Abschwächung der Gruppendefinition: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 26. November 2018, 02:00 Uhr

Aussage

Sei $(G,\cdot)$ eine Halbgruppe (d.h. Zweistellige Verknüpfung + Abgeschlossenheit + Assoziativität). Hat G rechtsinverse Elemente $x^{-1}$ und ein rechtsneutrales Element $e$ . Dann sind die rechtsinversen Elemente auch linksinvers und das rechtsneutrale Element auch linksneutral.

Beweis

Die Aussage enthält zwei Teilaussagen, die wir nacheinander beweisen:

1. Die rechtsinversen Elemente sind auch linksinvers.

2. Ein rechtsneutrales Element ist auch linksneutral.

Aspekte

An gewissen Stellen in den Umformungen sind Klammern weggelassen worden. Denn wir wissen, dass die Verknüpfung assoziativ ist. Es gilt also:

Man kann dann induktiv zeigen, dass für ein "Produkt" endlich vieler Faktoren

jede mögliche Klammerung, auf dasselbe Element abgebildet wird. Für ein Produkt ist jede Klammerung äquivalent zu jeder anderen. (Verallgemeinertes Assoziativgesetz)

Wir haben beim Beweis der Teilaussage (1) in den einzelnen Schritten sowohl, dass ein rechtsneutrales Element existiert, als auch, dass rechtsinverse Elemente existieren, verwendet. Ebenso die Assoziativität. Also sind alle diese Vorraussetzungen für die gemachten Folgerungen notwendig. Allerdings ist die Frage erstmal offen, ob nicht mit weniger Vorraussetzungen und anderen Folgerungen das gleiche Ergebnis erreicht werden kann.

Falls eine Halbgruppe ein linksneutrales Element und linksinverse Elemente enthält, kann analog gefolgert werden, dass ein linksneutrales Element auch rechtsneutral ist und, dass die linksinversen Elemente auch rechtsinvers sind.

Da links- und rechtsinvers in einer Gruppe zusammenfällt. Fassen wir diese zwei Eigenschaften unter dem Begriff invers zusammen und sagen: Es existieren inverse Elemente.

Im zweiten Teil der Aussage (2) verwenden wir, dass ein rechtsinverses Element auch linksinvers ist. Deswegen ist es gut und auch Absicht, dass wir zuerst (1) bewiesen haben.

G hat rechtsinverse Element, d.h. zu jedem Element $x \in G$ existiert ein Element aus G, welches wir mit $x^{-1}$ bezeichnen und für dieses gilt: $x \cdot x^{-1} = e$ . $x^{-1}$ ist ein Element aus G. D.h. auch für dieses Element ein rechtsinverses Element geben. Dieses bezeichnen wir mit $(x^{-1})^{-1}$ . Es stellt sich heraus, dass $(x^{-1})^{-1} = x$ zum Beweis

$a \cdot b$ ist auch ein Element aus G, weil die Verknüpfung $\cdot$ wieder nach G abbildet (Abgeschlossenheit/ innere Verknüpfung). Also muss es auch ein inverses Element zu $a \cdot b$ geben. Es stellt sich heraus, dass $(a \cdot b)^{-1} = b^{-1} \cdot a^{-1}$ ist. zum Beweis

Wir haben gezeigt, ist ein Gruppenelement ein rechtsneutrales Element der Gruppe, dann ist dieses Gruppenelement auch linksneutral. D.h. es könnte auch mehrere rechtsneutrale Elemente, dann sind diese auch alle linksneutral. Wie sich herausstellen wird, gibt es aber nur genau ein neutrales (rechts- und linksneutrales) Element. Genauso wird sich zeigen, dass das inverses Element zu einem Gruppenelement eindeutig bestimmt ist. zum Beweis

