Vertiefen und Erweitern zum Flächeninhalt des Dreiecks

Vertiefen und Erweitern

Du hast nun eine Möglichkeit kennen gelernt, wie man die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herleiten kann. '

Dies ist aber natürlich nicht der einzige Weg.

Versuche die nächsten nachzuvollziehen.

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Herleitungsidee 2

Welche Figur entsteht? Um welche Punkte werden die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht? Welche Höhe besitzt die neue Figur, im Vergleich zum Ursprungsdreieck? Welche Länge hat die Grundseite c im Vergleich zur Ausgangsfigur? Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks. Hinweis [Anzeigen][Verstecken] Die Längenangaben sind in Zentimetern Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von 8 (Zahl eintragen)cm² Vergleiche Deine Lösungen mit der von Maja: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Es entsteht ein Rechteck Die Teildreiecke werden um die Mittelpunkte der Seiten a und b gedreht. Sie werden um 180° gedreht. Es handelt sich also um eine Kongruenzabbildung. Die Höhe des Rechtecks ist halb so groß wie die Höhe des Ausgangsdreiecks Die Grundseite ist genauso lang wie die des Ausgangsdreiecks.

• Maja und Nils berechnen den Flächeninhalt des grünen Dreiecks.

• Sie schreiben ihre Lösungswege auf. Welcher Lösungsweg passt zu den Skizzen?
• Nils rechnet so: F_Dreieck = ( 8 $\cdot$ 3 ): 2= 12 . Das gehört zur Skizze I
• Maja rechnet so: F_Dreieck = 8 $\cdot$ ( 3 : 2 ) = 8 $\cdot$ 1,5 = 12 : Das gehört zur Skizze II

Suche Dir aus den nächsten beiden Herleitungen eine aus und bearbeite diese

Herleitungsidee 3

Aufgabenstellung: Kreuze die richtigen Antworten an: 1. Welche Figur ensteht? Es ensteht ein... Parallelogramm Rechteck Trapez Dreieck 2. Um welchen Punkt wird das Teildreieck gedreht? Mittelpunkt Ma der Seite a Mittelpunkt Mb der Seite b Eckpunkt C 3. Um wieviel Grad wird es gedreht? 90° 180° 120° 360° 4. Welche Höhe besitzt die neue Figur im Vergleich zum Dreieck ABC? Sie ist... genauso groß, wie die des Dreiecks ABC halb so groß, wie die des Dreiecks ABC doppelt s groß, wie die des Dreiecks ABC Punkte: 0 / 0

5. Wie entsteht diese Figur? Du kannst das bestimmt ohne Hinweis lösen, oder? [Anzeigen][Verstecken] Das Parallelogramm ensteht durch Zerlegung des großen Dreiecks in ein kleines Teildreieck und ein Trapez. Durch Drehen des kleinen Teildreiecks ergänzt man das Trapez zum Parallelogramm. Damit ist klar, dass es sich um eine Kongruenzabbildung handelt 6. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, wenn h2= 4cm und c= 4cm ist Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC ist: 8 (Zahl eintragen)cm² Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks MaMbC. Überlege, welche Länge die Strecke [ Ma Mb] besitzt. Der Flächeninhalt des Dreiecks MaMbC ist 2(Zahl eintragen) cm². Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms. Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist: 8(Zahl eintragen) cm².

Wie kann man für diese Methode die Flächeninhaltsformel des Dreiecks herleiten??

• Es gilt:
  

F_{Parallelogramm} = g $\cdot$ h₁

• Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt:
  

F_{Parallelogramm} = F_Dreieck

• Für die Höhen gilt:

h₁ = ${1 \over 2}$ $\cdot$ h₂

• Einsetzen in Formel für Parallelogramm:
  

F_Dreieck = ${1 \over 2}$ g $\cdot$ h₂

Wie Du siehst, ähneln sich diese beiden Herleitungsideen 2 und 3:

• In der ersten Variante zerlegt man das Dreieck geeignet und ergänzt zum Rechteck mit gleicher Grundseite und halber Höhe...
  

• und in der zweiten Variante zerlegt man das Dreieck und ergänzt zu einem Parallelogramm mit gleicher Länge der Grundseite und halber Höhe

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Herleitungsidee 4

Welche Figur ensteht? Um welche Punkte werden jeweils die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht? Welche Höhe besitzt die erhaltene Figur? Vergleiche Deine Lösungen mit Maja´s Lösungen. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 1. Es ensteht ein Rechteck 2. Die Teildreiecke werden jeweils um die Seitenmittelpunkte gedreht, dabei dreht man um 180°. Dies ist eine Kongruenzabbildung 3. Die Höhe des Rechtecks entspricht der Höhe des Ausgangsdreiecks. 4. Zeige, dass die Grundseite g der neuen Figur halb so lang ist, wie die Grundseite des Dreiecks! Tipp: Ergänze zum Rechteck und beobachte dabei die Teilstrecken s und t Die Grundseite des Dreiecks setzt sich zusammen aus: gDreieck = s + s + t + t Vereinfachen liefert: gDreieck = 2 $\cdot$ s + 2$\cdot$ t = 2 $\cdot$(s + t) Für die Grundseite des Rechtecks gilt: gRechteck= s + t Setzt man gRechteck in die Formel für gDreieck und stellt um, so erhält man: => gRechteck = ${1 \over 2}$ $\cdot$ gDreieck

Wie kann man daraus die Flächeninhaltsformel für das Dreieck berechnen?

• Für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt:

F_Rechteck = g_Rechteck $\cdot$ h

• Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt:
  

F_Rechteck = F_Dreieck

• Für die Grundseiten gilt:

g_Rechteck = ${1 \over 2}$ $\cdot$ g_Dreieck

• Einsetzen in Flächeninhaltsformel für das Rechteck:
  

F_Dreieck = ${1 \over 2}$ g_Dreieck $\cdot$ h

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Wow! Maja und Nils sind stolz auch Dich. Du hast nun auch den 3. Lernpfad erfolgreich bearbeitet!!'

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Übungsaufgaben zur Flächenberechnung am Dreieck