Grundlagen der Zerlegungsgleichheit von Figuren

Auf dieser Seite lernst Du die Eigenschaften der Zerlegungsgleichheit von Figuren kennen.

Bearbeite die Aufgaben sorgfältig!
Nicht mogeln...schaue erst die Lösungen an, wenn du die Aufgaben selbstsändig bearbeitet hast! Denn nur so lernst du am Besten!

1. Grundlagen der Zerlegungsgleichheit von Figuren

1.1 Wiederholung des Kongruenzbegriffes

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Weißt Du noch was man unter Kongruenz von Figuren versteht??

Eine Wiederholung kann nicht schaden.

1.2 Los geht´s: Teste Dein Wissen!

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Ein anderes Wort für Kongruenz ist Deckungsgleichheit

Hinweis: Kongruente Figuren kann man zur Deckung bringen

Aufgabe: Kongruente Dreiecke

Findest Du alle Dreiecke, die zum Dreieck A kongruent sind?
Gib die Buchstaben an und begründe anschließend warum.

1. Kongruente Dreiecke zu A sind?

	B und D
	C und E
	G und H
	J und K
	I und F

2. Welche Dreiecke sind ähnlich zu A??

	B und F
	C
	D
	E und G
	H
	I
	J
	K

Punkte: 0 / 0

War Deine Lösung richtig?

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Kleines Quiz

Achtung!! Mehrere Antworten sind möglich!

1. Markiere die richtigen Antworten

	alle zueinander ähnlichen Figuren sind zueinander kongurent
	alle zueinander kongruenten Figuren sind zueinander ähnlich
	alle kongruenten Figuren haben die gleiche Farbe
	alle kongruenten Figuren haben den gleichen Flächeninhalt

Punkte: 0 / 0

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1.3 Das sollest du also wissen

Zwei Figuren sind zueinander kongruent, wenn sie durch Verschiebung,Drehung oder Spiegelung ineinander überführt werden können. Diese drei Abbildungen nennt man daher auch Kongruenz-abbildungen.

1.4 Wofür können wir die Kongruenz von Figuren gebrauchen?

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Du kennst sicher ein paar Anwendungsbeispiele wofür man die Eigenschaften der man die Kongruenz von Figuren nutzen kann.

Dazu gehört zum Beispiel die Konstruktion von Dreiecken, wofür man die Kongruenzsätze benötigt. Kennst Du noch alle davon? Ordne die richtige Abkürzung der Beschreibung zu!

Zwei Dreiecke, die in ihren drei Seitenlängen übereinstimmen, sind kongruent: SSS-Satz
Zwei Dreiecke, die in einer Seitenlänge und in den dieser Seite anliegenden Winkeln übereinstimmen, sind kongruent: WSW-Satz
Zwei Dreiecke, die in zwei Seitenlängen und in dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, sind kongruent: SWS-Satz
Zwei Dreiecke, die in zwei Seitenlängen und in jenem Winkel übereinstimmen, der der längeren Seite gegenüberliegt, sind kongruent: SsW-Satz

Im nächsten Abschnitt lernst Du ein weiteres Anwendungsbeispiel kennen

2. Zerlegungsgleichheit von Figuren

2.1 Eine Einführung

Kapitän Check Aufgabe: Welche ist die größte Insel?

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Aufgabenstellung:

: Du siehst hier die 3 schwarzen Inseln. Darunter befinden sich alle Teilfiguren, mit denen man die Inseln vollständig zusammensetzen kann. Klicke :die jeweiligen Kästchen an, um die Teilfiguren auf die Inseln zu legen.

• Lege die Teilfiguren per Mausklick von Links nach Rechts auf die Insel
• Überlege Dir zunächst selbst, wo die nächste Teilfigur platziert werden könnte.
• Was fällt Dir auf? Welche ist die größte Insel?

Was fällt Dir auf? Welche ist die größte Insel?? Begründe Deine Antwort!

Die größte Insel ist Isola Bella (entweder Isola Grande, Isola Bella oder Isola Piccola eintragen)

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Die Figuren A und C sind gleich groß, da sie mit sechs Teilfiguren ausgelegt werden können, die jeweils kongruent zueinander sind. denn das kleine blaue und das graue Dreieck sind auch zueinander kongruent.

Figur B kann mit einer Teilfigur mehr ausgelegt werden, deshalb ist sie die größte der drei Inseln.

Figur A und C nennt man daher auch zerlegungsgleich,

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2.3 Das Prinzip der Zerlegungsgleichheit

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Das Sechseck und das Quadrat wurden in jeweils fünf Teilfiguren zerlegt.

Diese Teilfiguren sind paarweise zueinander kongruent, d.h. es gibt immer ein Paar zueinander kongruenter Figuren.

