Flächeninhalt ebener Figuren- Teil 2

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Flächeninhalt Dreieck

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Vorüberlegungen: Dem Dreieck auf der Spur

1. Teil: Wie ändert sich der Flächeninhalt?

Aufgabenstellung: Ziehe am Eckpunkt C des Dreiecks ABC. Beobachte, wie sich der Flächeninhalt verändert. Wann wird der Flächeninhalt größer? Wann wird der Flächeninhalt kleiner? Wann ändert sich der Flächeninhalt kaum, bzw. gar nicht? Auf welcher Linie musst Du C bewegen, damit der Flächeninhalt gleich bleibt? Lösung

2. Teil: TITEL

Aufgabenstellung: Ziehe am Eckpunkt C und beobachte, wie sich der Flächeninhalt verändert. Welche Eigenschaft besitzt die Linie, auf der sich C bewegt? Lösung:

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Die Flächeninhaltsformel des Dreiecks

Mathematik scheint manchmal wie Zauberei...Warum?? Das erfährst Du im nächsten Abschnitt.

Fast wie Zauberei! Zweimal Unbekannt = Bekannt?

Wir wollen die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herausfinden.
Doch, wie könnte man das nur machen?
In diesem Applet siehst Du das Dreieck ABC.

Aufgabenstellung: Verfolge die in der Darstellung angegebenen Schritte 1-3 Beobachte was passiert. Hilft uns dieses Modell weiter, die Formel zu finden?

Leite daraus die Flächeninhaltsformel für Dreiecke her!
Bedenke, welche Flächeninhaltsformel Du vor Kurzem erst Kennen gelernt hast
Aufgabenstellung: Ergänze die fehlenden Felder in der Rechnung.

Super! Du hast die Flächeninhaltsformel für Dreiecke gefunden.

Begründe, warum man die Formel auf diesem Wege herleiten kann.

Zerlegungsgleichheit ist das Stichwort! Ausgehend vom Parallelogramm lässt sich die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herleiten, indem man ein Parallelogramm geeignet halbiert. Man halbiert hier dies entlang einer Diagonalen. Diese Halbierung zerlegt das Parallelogramm in zwei kongruente Dreiecke, die jeweils den gleichen Flächeninhalt besitzen und deren Gesamtflächeninhalt, also dem des Parallelogramms entspricht. Ein Dreieck ist damit halb(4 geteilt durch 2) so groß wie ein Parallelogramm mit derselben Grundseite und Höhe (vier Buchstaben).

Sicherung

Übertrage den roten Merkkasten in dein Heft, damit Du die Flächeninhaltsformel für Dreiecke auch Zuhause nachschauen kannst:

Merke:

Den Flächeninhalt des Dreiecks berechnet man durch: FDreieck = ${1 \over 2} \cdot g \cdot h$ mit g als Grundseite und h als der dazugehörigen Höhe.

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Vertiefen und Erweitern

Du hast nun eine Möglichkeit kennen gelernt, wie man die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herleiten kann. Dies ist aber natürlich nicht der einzige Lösungsansatz.
Im nächsten Abschnitt lernst Du weitere kennen. Versuche die Lösungsideen nachzuvollziehen und bearbeite die Aufgabenstellungen. Leite daraus jeweils algebraisch die Flächeninhaltsformel für Dreiecke her.

Herleitungsidee 2

Aufgabenstellung: Wie wurde das Dreieck zerlegt? Welche Figur ensteht? Wie erhält man die Figur? Um welche Punkte werden die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht? Welche Höhe besitzt die neue Figur, im Vergleich zum Ursprungsdreieck? Welche Länge besitzt ihre Grundseite?

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Aufgabenstellung: Wie wurde das Dreieck zerlegt? Welche Figur ensteht bei der Ergänzung? Wie entsteht diese Figur? Um welchen Punkt wird das kleine Teildreieck gedreht? Um wieviel Grad wird es gedreht? Welche Höhe besitzt die neue Figur im Vergleich zum Dreieck

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Aufgabenstellung: Wie wurde das Dreieck zerlegt? Welche Figur ensteht bei der Ergänzung? Um welchen Punkt werden jeweils die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht? Welche Höhe besitzt die erhaltene Figur? Zeige, dass die Grundseite der neuen Figur halb so lang ist, wie die Grundseite des Dreiecks!

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