Mathematisches Modellieren

Modellierungskreislauf

Beispielaufgabe: Außenputz

Das abgebildete Haus soll verputzt werden. Vom Dach bis zum Beginn der Dachschräge wird das Haus allerdings mit Holz verkleidet. Wie groß ist die zu verputzende Fläche?

Aufgabe verstehen

Zunächst mache ich mir eine Vorstellung darüber, wie die zu verputzende Wand später aussehen soll und fertige dazu eine Skizze an

Nun überlege ich welche Teile der Wand verputzt werden sollen bzw. nicht verputzt werden sollen. Nicht verputzt werden:

mit Holz verkleidete Fläche
Fenster
Balkonboden
Balkontüren
Fläche hinter Steinen

Ich habe nun also eine genaue Vorstellung von der Aufgabe.

Aber wie berechne ich nun die gesuchte Fläche?

Modell erstellen

Um die Flächen berechnen zu können überlege ich welche mathematische Formen, deren Flächeninhalt ich berechnen kann, die Wand am besten beschreiben. Für die Wandfläche, Fenster, Balkonboden und Balkontüren sind Rechtecke am naheliegensten. Für die Fläche hinter den Steinen eignet sich ein Dreieck. Somit ergibt sich folgende Skizze:

Zu Berechnen ist also:
gesamte Wandfläche - (kleines Kellerfenster + großes Kellerfenster + 2·Erdgeschossfenster + Balkon + 2·Balkontür + Fläche hinter Steinen)

Eine Rechtecksfläche berechne ich durch die Formel: Länge · Breite
Die Dreiecksfläche durch: 0,5 · Grundfläche · Höhe
Da es sich hier um ein rechtwinkliges Dreieck handelt kann ich für die Grundfläche und Höhe die Abmessungen der entsprechenden Außenseite des Hauses verwenden.

Aber wie soll ich die Fläche ohne Längenangaben berechnen?

Ich betrachte nochmals das Bild in der Angabe! Ich weiß, dass eine normale Raumhöhe etwa 2,60m entspricht. Also nehme ich diesen Wert von 2,60m für die Raumhöhe des Hauses an und messe diese im Bild. Dies ist gut möglich, da man zwischen den einzelnen Mauersteinen die Decke gut erkennen kann. Ich messe hier 2,6cm. Der Rest des Hauses wird auch noch vermessen.

Nun habe ich alle benötigten Maße aus dem Bild gemessen.

Mathematik benutzen

Die im Bild gemessenen Maße kann ich nun in die entsprechenden realen Längen umrechnen

2,6cm $\widehat{=}$ 2,6m
1cm $\widehat{=}$ 1m

Wandfläche bis Dachschräge:
Länge: 9,5cm $\widehat{=}$ 9,50m
Breite: 4,8cm $\widehat{=}$ 4,80m

großes Kellerfenster:
Länge: 1,1cm $\widehat{=}$ 1,10m
Breite: 1,2cm $\widehat{=}$ 1,20m

kleines Kellerfenster:
Länge: 0,9cm $\widehat{=}$ 0,90m
Breite: 0,7cm $\widehat{=}$ 0,70m

Erdgeschossfenster:
Länge: 1,7cm $\widehat{=}$ 1,70m
Breite: 1,4cm $\widehat{=}$ 1,40m

Balkonboden:
Länge: 5,3cm $\widehat{=}$ 5,30m
Breite: 0,3cm $\widehat{=}$ 0,30m

Balkontür:
Länge: 1,2cm $\widehat{=}$ 1,20m
Breite: 0,5cm $\widehat{=}$ 0,50m

Fläche hinter Steinen:
Länge: 3,0cm $\widehat{=}$ 3,00m
Höhe: 1,5cm $\widehat{=}$ 1,50m

Nun kann ich die Maße in meine Skizze eintragen:

Da ich nun alle nötigen Maße habe, kann ich mit der Flächenberechnung beginnen:
Flächenberechnung:
gesamte Wandfläche - (kleines Kellerfenster + großes Kellerfenster + 2·Erdgeschossfenster + Balkon + 2·Balkontür + Fläche hinter Steinen)

Zu Berechnen ist somit folgender Term: 9,50m · 4,80m - (0,90m · 0,70m + 1,10m · 1,20m + 2 · 1,70m · 1,40m + 5,30m · 0,30m + 2 · 1,20m · 0,50m + 0,5 · 3,00m · 1,50m)
= 45,60m² - (0,63m² + 1,32m² + 4,76m² + 1,59m² + 1,20m² + 2,25m²)
= 45,60m² - 11.75m²
= 33,85m²

Ergebnis erklären

Es muss eine Fläche von etwa 33,85m² verputzt werden.
Die Maßeinheit gibt einen Flächeninhalt an, was auch zu berechnen war. Die Größenordnung der Fläche von 33,85m² ist realistisch.
Man hat jetzt einen Anhaltspunkt, wenn man zum Beispiel Putz kaufen will. Hier muss man sich natürlich bewusst sein, dass man mehr Putz kaufen muss als für 33,85m³. Man muss also aufrunden und auch an kleine Ungenauigkeiten denken, denn man darf am Ende auf keinen Fall zu wenig Putz haben.

