Abbildung durch zentrische Streckung

Lernpfad Abbildung durch zentrische Streckung

1. Station: Ähnlichkeitsabbildung

Hier siehst du Panto mit einer Taschenlampe. Schalte die Taschenlampe ein, dann leuchtet

sie direkt auf einen grünen Strohhalm. An der Wand entsteht dabei ein Schatten.

Verschiebe Panto näher an den Strohhalm heran, oder weiter von dem Strohhalm weg.

Lies die folgenden Beobachtungen konzentriert durch und hake die richtigen Aussagen ab:

1. Wie ändert sich der Schatten durch das Verschieben?

	Je näher Panto mit der Taschenlampe auf den Strohhalm leuchtet, desto größer ist der Schatten.
	Je näher Panto mit der Taschenlampe auf den Strohhalm leuchtet, desto kleiner ist der Schatten.
	Je weiter Panto mit der Taschenlampe von dem Strohhalm entfernt ist, desto kleiner ist der Schatten.
	Je weiter Panto mit der Taschenlampe von dem Strohhalm entfernt ist, desto größer ist der Schatten.

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Der Strohhalm wird als Urbild und der Schatten als Bild bezeichnet.

Wie man sieht haben der Strohhalm und der Schatten verschiedene Größen, doch sie sind sich ähnlich.

Deshalb spricht man von einer Ähnlichkeitsabbildung.

Die Vergrößerung geht von einem Zentrum, in unserem Beispiel der Taschenlampe, aus. Man spricht hierbei von

einer zentrischen Streckung. Das Streckungszentrum wird mit Z bezeichnet.

Urbild, Bild und Streckungszentrum liegen auf den Lichtstrahlen, die von der Taschenlampe ausgehen. Diese

Lichtstrahlen sind Halbgeraden.

Hier kannst du weitere Beispiele einer zentrischen Streckung sehen

2. Station: Streckungsfaktor

In dem nächsten Fall ist das Urbild ein Dreieck, dass du zentrisch strecken kannst, indem du an dem Schieberegler ziehst.

Der Schieberegler durchläuft die positiven Zahlen von k=0 bis k=3.

Was verändert sich? Orientiere dich dabei an diesen Fragen: Auf welcher Seite von Z liegen das Urbild und das Bild? (auf derselben Seite) (!auf verschiedenen Seiten) Was liegt bei k>1 vor? (eine Vergrößerung) (!eine Verkleinerung) (!die Identität) Was liegt bei 0<k<1 vor? (!eine Vergrößerung) (eine Verkleinerung) (!die Identität) Was liegt bei k=1 vor? (!eine Vergrößerung) (!eine Verkleinerung) (die Identität) Was passiert wenn k=0 ist? (es erfolgt keine zentrische Streckung) (!es erfolgt eine zentrische Streckung)

Was sind die Unterschiede, wenn ihr dieses Dreieck zentrisch streckt? Dieses mal durchläuft der

Schieberegler die negativen Zahlen von k=-3 bis k=0.

Was verändert sich? Orientiere dich dabei an diesen Fragen: Auf welcher Seite von Z liegen das Urbild und das Bild? (!auf derselben Seite) (auf verschiedenen Seiten) Was liegt bei k< -1 vor? (eine Vergrößerung) (!eine Verkleinerung) (!die Identität) (!eine Spiegelung) Was liegt bei 0>k> -1 vor? (!eine Vergrößerung) (eine Verkleinerung) (!die Identität) (!eine Spiegelung) Was liegt bei k= -1 vor? (!eine Vergrößerung) (!eine Verkleinerung) (!die Identität) (eine Spiegelung)

Um herauszufinden was das k bedeutet, musst du dir jetzt bei dieser zentrischen Streckung anschauen, wie

sich die Streckenlängen verändern, wenn du k veränderst. Dazu musst du dir die Streckenlängen anzeigen lassen.

Zur Hilfe orientiere dich an dieser Frage:

Was ist der Unterschied zwischen der Länge der Bildstrecke zur Urbildstrecke?

Was passiert mit der Streckenlänge ZB? (Sie bleibt immer gleich) (!Sie ist variabel)

Was passiert mit der Streckenlänge ZB'? (!Sie bleibt immer gleich) (Sie ist variabel)

Wie verhält sich k? (!Es bleibt immer gleich) (Es ist variabel)

Hier kannst du deine Vermutung mit der von Dia vergleichen:

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Die Bildstrecken sind jeweils |k|-mal so lang wie die Urbildstrecken.

k bezeichnet man als den Streckungsfaktor. Er gibt den Maßstab an, in dem das Bild vergrößert wurde.

3. Station: Berechnung der Streckenlängen und des Streckungsfaktors

Wie ihr in der 2. Station schon herausgefunden habt ist die Bildstrecke |k|-mal so lang wie die Urbildstrecke.

Geometrisch bedeutet dies: ZP' = |k| ∙ ZP

P'Q' = |k| ∙ PQ
$\Leftrightarrow$P'Q' = |k| ∙ ZQ - |k| ∙ ZP
$\Leftrightarrow$P'Q' = |k| ∙ (ZQ - ZP
$\Leftrightarrow$P'Q' = |k| ∙ PQ

4. Station: Zusammenfassung

Schreibe dir diese Zusammenfassung in dein Heft.

Abbildungsvorschrift der zentrischen Streckung
Wenn eine Vergrößerung von einem Zentrum ausgeht, dann spricht man von einer zentrischen Streckung.
Sie wird festgelegt durch Angabe eines Streckungszentrums Z und eines Streckungsfaktors k. (Kurz: )
Der Urpunkt P, der Bildpunkt P' und das Streckungszentrum Z liegen auf einer Geraden.
Es gilt: ZP' = |k| ∙ ZP
Bei |k|>1 liegt eine Vergrößerung, bei 0<|k|<1 eine Verkleinerung vor.
Wenn k=1 ist liegt die Identität vor, bei k= -1 eine Spiegelung.
Für k>0 gilt: Urpunkt und Bildpunkt liegen auf der gleichen Seite von Z.
Für k<0 gilt: Urpunkt und Bildpunkt liegen auf verschiedenen Seiten von Z.

5. Station: Übung

Das Bild zeigt eine zentrische Streckung.

Streckungsfaktor Was kann man mit Hilfe des Schiebereglers (A) einstellen? Streckungszentrum Was stellt die Taschenlampe (B) dar? Halbgerade Was ist der Lichtstrahl (C)? Urbild Als was kann man den Strohhalm (D) noch bezeichnen? Bild Als was kann man den Schatten (E) noch bezeichnen?