@@ Zeile 19: / Zeile 19: @@
 *An gewissen Stellen in den Umformungen sind Klammern weggelassen worden. Denn wir wissen, dass die Verknüpfung assoziativ ist. Es gilt also:
+[[Datei:Reduzierte gruppendefinition 3.jpg|center|400px]]
 :Man kann dann induktiv zeigen, dass für ein "Produkt" endlich vieler Faktoren
+[[Datei:Reduzierte gruppendefinition 4.jpg|center|400px]]
-:jede Klammerung, auf dasselbe Element abgebildet wird. Für ein Produkt ist jede Klammerung äquivalent zu jeder anderen. <br/>
+:jede mögliche Klammerung, auf dasselbe Element abgebildet wird. Für ein Produkt ist jede Klammerung äquivalent zu jeder anderen. (Verallgemeinertes Assoziativgesetz) <br/>
-*Wir verwerden in den einzelnen Schritten sowohl, dass es ein rechtsneutrales Element existiert, als auch, dass rechtsinverse Element existieren. Ebenso die Assoziativität. Alle drei Vorraussetzungen werden verwendet. <br/>
+*Wir haben beim Beweis der Teilaussage (1) in den einzelnen Schritten sowohl, dass ein rechtsneutrales Element existiert, als auch, dass rechtsinverse Elemente existieren, verwendet. Ebenso die Assoziativität. Also sind alle diese Vorraussetzungen für die gemachten Folgerungen notwendig. Allerdings ist die Frage erstmal offen, ob nicht mit weniger Vorraussetzungen und anderen Folgerungen das gleiche Ergebnis erreicht werden kann. <br/>
 *Falls eine Halbgruppe ein linksneutrales Element und linksinverse Elemente enthält, kann analog gefolgert werden, dass ein linksneutrales Element auch rechtsneutral ist und, dass die linksinversen Elemente auch rechtsinvers sind. <br/>
-*Da links- und rechtsinvers in einer Gruppe zusammenfällt. Fassen wir diese Eigenschaften zusammen und sagen: Es existieren inverse Elemente. <br/>
+*Da links- und rechtsinvers in einer Gruppe zusammenfällt. Fassen wir diese zwei Eigenschaften unter dem Begriff '''invers''' zusammen und sagen: Es existieren inverse Elemente. <br/>
-*Im zweiten Teil der Aussage (2) verwenden wir, dass ein rechtsinverses Element auch linksinvers ist. Deswegen ist es gut und Absicht, dass wir zuerst (1) bewiesen haben. <br/>
+*Im zweiten Teil der Aussage (2) verwenden wir, dass ein rechtsinverses Element auch linksinvers ist. Deswegen ist es gut und auch Absicht, dass wir zuerst (1) bewiesen haben. <br/>
-*G hat rechtsinverse Element, d.h. zu jedem Element <math> x \in G </math> existiert ein Element aus G, welches wir mit  <math> x^{-1} </math> bezeichnen und für dieses gilt:  <math> x \cdot x^{-1} = e </math>.  <math> x^{-1} </math> ist ein Element aus G. D.h. auch für dieses Element ein rechtsinverses Element geben. Dieses bezeichnen wir mit  <math> (x^{-1})^-1 </math>. Es stellt sich heraus, dass  <math> (x^{-1})^-1 = x </math> [[Doppelte Inversion eines Gruppenelements|Zum Beweis]] <br/>
+*G hat rechtsinverse Element, d.h. zu jedem Element <math> x \in G </math> existiert ein Element aus G, welches wir mit  <math> x^{-1} </math> bezeichnen und für dieses gilt:  <math> x \cdot x^{-1} = e </math>.  <math> x^{-1} </math> ist ein Element aus G. D.h. auch für dieses Element ein rechtsinverses Element geben. Dieses bezeichnen wir mit  <math> (x^{-1})^{-1} </math>. Es stellt sich heraus, dass  <math> (x^{-1})^{-1} = x </math> [[Doppelte Invertierung eines Gruppenelements| zum Beweis]] <br/>
-*<math> a \cdot b </math> ist auch ein Element aus G, weil die Verknüpfung <math> \cdot </math> wieder nach G abbildet (innere Verknüpfung). Also muss es auch ein inverses Element zu <math> a \cdot b </math> geben. Es stellt sich heraus, dass <math> (a \cdot b)^{-1} = b^{-1} \cdot a^{-1} </math> ist. [[Shoes and Socks|Zum Beweis]] <br/>
+*<math> a \cdot b </math> ist auch ein Element aus G, weil die Verknüpfung <math> \cdot </math> wieder nach G abbildet (Abgeschlossenheit/ innere Verknüpfung). Also muss es auch ein inverses Element zu <math> a \cdot b </math> geben. Es stellt sich heraus, dass <math> (a \cdot b)^{-1} = b^{-1} \cdot a^{-1} </math> ist. [[Shoes and Socks| zum Beweis]] <br/>
+*Wir haben gezeigt, ist ein Gruppenelement ein rechtsneutrales Element der Gruppe, dann ist dieses Gruppenelement auch linksneutral. D.h. es könnte auch mehrere rechtsneutrale Elemente, dann sind diese auch alle linksneutral. Wie sich herausstellen wird, gibt es aber nur genau ein neutrales (rechts- und linksneutrales) Element. Genauso wird sich zeigen, dass das inverses Element zu einem Gruppenelement eindeutig bestimmt ist. [[Eindeutigkeit des neutralen Elements und der inversen Elemente in einer Gruppe| zum Beweis]]

Abschwächung der Gruppendefinition: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 26. November 2018, 02:00 Uhr

Aussage

Beweis

Aspekte

Navigationsmenü

Meine Werkzeuge

Namensräume

Varianten

Ansichten

Aktionen

Suche

Navigation

Werkzeuge