Während der Berechnung muss immer das Ziel im Hinterkopf behalten werden!

Natürlich sind verschiedene Modelle möglich und somit können auch die einzelnen Ergebnisse variieren.

Zum Beispiel hätte man hier auch von einer durchschnittlichen Breite eines Fensters oder aber der durchschnittlichen Dicke eines Balkonbodens anstatt einer Raumhöhe von 2,60m ausgehen können.

Fallen mir Fehler auf oder bemerke ich, dass das Ergebnis nicht realistisch ist kann ich meine Modellierung nochmals überprüfen.

Allgemeines zum Wiki

In der nachfolgenden Tabelle findest du wichtige Informationen zur Bearbeitung einer Seite im Wiki. Du musst die Befehle auch nicht immer neu eingeben, du kannst sie auch immer wieder kopieren und einfügen.

	Was musst du eingeben?	Wie sieht das dann aus?
Hilfestellung für Wiki-Befehlseingaben
Texteingaben
Text	`Normaler Text erscheint so wie du ihn eingibst.`	Normaler Text erscheint so wie du ihn eingibst.
neu Zeile	`Für eine neu Zeile brauchst du diesen Befehl:<br> dann bist du in der nächsten Zeile.`	Für eine neu Zeile brauchst du diesen Befehl: dann bist du in der nächsten Zeile.
kursiv	`''Text''`	Text
fett	`'''Text'''`	Text
fett und kursiv	`'''''Text'''''`	Text
unterstrichen	`<u>Text</u>`	Text
hochgestellter Text	Text`<sup>abc</sup>`	Text ^abc
tiefgestellter Text	Text`<sub>abc</sub>`	Text _abc
Überschriften	`= Überschrift 1 =` `== Überschrift 2 ==` `=== Überschrift 3 ===` `==== Überschrift 4 ====` `===== Überschrift 5 =====`	Überschrift 1 Überschrift 2 Überschrift 3 Überschrift 4 Überschrift 5
Aufzählung	`* eins * zwei zwei-eins zwei-zwei * drei`	eins zwei zwei-eins zwei-zwei drei
Aufzählung/ Nummerierung	`# eins # zwei ## zwei-eins ## zwei-zwei # drei`	eins zwei zwei-eins zwei-zwei drei
Farben
farbiges Wort	`<span style="color:blue">Wort</span>`	Wort
farbiger Absatz	`<div style="color:#0000FF">Text</div>`	Text
Rahmen um Wort	`<span style="border:2px solid red;">Wort</span>`	Wort
Rahmen um Absatz	`<div style="border:2px solid red;">Text</div>`	Text
farbiger Hintergrund	`<span style="background:yellow">Wort</span>`	Wort
farbiger Hintergrund für Absatz	`<div style="background:yellow">Text</div>`	Text

Hinweis: Bei der Befehlseingabe der Farben ist zu beachten, dass diese auf Englisch oder in Form einer Hexadezimalzahl eingegeben werden. Willst du also etwas rot färben so musst du entweder red oder #ff0000 eingeben.

Im Folgenden findest du eine kleine Auswahl an Farben. Du kannst deinen gewünschten Farbcode jederzeit hier kopieren:

MistyRose1 255 228 225 #FFE4E1	RoyalBlue1 72 118 255 #4876FF	Blue1 0 0 255 #0000FF	Cyan1 0 255 255 #00FFFF
SpringGreen1 0 255 127 #00FF7F	Green1 0 255 0 #00FF00	Yellow1 255 255 0 #FFFF00	Orange1 255 165 0 #FFA500
Red1 255 0 0 #FF0000	Purple1 155 48 255 #9B30FF	grey11 28 28 28 #1C1C1C	grey61 156 156 156 #9C9C9C

Für deine Berechnungen benötigst du auch mathematische Formeln. In der folgenden Tabelle sind einige wichtige mathematische Symbole angegeben.

Was musst du eingeben?	Wie sieht das dann aus?
Mathematische Symbole
`<math>\cdot</math>`	$\cdot$
`<math>\approx</math>`	$\approx$
`<math>\widehat{=}</math>`	$\widehat{=}$
`<math>\frac{a}{b}</math>`	$\frac{a}{b}$
`<math>\Rightarrow</math>`	$\Rightarrow$