Grundlagen der Zerlegungsgleichheit von Figuren

1. Grundlagen der Zerlegungsgleichheit von Figuren

Auf dieser Seite lernst Du die Eigenschaften der Zerlegungsgleichheit von Figuren kennen.

Bearbeite die Aufgaben sorgfältig! Nicht mogeln...schaue erst die Lösungen an, wenn du die Aufgaben selbstsändig bearbeitet hast! Denn nur so lernst du am Besten!

1.1 Wiederholung des Kongruenzbegriffes

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Weißt Du noch was man unter Kongruenz von Figuren versteht??

Eine Wiederholung kann sicher nicht schaden.

1.2 Los geht´s: Teste Dein Wissen!

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Ein anderes Wort für Kongruenz ist Deckungs-gleichheit

Hinweis: Kongruente Figuren kann man zur Deckung bringen

Aufgabe: Kongruente Dreiecke

Findest Du alle Dreiecke, die zum Dreieck A kongruent sind?
Gib die Buchstaben an.

1. Kongruente Dreiecke zu A sind?

	B und D
	C und E
	G und H
	J und K
	I und F

2. Markiere die richtigen Antwort

	alle kongruenten Figuren haben die gleiche Farbe
	alle kongruenten Figuren haben den gleichen Flächeninhalt

Punkte: 0 / 0

War Deine Lösung richtig?

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Wie erzeugt man kongruente Figuren?

• In dieser Darstellung siehst Du drei Möglichkeiten, wie man kongruente Figuren erzeugen kann.
• Dreieck A, B, C und D sind kongruent zueinander. Wie kann man die Dreiecke B, C und D ausgehend vom Dreieck A erzeugen?

Im 1. Schritt wird das Dreieck an einer Achse gespiegelt. Diese Spiegelachse kannst Du an den roten Punkten ändern. Beobachte wie sich das gespiegelte Dreieck verändert. Im 2. Schritt kannst Du das Dreieck verschieben Im 3. Schritt kannst Du das Dreieck drehen. Der Winkel zeigt Dir dabei an, um wieviel Grad Du das Dreieck drehst. Spiegelungen, Drehungen und Verschiebungen nennt man Kongruenzabbildungen, da die Bildfiguren in allen Maßen mit der Ausgangsfigur übereinstimmen. Bildfigur und Ausgangsfigur sind kongruent zueinander

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Das sollest du also wissen

Zwei Figuren sind zueinander kongruent, wenn sie durch Verschiebung,Drehung oder Spiegelung ineinander überführt werden können. Diese drei Abbildungen nennt man daher auch Kongruenz-abbildungen. Kongruente Figuren habe den gleichen Flächeninhalt.

Wofür können wir die Kongruenz von Figuren gebrauchen?

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Du kennst sicher ein paar Anwendungsbeispiele wofür man die Eigenschaften der man die Kongruenz von Figuren nutzen kann.

Dazu gehört zum Beispiel die Konstruktion von Dreiecken, wofür man die Kongruenzsätze benötigt. Kennst Du noch alle davon?

Ordne die richtige Abkürzung der Beschreibung zu!

Zwei Dreiecke, die in ihren drei Seitenlängen übereinstimmen, sind kongruent: SSS-Satz
Zwei Dreiecke, die in einer Seitenlänge und in den dieser Seite anliegenden Winkeln übereinstimmen, sind kongruent: WSW-Satz
Zwei Dreiecke, die in zwei Seitenlängen und in dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, sind kongruent: SWS-Satz
Zwei Dreiecke, die in zwei Seitenlängen und in jenem Winkel übereinstimmen, der der längeren Seite gegenüberliegt, sind kongruent: SsW-Satz

Im dem nächsten Abschnitt lernst Du ein weiteres Anwendungsbeispiel für die Kongruenz kennen

Zerlegungsgleichheit von Figuren

Einführung

Kapitän Check Aufgabe: Welche ist die größte Insel?

