablesen!
a) S b) S c) S d) S
Um die Graphen zu zeichnen, musst du die Normalparabel bei Punkt S erstellen
Bevor wir nun die beiden Parameter e und d zusammenführen, wollen wir nochmal die wichtigsten Eigenschaften wiederholen. Löse dafür die folgende Zuordnung.
Mal sehen wer am wenigstens Versuche braucht, das Quiz ist nicht ganz einfach!
Memory-Puzzle:
Für e > 0: Verschiebung nach oben auf der y-Achse | f(x) = x² + e |
Für e < 0: Verschiebung nach unten auf der y-Achse | f(x) = x² - e |
Für d > 0: Verschiebung nach rechts auf der x-Achse | f(x) = (x - d)² |
Für d < 0: Verschiebung nach links auf der x-Achse | f(x) = (x+d)² |
f(x) = x² + 2 | S (0, 2)
S (0, e) |
f(x) = x² - 4 | S (0, -4)
S (0, -e) |
f(x) = (x - 2)² | S (2, 0)
S (e, 0) |
f(x) = (x+4)² | S (-4, 0)
S (-e, 0) |
Jetzt sind wir an einem Punkt angekommen, an dem wir die Scheitelpunktsform aufstellen können.
Bisher habt ihr in dieser Lerneinheit die Parameter e und d einzeln kennen gelernt.
Ziel dieser Lerneinheit war die quadratische Funktion f(x) = (x-d)² + e, in der beide Parameter gleichzeitig vorkommen.
Wie ihr gelernt habt, steht der Parameter e für den y-Wert im Koordinatensystem und der Parameter d für den x-Wert.
Genau bei diesem Punkt liegt der Scheitelpunkt der Parabel und man nennt deshalb die quadratische Funktion f(x) = (x - d)² + e die Scheitelpunktsform.
Da sich nicht viel ändert, außer die Kombination der Parameter e und d, sollst du jetzt mit Hilfe der dargestellten Grafik das folgende Kreuzworträtsel lösen.
Quadratische Funktion f(x)(x-d)2+ e | Aufgabe und Quiz: | ||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Hinweise: Quiz: Beim Klick auf die Ziffern im Kreuzworträtsel öffnet sich ein Eingabefeld zum Eintragen.
|
Für die quadratische Funktion f(x)(x - d)2 + e gilt:
|
1. Aufgabe: Multiple Choice
Kreuze alle richtigen Aussagen an!
f(x) (x-5)2 - 3 (!Die Parabel ist noch rechts und nach oben verschoben)(!Die Parabel hat den Scheitelpunkt S [-3, 5])(Die Parabel hat den Scheitelpunkt S [5, -3]) (!Die Parabel ist nach unten geöffnet) (Die Parabel ist nach rechts und nach unten verschoben)
f(x) 5 + (x + 12)2 (!Es liegt keine Parabel vor) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach oben verschoben) (!Die Parabel ist um 12 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 12 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel liegt oberhalb der x-Achse) (!Die Parabel hat keine Symmetrieachse)
f(x) x2 + 3 (!Die Parabel ist eine um 3 Einheiten nach links verschobene Normalparabel) (Die Parabel hat den Scheitelpunkt [0, 3]) (Die Symmetrieachse der Parabel ist die y-Achse) (!Die Parabel ist um eine Einheit nach rechts verschoben) (Die Parabel ist nach oben geöffnet)
f(x) -5 + (x-6)2 (!Die Funktionsgleichung ist keine quadratische Funktion) (!Die Parabel ist um 5 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel ist um 6 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten verschoben) (! Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten und um 6 Einheiten nach links veschoben)
2. Aufgabe:
Gegeben ist der Scheitelpunkt S einer verschobenen Normalparabel. Stelle mit Hilfe des Scheitelpunkts S die Funktionsgleichung auf!
a) S (2, -5) b) S (-3 , -3) c) S (4, 8) d) S (5, -2)
Hilfe:
Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen!
Beispiel: Für den Scheitelpunkt S lautet die Funktionsvorschrift: f(x) (x - 12)2 + 24
Lösung:
Die Funktionsgleichung wird in allgemeiner Scheitelpunktsform aufgestellt. Die Werte für den Parameter d und e werden direkt an den Koordinaten vom Scheitelpunkt abgelesen.
a) f(x) (x - 2)2 - 5 b) f(x) (x + 3)2 - 3 c) f(x) (x - 4)2 + 8 d) f(x) (x - 5)2 - 2
3. Aufgabe-Zuordnung:
Finde die richtige Funktionsvorschrift für die Graphen!
4. Aufgabe: KNIFFELAUFGABE:
Zum Abschluss dieser Lektion noch eine kleine Aufgabe zum Nachdenken. Gegeben ist die Funktion f(x) = (x + 3)² + 1,5 und die Punkte W, X , T und P. Welche der folgenden Punkte liegt auf dem Graphen?
a) W b) X c) T d) P
Lösung:
Prima!
Damit kennst du nun alle Parameter, welche die quadratische Funktion beeinflussen können.
In der nächsten Lerneinheit führen wir dann die Parameter a, d und e zusammen und lernen die Normalform kennen.