Aus den Eigenschaften der Kongruenz ergibt sich daher, dass diese Teilfiguren den gleichen Flächeninhalt besitzen.

Der Flächeninhalt des Quadrates setzt sich in diesem Beispiel aus den Flächeninhalten der Teilfiguren F₁ bis F₅ zusammen.

Ergänze die fehlenden Felder

F_Quadrat = F₁ + F₂ + F₃ + F₄ + F₅ ebenso gilt aber auch:
F₁ + F₂ + F₃ + F₄ + F₅ = F_Sechseck

Somit haben Sechseck und Quadrat in dem Beispiel den gleichen Flächeninhalt!

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Der Flächeninhalt der Gesamtfigur ergibt sich aus der Addition der Flächeninhalte der Teilfiguren.

Das ist ja klasse! Wir können feststellen, dass zwei Figuren den gleichen Flächeninhalt besitzen, obwohl wir den Flächeninhalt der einzelnen Teilflächen selbst noch gar nicht berechnen können!

Hierzu ein kleines Beispiel:

Kannst Du zeigen, dass die beiden folgenden Figuren den gleichen Flächeninhalt haben?

Hier findest du den Hinweis

Man kann die Berechnung des Flächeninhaltes von Figuren, für die man keine Berechnungsformel kennt, auf Figuren zurückführen, für die man eine Flächeninhaltsformel kennt.

Zusammenfassung

Übertrage folgende Definition in Dein Heft:

Zerlegungsgleichheit von Figuren Zwei Figuren sind zerlegungsgleich, wenn sie in paarweise kongruente Teilfiguren zerlegt werden können.
Beispiel:

Figur A und Figur B sind zerlegungsgleich. Zerlegungsgleiche Figuren besitzen den gleichen Flächeninhalt

Ergänzungsgleichheit von Figuren

Das Trapez und das Rechteck sind zerlegungsgleich, denn sie können z.B. in jeweils vier zueinander kongruente Dreiecke zerlegt werden.

Man nennt dieses Rechteck und das Trapez aber auch ergänzungsgleich. Betrachte Dir dazu das nachfolgende Bild:

Was bedeutet Ergänzungsgleichheit? Fülle dazu die Lücken aus:

Das Trapez und das Rechteck sind ergänzungsgleich, das sie durch Ergänzung mit kongruenten Teilfiguren, in diesem Fall mit je zwei blauen Dreiecken in zueinander kongruente Figuren A und B überführt werden können.

Merke Dir folgende Definition zur Ergänzungsgleichheit:

||Zwei Figuren sind ergänzungsgleich, wenn man sie durch Ergänzung mit kongruenten Teilfiguren in zerlegungsgleiche Figuren umwandeln kann. Ergänzungsgleiche Figuren sind daher auch zerlegungsgleich.Ergänzungsgleiche Figuren besitzen den gleichen Flächeninhalt.

Vertiefen und Übung

Klassenzimmer streichen

Eine Schulklasse hat sich entschieden die Rückwand des Klassenzimmers neu zu streichen. Da die Mädchen gelb und die Jungen grün streichen wollen, haben sie sich geeinigt die Rückwand jeweils in der Hälfte der Farben zu streichen.

Hilf der Klasse bei den Designvorschlägen.

Hier siehst Du die Rückwand des Klassenzimmers. Sie ist 4 Meter hoch und 6 Meter breit.

Wieviele Vorschläge hast Du? Übertage das Rechteck in Dein Heft und sei kreativ! Aber achte auch auf die Aufgabenstellung!

Du findest hier ein paar Lösungsvorschläge:

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Hast Du mehr Ideen gefunden?? Prima!
Aufgabenstellung: Zeige, warum im Lösungsvorschlag 1, 3, 7 und 8 jeweils genau die Hälfte grün bzw. gelb gestrichen wird. Begründe mit dem, was Du bisher über Flächeninhalte gelernt hast. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

• Rechteck 1 wurde in 2 kongruente Teilrechtecke zerlegt, die jeweils grün bzw. gelb gefärbt sind. Da zueinander kongruente Figuren den gleichen Flächeninhalt besitzen ist genau die Hälfte des Rechtechs grün bzw. gelb.
  
• Rechteck 3 wurde entlang der Diagonalen halbiert. Es entstehen dabei 2 kongruente Teildreiecke. Argumentation weiter wie für Rechteck 1.
  
• Das Rechteck 7 wurde in 4 kongruente Dreiecke zerlegt. Je 2 davon wurden grün bzw. gelb gefärbt. Da ${2\over 4}= {1\over2}$ wurde je die Hälfte grün bzw. gelb gefärbt.
  
• Dieses 8. Rechteck wurde in 8 kongruente Teildreiecke zerlegt. Je 4 davon wurden grün bzw. gelb gefärbt. Agrumentation analog wie für Rechteck 7