Grundlagen der Zerlegungsgleichheit von Figuren

Auf dieser Seite lernst Du die Eigenschaften der Zerlegungsgleichheit von Figuren kennen.

Bearbeite die Aufgaben sorgfältig!
Nicht mogeln...schaue erst die Lösungen an, wenn du die Aufgaben selbstsändig bearbeitet hast! Denn nur so lernst du am Besten!

1. Grundlagen der Zerlegungsgleichheit von Figuren

1.1 Wiederholung des Kongruenzbegriffes

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Weißt Du noch was man unter Kongruenz von Figuren versteht??

Eine Wiederholung kann nicht schaden.

1.2 Los geht´s: Teste Dein Wissen!

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Ein anderes Wort für Kongruenz ist Deckungsgleichheit

Hinweis: Kongruente Figuren kann man zur Deckung bringen

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Aufgabe: Kongruente Dreiecke

Findest Du alle Dreiecke, die zum Dreieck A kongruent sind?
Gib die Buchstaben an und begründe anschließend warum.

1. Kongruente Dreiecke zu A sind?

	B und D
	C und E
	G und H
	J und K
	I und F

2. Welche Dreiecke sind ähnlich zu A??

	B und F
	C
	D
	E und G
	H
	I
	J
	K

Punkte: 0 / 0

War Deine Lösung richtig?

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Kleines Quiz

Achtung!! Mehrere Antworten sind möglich!

1. Markiere die richtigen Antworten

	alle zueinander ähnlichen Figuren sind zueinander kongurent
	alle zueinander kongruenten Figuren sind zueinander ähnlich
	alle kongruenten Figuren haben die gleiche Farbe
	alle kongruenten Figuren haben den gleichen Flächeninhalt

Punkte: 0 / 0

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1.3 Das sollest du also wissen

Zwei Figuren sind zueinander kongruent, wenn sie durch Verschiebung,Drehung oder Spiegelung ineinander überführt werden können. Diese drei Abbildungen nennt man daher auch Kongruenz-abbildungen.

1.4 Wofür können wir die Kongruenz von Figuren gebrauchen?

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Du kennst sicher ein paar Anwendungsbeispiele wofür man die Eigenschaften der

Kongruenz von Figuren nutzen kann.

Im nächsten Abschnitt lernst Du ein weiteres Anwendungsbeispiel kennen

2. Zerlegungsgleichheit von Figuren

2.1 Eine Einführung

Kennst Du den Namen des Legespiels?

100px

100px	100px	100px
100px	100px	100px
100px	100px	100px

Aufgabe: Teilfiguren finden

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Hier siehts Du drei Figuren: Eine Schiffskatze, ein Papagei und ein Matrose.

Sie alle lassen sich in Teilfiguren zerlegen.

Aufgabenstellung:
Finde die Teilfiguren, indem Du die Linien einzeichnest.

Prima!!! Du hast nun alle Teilfiguren entdeckt.

Was fällt Dir beim Vergleich der Figuren auf?

Tipp: Achte auf Anzahl und Eigenschaften der Teilfiguren (wird noch formatiert)

Lösung: Die Figuren bestehen aus der gleichen Anzahl an Teilfiguren, welche jeweils paarweise kongruent zueinander sind.

Kapitän Check Aufgabe: Welche ist die größte Insel?

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Aufgabenstellung Ziehe mit der linken Maustaste die unten stehenden Figuren auf die Insel- Umrisse, so dass diese bedeckt werden. Wenn du eine Insel vollständig zusammengesetzt hast, dann drücke auf den Reset- Befehl rechts oben im Applet.

Jetzt kannst du die Teilfiguren auf eine neue Insel ziehen.
ACHTUNG: Wenn die Figuren übereinander liegen, musst du erst wählen, welche Figuren du ziehen willst. Wähle dafür immer die grüne Figur aus.

Was fällt Dir auf? Welche ist dir größte Insel?? Begründe Deine Antwort!

1. Markiere die richtige Antwort:

	Figur A: Isola Grande
	Figur B: Isola Bella
	Figur C: Isola Piccola

Punkte: 0 / 0

Begründung:

Die Figuren A und C sind gleich groß, da sie mit sechs Teilfiguren ausgelegt werden können, die jeweils kongruent zueinander sind.
Figur B kann mit einer Teilfigur mehr ausgelegt werden, deshalb ist sie die größte der drei Inseln.

Figur A und C nennt man daher auch zerlegungsgleich,

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2.3 Das Prinzip der Zerlegungsgleichheit

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Das Sechseck und das Quadrat wurden in jeweils fünf Teilfiguren zerlegt.

Diese Teilfiguren sind paarweise zueinander kongruent, d.h. es gibt immer ein Paar zueinander kongruenter Figuren.

Aus den Eigenschaften der Kongruenz ergibt sich daher, dass diese Teilfiguren den gleichen Flächeninhalt besitzen.