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Aufgabenstellung:

Du siehst hier die 3 schwarzen Inseln. Darunter befinden sich alle Teilfiguren, mit denen man die Inseln vollständig zusammensetzen kann. Du kannst diese Teilfiguren auf die Inseln ziehen.

• Überlege Dir zunächst selbst, wo die nächste Teilfigur platziert werden könnte.
• Wenn Du eine Hilfestellung brauchst, dann Klicke die Kontrollkästchen an.
• Was fällt Dir auf? Welche ist die größte Insel?

• Trage hier den Namen der Insel ein, die am größten ist:

Die größte Insel ist Isola Bella (entweder Isola Grande, Isola Bella oder Isola Piccola eintragen)

• Begründe Deine Antwort, warum ist diese Insel die größte?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Die Figuren A und C sind gleich groß, da sie mit sechs Teilfiguren ausgelegt werden können, die jeweils kongruent zueinander sind.

Figur B kann mit einer Teilfigur, dem grauen Dreieck mehr ausgelegt werden, deshalb ist sie die größte der drei Inseln.

Figuren, die mit der gleichen Anzahl kongruenter Teilfiguren ausgelegt werden können, kann man natürlich auch in diese Teilfiguren zerlegen. Da die Inseln A und B in die gleiche Zahl kongruenter Teilfiguren zerlegt werden können, nennt man Figur A und C daher auch zerlegungsgleich,

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2.3 Das Prinzip der Zerlegungsgleichheit

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Das Sechseck und das Quadrat wurden in jeweils fünf Teilfiguren zerlegt. Diese Teilfiguren sind paarweise zueinander kongruent, d.h. es gibt immer ein Paar zueinander kongruenter Figuren. Aus den Eigenschaften der Kongruenz ergibt sich daher, dass diese Teilfiguren den gleichen Flächeninhalt besitzen. Der Flächeninhalt des Quadrates setzt sich in diesem Beispiel aus den Flächeninhalten der Teilfiguren F1 bis F5 zusammen. Ergänze die fehlenden Felder FQuadrat = F1 + F2 + F3 + F4 + F5 =FSechseck Somit haben Sechseck und Quadrat in dem Beispiel den gleichen Flächeninhalt!

Logo fasst hier Deine Beobachtungen kurz zusammen. Übertrage Sie in Dein Heft:

Der Flächeninhalt der Gesamtfigur ergibt sich aus der Addition der Flächeninhalte der Teilfiguren. Zwei Figuren besitzen den gleichen Flächeninhalt, wenn sie in kongruente Teilfiguren zerlegt werden können

Maja möchte Dir auch noch etwas sagen:

Das ist ja klasse! Man kann eine Figur also in Teilfiguren zerschneiden und diese Teilfiguren wieder zu einer neuen Figur zusammensetzen. Der Flächeninhalt dieser beiden Figuren ändert sich dabei aber nicht. Somit können wir feststellen, dass zwei Figuren den gleichen Flächeninhalt besitzen, obwohl wir den Flächeninhalt der einzelnen Teilflächen selbst noch gar nicht berechnen können!

Hierzu siehst Du ein kleines Beispiel:

Kannst Du zeigen, dass die beiden folgenden Figuren den gleichen Flächeninhalt haben?

Hier findest du den Hinweis

Zusammenfassung

Übertrage folgende Definition in Dein Heft:

Zerlegungsgleichheit von Figuren Zwei Figuren sind zerlegungsgleich, wenn sie in paarweise kongruente Teilfiguren zerlegt werden können. Beispiel: Figur A und Figur B sind zerlegungsgleich. Zerlegungsgleiche Figuren besitzen den gleichen Flächeninhalt

Du weißt bereits, wie man den Flächeninhalt des linken Quadrates berechnet. Formel Da das nebenstehende Sechseck zerlegungsgleich zum Quadrat ist und damit den gleichen Flächeninhalt wie das Quadrat besitzt. kennen wir auch den Flächeninhalt des Sechsecks. Man kann die Berechnung des Flächeninhaltes von Figuren, für die man keine Berechnungsformel kennt, auf Figuren zurückführen, für die man eine Flächeninhaltsformel kennt.

