Abbildung durch zentrische Streckung

Lernpfad Abbildung durch zentrische Streckung

1. Station: Ähnlichkeitsabbildung

Hier siehst du Panto mit einer Taschenlampe. Schalte die Taschenlampe ein, dann leuchtet

sie direkt auf einen grünen Trinkstrohhalm. An der Wand entsteht dabei ein Schatten.

Verschiebe Panto näher an den Trinkstrohhalm heran, oder weiter von dem Trinkstrohhalm weg.

Lies die folgenden Beobachtungen konzentriert durch und hake die richtigen Aussagen ab:

1. Wie ändert sich der Schatten durch das Verschieben?

	Je näher Panto mit der Taschenlampe auf den Trinkstrohhalm leuchtet, desto größer ist der Schatten.
	Je weiter Panto mit der Taschenlampe von dem Trinkstrohhalm entfernt ist, desto kleiner ist der Schatten.
	Je näher Panto mit der Taschenlampe auf den Trinkstrohhalm leuchtet, desto kleiner ist der Schatten.
	Je weiter Panto mit der Taschenlampe von dem Trinkstrohhalm entfernt ist, desto größer ist der Schatten.

2. Wie ändern sich die Lichtstrahlen durch das Verschieben?

	Je näher Panto mit der Taschenlampe auf den Trinkstrohhalm leuchtet, desto länger sind die Lichtstrahlen.
	Je weiter Panto mit der Taschenlampe von dem Trinkstrohhalm entfernt ist, desto länger sind die Lichtstrahlen.
	Je näher Panto mit der Taschenlampe auf den Trinkstrohhalm leuchtet, desto kürzer sind de Lichtstrahlen.
	Je weiter Panto mit der Taschenlampe von dem Trinkstrohhalm entfernt ist, desto kürzer sind die Lichtstrahlen.

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Der Trinkstrohhalm wird als Urbild und der Schatten als Bild bezeichnet.

Wie man sieht haben der Trinkstrohhalm und der Schatten verschiedene Größen, doch sie sind sich ähnlich.

Deshalb spricht man von einer Ähnlichkeitsabbildung. Ein weiteres bekanntes Beispiel ist der Diaprojektor.

Damit kann ein Bild durch Projektion an die Wand vergrößert werden.

Die Vergrößerung geht von einem Zentrum, in unserem Beispiel der Taschenlampe, aus. Man spricht hierbei von

einer zentrischen Streckung. Das Streckungszentrum wird mit Z bezeichnet.

Urbild, Bild und Streckungszentrum liegen auf den Lichtstrahlen, die von der Taschenlampe ausgehen. Diese

Lichtstrahlen sind Halbgeraden.

2. Station: Streckungsfaktor

In dem nächsten Fall ist das Urbild ein Dreieck, dass du zentrisch strecken kannst, indem du an dem Schieberegler ziehst.

Was verändert sich? Orientiere dich dabei an diesen Fragen:

1. Auf welcher Seite von Z liegen das Urbild und das Bild?
2. Welche Zahlen werden für k eingesetzt? Positive oder Negative?
3. Wenn k>1 ist liegt dann eine Vergrößerung oder eine Verkleinerung des Bildes vor, oder ist es identisch mit dem Urbild?
4. Wenn 0<k<1 ist liegt dann eine Vergrößerung oder eine Verkleinerung des Bildes vor, oder ist es identisch mit dem Urbild?
5. Wenn k=1 ist liegt dann eine Vergrößerung oder eine Verkleinerung des Bildes vor, oder ist es identisch mit dem Urbild?
6. Was passiert wenn k=0 ist?

Hier findet ihr die Beobachtungen von Dia:

1. Urbild und Bild liegen auf derselben Seite von Z.
2. Es werden positive Zahlen eingesetzt.
3. Für k>1 liegt eine Vergrößerung vor.
4. Für 0<k<1 liegt eine Verkleinerung vor.
5. Für k=1 liegt die Identität vor.
6. Das Dreieck wird nicht zentrisch gestreckt.

Was sind die Unterschiede, wenn ihr dieses Dreieck zentrisch streckt?

Orientiere dich dabei an diesen Fragen:

1. Auf welcher Seite von Z liegen das Urbild und das Bild?
2. Welche Zahlen werden für k eingesetzt? Positive oder Negative?

Hier findet ihr die Beobachtungen von Dia:

1. Urbild und Bild liegen auf verschiedenen Seiten von Z.
2. Es werden negative Zahlen verwendet.

Um herauszufinden was das k bedeutet, müsst ihr euch jetzt bei dieser zentrischen Streckung anschauen, wie

sich die Streckenlängen verändern, wenn ihr k verändert. Dazu müsst ihr euch die Streckenlängen anzeigen lassen.

Zur Hilfe orientiert euch an dieser Frage:

Was ist der Unterschied zwischen der Länge der Bildstrecke zur Urbildstrecke?

Hier könnt ihr eure Vermutung mit der von Dia vergleichen:

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Die Bildstrecken sind jeweils

k bezeichnet man als den Streckungsfaktor. Er gibt den Maßstab an, in dem das Bild vergrößert wurde.

3. Station: Berechnung der Streckenlängen und des Streckungsfaktors

Wie ihr in der 2. Station schon herausgefunden habt ist die Bildstrecke |k|-mal so lang wie die Urbildstrecke.

Geometrisch bedeutet dies: ZB' = |k| ∙ ZB