Der Flächeninhalt des Quadrates setzt sich in diesem Beispiel aus den Flächeninhalten der Teilfiguren F₁ bis F₅ zusammen.

Ergänze die fehlenden Felder

F_Quadrat = F₁ + F₂ + F₃ + F₄ + F₅ ebenso gilt aber auch:
F₁ + F₂ + F₃ + F₄ + F₅ = F_Sechseck

Somit haben Sechseck und Quadrat in dem Beispiel den gleichen Flächeninhalt!

<br

Der Flächeninhalt der Gesamtfigur ergibt sich aus der Addition der Flächeninhalte der Teilfiguren.

Das ist ja klasse! Wir können feststellen, dass zwei Figuren den gleichen Flächeninhalt besitzen, obwohl wir den Flächeninhalt der einzelnen Teilflächen selbst noch gar nicht berechnen können!

Hierzu ein kleines Beispiel:

Kannst Du zeigen, dass die beiden folgenden Figuren den gleichen Flächeninhalt haben?

Hier findest du den Hinweis

Man kann die Berechnung des Flächeninhaltes von Figuren, für die man keine Berechnungsformel kennt, auf Figuren zurückführen, für die man eine Flächeninhaltsformel kennt.

Zusammenfassung

Übertrage folgende Definition in Dein Heft:

Zerlegungsgleichheit von Figuren Zwei Figuren sind zerlegungsgleich, wenn sie in paarweise kongruente Teilfiguren zerlegt werden können.
Beispiel:

Figur A und Figur B sind zerlegungsgleich. Zerlegungsgleiche Figuren besitzen den gleichen Flächeninhalt

Ergänzungsgleichheit von Figuren

Das Trapez und das Rechteck sind zerlegungsgleich, denn sie können z.B. in jeweils vier zueinander kongruente Dreiecke zerlegt werden.

Man nennt dieses Rechteck und das Trapez aber auch ergänzungsgleich. Betrachte Dir dazu das nachfolgende Bild:

Was bedeutet Ergänzungsgleichheit? Fülle dazu die Lücken aus:

Das Trapez und das Rechteck sind ergänzungsgleich, das sie durch Ergänzung mit kongruenten Teilfiguren, in diesem Fall mit je zwei blauen Dreiecken in zueinander kongruente Figuren A und B überführt werden können.

Merke Dir folgende Definition zur Ergänzungsgleichheit:

[[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg]||Zwei Figuren sind ergänzungsgleich, wenn man sie durch Ergänzung mit kongruenten Teilfiguren in zerlegungsgleiche Figuren umwandeln kann. Ergänzungsgleiche Figuren sind daher auch zerlegungsgleich.Ergänzungsgleiche Figuren besitzen den gleichen Flächeninhalt.

Übung zur Ergänzungsgleichheit

Vertiefen und Übung

Klassenzimmer streichen

Eine Schulklasse hat sich entschieden die Rückwand des Klassenzimmers neu zu streichen. Da die Mädchen gelb und die Jungen grün streichen wollen, haben sie sich geeinigt die Rückwand jeweils in der Hälfte der Farben zu streichen.

Hilf der Klasse bei den Designvorschlägen.

Hier siehst Du die Rückwand des Klassenzimmers. Sie ist 4 Meter hoch und 6 Meter breit.

Wieviele Vorschläge hast Du? Übertage das Rechteck in Dein Heft und sei kreativ! Aber achte auch auf die Aufgabenstellung!

Du findest hier ein paar Lösungsvorschläge:

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Hast Du mehr Ideen gefunden?? Prima!
Aufgabenstellung: Zeige, warum im Lösungsvorschlag 1, 3, 7 und 8 jeweils genau die Hälfte grün bzw. gelb gestrichen wird. Begründe mit dem, was Du bisher über Flächeninhalte gelernt hast. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

• Rechteck 1 wurde in 2 kongruente Teilrechtecke zerlegt, die jeweils grün bzw. gelb gefärbt sind. Da zueinander kongruente Figuren den gleichen Flächeninhalt besitzen ist genau die Hälfte des Rechtechs grün bzw. gelb.
  
• Rechteck 3 wurde entlang der Diagonalen halbiert. Es entstehen dabei 2 kongruente Teildreiecke. Argumentation weiter wie für Rechteck 1.
  
• Das Rechteck 7 wurde in 4 kongruente Dreiecke zerlegt. Je 2 davon wurden grün bzw. gelb gefärbt. Da ${2\over 4}= {1\over2}$ wurde je die Hälfte grün bzw. gelb gefärbt.
  
• Dieses 8. Rechteck wurde in 8 kongruente Teildreiecke zerlegt. Je 4 davon wurden grün bzw. gelb gefärbt. Agrumentation analog wie für Rechteck 7