Lernpfad
Die Quadratische Funktion der Form f(x)(x-d)²+ e - Die Scheitelpunktsform
In diesem Lernpfad lernst du die Scheitelpunktsform kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad
- Der Parameter e stellt sich vor
- Übungen zum Parameter e
- Der Parameter d stellt sich vor
- Übungen zum Parameter d
- Zusammenführung von Parameter e und d zur Scheitelpunktsform
- Aufgaben zur Scheitelpunktsform
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Bis jetzt haben wir die Normalparabel f(x) = x² kennen gelernt. Dazu kam dann ein Parameter a als Vorfaktor, welcher die Parabel in Richtung der y-Achse gestreckt oder gestaucht hat und sie zusätzlich bei negativen Werten an der x-Achse spiegelt.
Nun wollen wir uns mit zwei weiteren Parametern beschäftigen.
STATION 1: Der Parameter e stellt sich vor
Zunächst betrachten wir den Parameter e, welcher zur Normalparabel addiert wird.
Die quadratische Funktion schaut dann wie folgt aus:
f(x) = x² + e
Bearbeite das folgende Arbeitsblatt und entdecke die Eigenschaften des Parameters e!
Quadratische Funktion f(x)x2+ e |
Hinweise, Aufgabe und Lückentext:
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Hinweise: * In der Grafik ist die Normalparabel schwarz-gestrichelt eingezeichnet und die von e abhängige quadratische Funktion blau * Bediene den schwarzen Schieberegler e mit der linken Maustaste, er verändert den Wert von e * Ziehe im Lückentext die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die richtigen Felder.
Aufgabe: Bediene den Schieberegler p. Welche Veränderungen bewirkt der Faktor e?
Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:
Der Parameter e verschiebt die Normalparabel auf der y-Achse. Dabei bleibt die verschobene Parabel kongruent zur Normalparabel.
Ist der Parameter e positiv, so wird die Normalparabel um e Einheiten in Richtung der y-Achse nach oben verschoben.
Ist der Parameter e hingegen negativ, so wird die Normalparabel um e Einheiten in Richtung der y-Achse nach unten verschoben.
Der Scheitelpunkt befindet sich immer auf der y-Achse, genauer gesagt bei Punkt . Bei dieser Parabel ist die y-Achse die Symmetrieachse der Parabel.
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Merke
Für die quadratische Funktion f(x)x² + e gilt:
- Der Graph entsteht aus der Normalparabel durch eine Verschiebung um e Einheiten auf der y-Achse → Der Graph ist kongruent zur Normalparabel
- Für e > 0 gilt: Verschiebung nach oben, um e Einheiten in Richtung der y-Achse
- Für e < 0 gilt: Verschiebung nach unten, um e Einheiten in Richtung der y-Achse
- Der Scheitelpunkt liegt bei S
- Die y-Achse ist die Symmetrieachse
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Nun folgen einige Aufgaben, um das gerade erlernte Wissen zu vertiefen.
STATION 2: Übungen zum Parameter e
1. Aufgabe: Zuordnung
Du siehst in der Grafik 5 verschiedene quadratische Funktionen.
Ermittle zu den vorgegebenen Graphen die Funktionsgleichung:
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x2+2,5 |
x2+1,5 |
x2 |
x2-3,5 |
x2-0,5
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2. Aufgabe:
Bestimme die Funktionsgleichung mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte:
a) S
b) S
c) S
d) S
e) S
Lösung:
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
3. Aufgabe:
Nun hast du die Funktionsgleichung gegeben. Finde den zugehörigen Scheitelpunkt S.
a) f(x)x² + 5,2
b) f(x)x² - 3
c) f(x)x²
d) f(x)3 + x²
Hilfe:
Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen, aber überlege erst selbst, es ist nicht schwer!
[Anzeigen][Verstecken]
a) S
Lösung:
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
4. Aufgabe: Zuordnung
Die Punkte A, B, C, D, E und F liegen auf der Parabel f(x) = 2,5 + x².
Ordne die fehlenden Koordinaten zu!!
A |
B |
C |
D |
E |
F
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2 |
0,5 |
3 |
3,5 |
11,5 |
6,5
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STATION 3: Der Parameter d stellt sich vor
Nachdem du jetzt Parameter e kennst, wollen wir uns nun mit dem Parameter d beschäftigen, der wie folgt in die quadratische Funktion integriert wird:
f(x) = (x - d)²
Um die Eigenschaften des Parameters d zu erlernen, bediene in der Grafik den Schieberegler d und löse im Anschluss den Lückentext.
Die blaue Parabel ist abhängig vom Parameter d und die schwarz-gestrichelte Linie stellt die Normalparabel dar.
Um deine Ergebnisse zu überprüfen musst du mit gehaltener linker Maustaste über das graue Feld ziehst, damit wird das Ergebnis sichtbar!! Aber nicht mogeln!
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!!!Bewege den Schieberegler d. Was verändert sich an der Lage der Parabel im Vergleich zur Normalparabel?
- Der Parameter d der quadratischen Funktion f(x) = (x - d)² bewirkt eine Verschiebung der Normalparabel auf der x-Achse. Wie schon bei der Verschiebung beim Parameter e, ist die verschobene Parabel kongruent zur Normalparabel.
- Mit Hilfe des Schiebereglers d stellt man fest, dass für positive d-Werte eine Verschiebung um d Einheiten nach rechts erfolgt. Ist der Wert von d negativ, so wird der Graph um d Einheiten nach links verschoben.
- Aber Achtung! Es wird ein kleines Verwirrspiel getrieben, denn für positive d-Werte lautet die Funktionsgleichung f(x) = (x - d)². Man macht leicht den Fehler und denkt positiv müsste doch (x + d)². Da jedoch die Ausgangsfunktionsgleichung f(x) = (x - d)² lautet, entsteht für positive d-Werte eine VDifferenz in der Klammer. Genau andersherum verhält es sich für negative d-Werte, dort lautet die Funktionsgleichung f(x) = (x + d)².
- Für den Scheitelpunkt gelten die Koordinaten S (d, 0), denn der x-Wert bleibt immer Null.
- Als Symmetrieachse ergibt sich daher die Parallelachse zur y-Achse senkrecht zur x-Achse.
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