Vertiefen und Erweitern zum Flächeninhalt des Dreiecks

Vertiefen und Erweitern

Du hast nun eine Möglichkeit kennen gelernt, wie man die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herleiten kann.

Dies ist aber natürlich nicht der einzige Lösungsansatz.

Im nächsten Abschnitt lernst Du weitere kennen.

Versuche die Lösungsideen nachzuvollziehen und bearbeite die Aufgabenstellungen. Leite daraus jeweils algebraisch die Flächeninhaltsformel für Dreiecke her.

Herleitungsidee 2

---

Aufgabenstellung: Welche Figur entsteht? Wie erhält man die Figur? Um welche Punkte werden die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht? Welche Höhe besitzt die neue Figur, im Vergleich zum Ursprungsdreieck? Welche Länge hat Grundseite im Vergleich zur Ausgangsfigur? Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks. Die Längenangaben sind in Zentimetern: Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von 8 (cm²) Vergleiche Deine Lösungen mit der von Maja: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Es entsteht ein Rechteck Durch Zerlegung des Ursprungsdreiecks und Ergänzung Die Teildreiecke werden um die Seitenmittelpunkte gedreht. Sie werden um 180° gedreht. Es handelt sich also um eine Kongruenzabbildung. Die Höhe des Rechtecks ist halb so groß, wie die Höhe des Ausgangsdreiecks Die Grundseite ist genauso lang, wie die des Ausgangsdreiecks.

• Maja und Nils berechnen den Flächeninhalt des grünen Dreiecks.

• Sie schreiben ihre Lösungswege auf. Welcher Lösungsweg passt zu den Überlegungsfiguren?
• Nils rechnet so: F_Dreieck = ( 8 $\cdot$ 3 ): 2= 12 gehört zur Skizze I
• Maja rechnet so: F_Dreieck = 8 $\cdot$ ( 3 : 2 ) = 8 $\cdot$ 1,5 = 12 gehört zur Skizze II

---

Herleitungsidee 3

---

Aufgabenstellung: Kreuze die richtigen Antworten an: 1. Welche Figur ensteht? Es ensteht ein... Paralellogramm Rechteck Trapez Dreieck 2. Um welchen Punkt wird das kleine Teildreieck gedreht? Seitenmittelpunkt M2 Seitenmittelpunkt Mb Eckpunkt C 3. Um wieviel Grad wird es gedreht? 90° 180° 120° 360° 4. Welche Höhe besitzt die neue Figur im Vergleich zum Dreieck. Sie ist... genauso groß, wie die des Ausgangsdreiecks. halb so groß, wie die des Ausgangsdreiecks. doppelt s groß, wie die des Ausgangsdreiecks. Punkte: 0 / 0

5. Wie wurde das Dreieck zerlegt? Bist du sicher, dass Du den Hinweis brauchst??[Anzeigen][Verstecken] Es wurde die zur Grundseite parallele Strecke zwischen den Seitenmittelpunkten eingezeichnet. 6. Wieentsteht diese Figur? Du kannst das bestimmt ohne Hinweis lösen, oder? [Anzeigen][Verstecken] Das Parallelogramm ensteht durch Zerlegung des großen Dreiecks in ein kleines Teildreieck und ein Trapez. Durch Drehen des kleinen Teildreiecks ergänzt man das Trapez zum Parallelogramm. Damit ist klar, dass es sich um eine Kongruenzabbildung handelt 7. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, wenn h2= 4cm und c= 4cm ist Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC ist: 16 (cm²) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks M2 Mb C. Überlege, welche Länge die Strecke [ M2 Mb] besitzt. Der Flächeninhalt des Dreiecks M2 Mb C ist 4(cm²) Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms. Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist: 16(cm²) Was fällt Dir auf?

Wie kann man für diese Methode die Flächeninhaltsformel des Dreiecks berechnen??

F_{Parallelogramm} = g $\cdot$ h₂
Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt:
F_{Parallelogrammk} = F_Dreieck
Für die Höhen gilt:

h₂ = ${1 \over 2}$ $\cdot$ h

Einsetzen in Formel für Parallelogramm:

F_Dreieck = ${1 \over 2}$ g $\cdot$ h

Wie Du siehst, ähneln sich diese beiden Herleitungsideen 2 und 3:
In der ersten Variante zerlegt man das Dreieck geeignet und ergänzt zum Rechteck mit gleicher Grundseite und halber Höhe...
und in der zweiten Variante zerlegt man das Dreieck und ergänzt zu einem Parallelogramm mit gleicher Länge der Grundseite und halber Höhe.

---

Herleitungsidee 4

---

Wir haben für die Hilfsfigur, deren Flächeninhalt man kennt das Ausgangsdreieck so zerlegt, dass die Höhe halbiert und die Länge der Grundseite gleich beibehalten wird.

Wie Du ahnst gibt es noch eine weitere Möglichkeit:

Aufgabenstellung: 1.Welche Figur ensteht bei der Ergänzung? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Es entsteht ein Rechteck 2. Um welchen Punkt werden jeweils die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Die Teildreiecke werden jeweils um die Seitenmittelpunkte gedreht, dabei dreht man um 180°. Dies ist eine Kongruenzabbildung 3.Welche Höhe besitzt die erhaltene Figur? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Die Höhe des Rechtecks entspricht der Höhe des Ausgangsdreiecks 4.Zeige, dass die Grundseite g der neuen Figur halb so lang ist, wie die Grundseite des Dreiecks! Tipp: Ergänze zum Rechteck und beobachte dabei die Teilstrecken s und t gDreieck = s + s + t + t gDreieck = 2 $\cdot$ s + 2$\cdot$ t = 2 $\cdot$(s + t) gRechteck= s + t => gRechteck = ${1 \over 2}$ $\cdot$ gDreieck

Wie kann man daraus die Flächeninhaltsformel für das Dreieck berechnen?

F_Rechteck = g_Rechteck $\cdot$ h

Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt:

F_Rechteck = F_Dreieck

Für die Grundseiten gilt:

g_Rechteck = ${1 \over 2}$ $\cdot$ g_Dreieck

Einsetzen in Formel für Rechteck:

F_Dreieck = ${1 \over 2}$ g_Dreieck $\cdot$ h

Wow! Maja und Nils sind stolz auch Dich. Du hast den 3. Lernpfad erfolgreich bearbeitet!!

Für absolute Profis gibt es hier noch einen 4 Lernpfad. Da kannst Du zeigen, was in dir steckt! Hier geht es zum 4. Lernpfad