Abschwächung der Gruppendefinition

Aussage

Sei $(G,\cdot)$ eine Halbgruppe (d.h. Zweistellige Verknüpfung + Abgeschlossenheit + Assoziativität). Hat G linksinverse Elemente $x^{-1}$ und ein linksneutrales Element $e$. Dann sind die linksinversen Elemente auch rechtsinvers und das linksneutrale Element auch rechtsneutral.

Beweis

Die Aussage enthält zwei Teilaussagen, die wir nacheinander beweisen:

1. Die linksinversen Elemente sind auch rechtsinvers.

In mathematischer Schreibweise:

Sei $x,x^{-1} \in G$ und $x^{-1} \cdot x = e \Rightarrow x \cdot x^{-1} = e$

2. Das linksneutrale Element ist auch rechtsneutral.