Ergänzungsgleichheit von Figuren

Du hast nun das Prinzip der Zerlegungsgleichheit kennen gelernt. Hier lernst Du noch eine weitere Eigenschaft der Zerlegungsgleichheit

Das Trapez und das Rechteck sind zerlegungsgleich, denn sie können z.B. in jeweils vier zueinander kongruente Dreiecke zerlegt werden. Betrachte Dir dazu das nachfolgende Bild:

Man nennt dieses Rechteck und das Trapez aber auch ergänzungsgleich Betrachte Dir dazu das nachfolgende Bild:

Was bedeutet Ergänzungsgleichheit? Fülle dazu die Lücken aus:

Das Trapez und das Rechteck sind ergänzungsgleich, das sie durch Ergänzung mit kongruenten Teilfiguren, in diesem Fall mit je zwei blauen Dreiecken in zueinander kongruente Figuren A und B überführt werden können.

Merke Dir folgende Definition zur Ergänzungsgleichheit gut und übetrage sie in Dein Heft!

Zwei Figuren sind ergänzungsgleich, wenn man sie durch Ergänzung mit kongruenten Teilfiguren in zerlegungsgleiche Figuren umwandeln kann. Ergänzungsgleiche Figuren sind daher auch zerlegungsgleich. Ergänzungsgleiche Figuren besitzen den gleichen Flächeninhalt.

Übung

Klassenzimmer streichen

Eine Schulklasse hat sich entschieden die Rückwand des Klassenzimmers neu zu streichen. Da die Mädchen gelb und die Jungen grün streichen wollen, haben sie sich geeinigt die Rückwand jeweils in der Hälfte der Farben zu streichen.

Hilf der Klasse bei den Designvorschlägen.

Hier siehst Du die Rückwand des Klassenzimmers. Sie ist 4 Meter hoch und 6 Meter breit.

Das Rechteck stellt die Rückwand des Klassenzimmers dar.

Maja hat bereits einen Vorschlag gemacht: Dieses Bild zeigt eine Möglichkeit die Rückwand zur Hälfte grün und zur anderen Hälfte gelb zu streichen.

Sie begründet ihr Vorgehen so:

"Ich habe die Rückwand in der Höhe halbiert, die Länge aber gleich gelassen und somit das Rechteck in zwei kongruente Teilrechtecke zerlegt, die jeweils gelb und grün gestrichen werden."

Wieviele Vorschläge hast Du? Übertage das Rechteck in Dein Heft und sei kreativ! Aber achte auch auf die Aufgabenstellung!

Du findest hier weitere Lösungsvorschläge:

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Hast Du mehr Ideen gefunden?? Prima!
Aufgabenstellung:
Zeige, warum in den Lösungsvorschlägen 3, 7 und 8 jeweils genau die Hälfte grün bzw. gelb gestrichen wird. Begründe mit dem, was Du bisher über Flächeninhalte gelernt hast, und fülle die Lücken aus:

Rechteck 3 wurde entlang der Diagonalen halbiert. Es entstehen dabei 2 kongruente Teildreiecke. Da zueinander kongruente Figuren den gleichen Flächeninhalt besitzen ist genau die Hälfte des Rechtecks grün bzw. gelb.

Das Rechteck 7 wurde in 4 kongruente Dreiecke zerlegt. Je 2 davon wurden grün bzw. gelb gefärbt. Da ${2\over 4}= {1\over2}$ wurde je die Hälfte grün bzw. gelb gefärbt.

Dieses 8. Rechteck wurde in 8 kongruente Teildreiecke zerlegt. Je 4 davon wurden grün bzw. gelb gefärbt. Da ${4\over 8}= {1\over2}$ wurde je die Hälfte grün bzw. gelb gefärbt.